第1章 集合与常用逻辑用语 本章总结(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了集合与常用逻辑用语的知识体系，将集合的概念、基本关系、运算及全称量词命题、充分必要条件等要点按“基础概念-运算方法-逻辑应用”的递进关系组织，清晰呈现各知识点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与逻辑思维培养，如结合2022年新高考真题考查集合交集运算，通过“命题的否定”题型（例4（1））培养学生逻辑推理能力，利用“集合运算求参数”（例3）发展符号意识与模型观念。基础题巩固概念，变式题提升综合应用，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

本章总结 【知识辨析】 1.×　[解析] 因为集合A为数集,集合B为点集,所以A,B两个集合中没有公共元素,所以这两个集合的交集为空集. 2.√ 3.√ 　[解析] {x|x=2n,n∈N*}是所有正偶数组成的集合,{1,2,3,4,5,6,…}是正整数组成的集合,所以{x|x=2n,n∈N*}⫋{1,2,3,4,5,6,…}. 4.×　[解析] 因为全集U=(4,+∞),∁UA=(5,+∞),所以A=(4,5]. 5.×　[解析] 若四边形的对角线互相垂直,则四边形不一定是菱形,反之,若四边形是菱形,则其对角线互相垂直.所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件. 【素养提升】 例1　(1)C　(2)A　[解析] (1) ∵-1∈A,A={1,a-2,a2-a-1},∴a-2=-1或a2-a-1=-1,解得a=0或a=1.当a=0时,A={1,-2,-1},成立;当a=1时,a-2=a2-a-1=-1,不成立.故选C. (2)由题可得A={3,5}.当B=∅时,a=0,满足B⊆A;当B≠∅时,B=,由B⊆A得=3或=5,解得a=或.所以C=,则⊆C,故A正确,B错误;集合C的子集有23=8(个),真子集有7个,故C错误,D错误.故选A. 变式　(1)A　[解析] ∵集合B中有元素,∴a≠0,∵={a2,a+b,0},∴=0,即b=0,∴{a,0,1}={a2,a,0},由元素的互异性可知a≠1,∴a2=1,∴a=-1或a=1(舍去),当a=-1时,A={1,-1,0},B={-1,0,1},满足A=B.综上,a=-1,b=0,∴a2024+b2025=(-1)2024+02025=1.故选A. (2)解:①因为-1∈A,所以a·(-1)2+3-4=0,解得a=1,则A={x|x2-3x-4=0,x∈R},由x2-3x-4=0,解得x=4或x=-1,所以A={-1,4}. ②当a=0时,由-3x-4=0,得x=-,所以A=,满足题意;当a≠0时,Δ=(-3)2-4a·(-4)≤0,解得a≤-.综上所述,实数a的取值范围是. 例2　(1)D　(2)D　(3)B　[解析] (1)∵集合M={x|<4}={x|0≤x<16},集合N={x|3x≥1}=,∴M∩N=.故选D. (2)由题意,B={x|x2-4x+3=0}={1,3},A={-1,2},所以A∪B={-1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={-2,0}.故选D. (3)由题意可得A={x|y=}=[2,+∞),B={y|y=x2+1}=[1,+∞),则A∩B=[2,+∞),故A错误;因为A⊆B,所以A∩B=A,A∪B=B,故B正确,C错误;∁RB=(-∞,1),则∁RB不是A的子集,故D错误.故选B. 变式　(1)C　(2)C　(3){3}　[解析] (1)A∩C={1,3,6,7}∩{x∈R|-1≤x<7}={1,3,6},又B={1,2,6},所以(A∩C)∪B={1,2,3,6}.故选C. (2)∵集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},∴A∩B={3,5},则题图中阴影部分表示的集合为∁U(A∩B)={1,2,4},∴题图中阴影部分表示的集合的真子集有23-1=8-1=7(个).故选C. (3)∵全集U={1,2,3,4},B={1,2},∴∁UB={3,4},∵∁U(A∪B)={4},∴3∈A,4∉A,∴A∩(∁UB)={3}. 例3　解:(1)由题知A={x||x+1|≤3}={x|-4≤x≤2},因为A∪B=A,所以B⊆A. 当B=∅,即0≥3m时,m≤0,满足B⊆A;当B≠∅,即0<3m时,m>0,由B⊆A,得3m≤2,可得0<m≤. 则实数m的取值范围是. (2)因为∃x∈Z且x∈P,所以集合P中至少存在一个整数. ∁RA={x|x<-4或x>2},B={x|0<x<3m}, 要使P=(∁RA)∩B中至少存在一个整数, 则解得m>1,则实数m的取值范围是(1,+∞). 变式　ACD　[解析] 由(∁RA)∩B=∅,得B⊆A,A={x|x2-2x-8=0}={-2,4}.当B=∅时,m=0,此时符合题意;当B≠∅时,m≠0,则B=,若=-2,则m=-2,则B={-2},则B⊆A,符合题意;若=4,则m=1,则B={4},则B⊆A,符合题意.故选ACD. 例4　(1)C　(2)C　[解析] (1)命题“∃x∈R,x3+|x|-2>0”的否定是“∀x∈R,x3+|x|-2≤0”.故选C. (2)若p:关于x的方程x2+x+m=0有两个相异负根为真命题,则解得0<m<;若q:∃x∈(0,+∞),x2-3mx+9=0为真命题,则 解得m≥2.因为p与q有且仅有一个为真命题,所以或解得0<m<或m≥2,即实数m的取值范围是∪[2,+∞).故选C. 变式　解:(1)若p:∀x∈A,x∈B是真命题,则A⊆B. 又B≠∅,所以解得m≥4,故实数m的取值范围为{m|m≥4}. (2)因为B≠∅,所以-3m+4≤2m-1,解得m≥1. 若q:∃x∈B,x∈A是真命题,则A∩B≠∅. 当A∩B=∅时,-3m+4>7或2m-1<2,解得m<, 又m≥1,所以当A∩B=∅时,1≤m<,所以当A∩B≠∅时,m≥. 故实数m的取值范围为. 例5　(1)D　(2)　(3)(0,+∞)　[解析] (1)由0<x<1,得>1,因为q是p的必要不充分条件,所以a≤恒成立,所以a≤1.故选D. (2)因为p是q的必要不充分条件,所以{x|2<x<4}⫋{x|a<x<2a+1},所以或解得≤a≤2,故实数a的取值范围是. (3)因为x-(2a+1)<0,所以x<2a+1,所以q:x<2a+1.因为p是q的充分不必要条件,所以(-∞,1)是(-∞,2a+1)的真子集,所以1<2a+1,所以a>0.故实数a的取值范围为(0,+∞). 变式　(1)B　[解析] 对于A,因为(5,+∞)⫋(3,+∞),所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A错误;对于B,当x≠±1时,|x|≠1,反之也成立,所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件,故B正确;对于C,若q⇒p,则p是q的必要条件,故C错误;对于D,矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形,所以“一个四边形是矩形”的必要条件是“它是平行四边形”,故D错误.故选B. (2)解:①A={x|x2-4x-12=0}={-2,6}, 由A∪B=A,得B⊆A,则B=∅或{-2}或{6}. 当B=∅时,a=0;当B={-2}时,-2a-1=0,解得a=-;当B={6}时,6a-1=0,解得a=. 综上,实数a的取值集合为. ②若a=-,则B=={-2},则A∩B={-2}. 又“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件, 所以{-2}是C的真子集,所以1-m≤-2≤1+m,解得m≥3,经检验符合条件, 故实数m的取值范围是{m|m≥3}. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结 判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”) 1.若集合A={y|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x+2,x∈R},则A∩B={(-1,1),(2,4)}. (　 ) 2.“全等三角形的面积相等”是全称量词命题.(　 ) 3.{x|x=2n,n∈N*}⫋{1,2,3,4,5,6,…}.(　 ) 4.若全集U=(4,+∞),∁UA=(5,+∞),则A=(-∞,5]. (　 ) 5.“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的充要条件. (　 ) ◆ 题型一　集合的概念、集合的基本关系 [类型总述] (1)集合中元素的互异性;(2)集合的基本关系;(3)子集的个数. 例1 (1)已知集合A={1,a-2,a2-a-1},若-1∈A,则实数a的值为 (　 ) A.1 B.1或0 C.0 D.-1或0 (2)已知集合A={x|x2-8x+15=0},集合B={x|ax-1=0},若B⊆A,实数a的取值集合为C,则下列说法正确的是 (　 ) A.⊆C B.C= C.集合C的子集有7个 D.集合C的真子集有6个 变式 (1)[2025·广东中山高一月考] 若集合A={a2,a+b,0},集合B=,且A=B,则a2024+b2025的值为 (　 ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 (2)已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}. ①若-1∈A,求集合A; ②若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围. ◆ 题型二　集合的基本运算 [类型总述] (1)集合中并集、交集的运算;(2)集合的补集运算;(3)集合运算中求参数. 例2 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N= (　 ) A.{x|0≤x<2} B. C.{x|3≤x<16} D. (2)[2022·全国甲卷] 设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则∁U(A∪B)= (　 ) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0} (3)已知集合A={x|y=},B={y|y=x2+1},则 (　 ) A.A∩B=∅ B.A∩B=A C.A∪B=A D.∁RB⊆A 变式 (1)设集合A={1,3,6,7},B={1,2,6},C={x∈R|-1≤x<7},则(A∩C)∪B=(　 ) A.{1,3,6,7} B.{1,2,3,6,7} C.{1,2,3,6} D.{x∈R|-1≤x<7} (2)如图,已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则图中阴影部分表示的集合的真子集有 (　 ) A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 (3)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁UB)=　　　　.  例3 已知集合A={x||x+1|≤3},B={x|0<x<3m}. (1)若A∪B=A,求实数m的取值范围; (2)设P=(∁RA)∩B,若∃x∈Z且x∈P,求实数m的取值范围. 变式 (多选题)[2025·湖北武汉高一期中] 已知集合A={x|x2-2x-8=0},集合B={x|mx-4=0},若(∁RA)∩B=∅,则实数m的值可以为 (　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 ◆ 题型三　全称量词与存在量词 [类型总述] (1)含一个量词的命题的真假判断;(2)含一个量词的命题的否定. 例4 (1)[2025·广西南宁高一期中] 命题“∃x∈R,x3+|x|-2>0”的否定是 (　 ) A.∃x∉R,x3+|x|-2≤0 B.∃x∈R,x3+|x|-2≤0 C.∀x∈R,x3+|x|-2≤0 D.∀x∉R,x3+|x|-2≤0 (2)已知p:关于x的方程x2+x+m=0有两个相异负根,q:∃x∈(0,+∞),x2-3mx+9=0.若p与q有且仅有一个为真命题,则实数m的取值范围是 (　 ) A.∅ B. C.∪[2,+∞) D.[2,+∞) 变式 已知集合A={x|2≤x≤7},B={x|-3m+4≤x≤2m-1},且B≠∅. (1)若p:∀x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围; (2)若q:∃x∈B,x∈A是真命题,求实数m的取值范围. ◆ 题型四　充分条件、必要条件、充要条件 [类型总述] (1)判断充分条件、必要条件;(2)充要条件的逆用求参数;(3)充要条件的证明. 例5 (1)已知x∈R,p:0<x<1,q:≥a,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围为(　 ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] (2)已知p:a<x<2a+1,q:2<x<4,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　.  (3)[2026·陕西西安高一期中] 已知p:x<1,q:x-(2a+1)<0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为 　　　　.  变式 (1)下列说法正确的是 (　 ) A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件 B.“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件 C.若q⇒p,则p是q的充分条件 D.“一个四边形是矩形”的充分条件是“它是平行四边形” (2)[2025·辽宁葫芦岛高一期末] 已知集合A={x|x2-4x-12=0},集合B={x|ax-1=0},集合C={x|1-m≤x≤1+m},且A∪B=A. ①求实数a的值组成的集合; ②当a=-时,“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $