2.1.1 等式的性质与方程的解集教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦等式性质、恒等式、十字相乘法、方程解集及含参数方程分类讨论，通过复习初中等式性质并符号化表述，搭建从已有知识到恒等式的学习支架，衔接后续因式分解与解集表示。 特色在于对比辨析恒等式与方程突破难点，十字相乘法例题强化数学运算，集合语言表示解集发展数学抽象，含参数方程分类讨论培养逻辑推理，多媒体工具辅助直观理解，助力学生实现算术思维到代数思维过渡，为教师提供清晰教学流程与互动资源。

人教B版 教学设计-2026-2027学年 2.1.1 等式的性质与方程的解集 数学 必修第一册 高一 1. 教学设计 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 1课时 版本 人教B版 册次 必修第一册 章节 2.1等式 2.1.1 课题 等式的性质与方程的解集 课型 新授课 教学方式 启发探究式 — 教材 人教B版必修第一册 第二章 等式与不等式 2.1 等式 第1课时 2. 教材分析 本节课选自人教B版高中数学必修第一册第二章2.1.1节"等式的性质与方程的解集"。等式的性质是初中阶段已经学习过的内容，本节在此基础上引入恒等式的概念，并将其作为代数变形的依据。十字相乘法是因式分解的重要方法，为后续用因式分解法求方程解集奠定基础。方程的解集以集合语言描述方程的解，体现了从初中算术思维向高中代数思维的过渡。本节内容既是初中等式与方程知识的延伸，也是后续学习不等式性质、一元二次不等式等内容的重要基础，在教材中起着承上启下的作用。 教材在呈现等式性质后，紧接着给出恒等式的定义和常用恒等式，随后引入方程的解集概念，最后通过"如果ab=0，则a=0或b=0"这一性质，将因式分解与求方程解集自然衔接。这一编排逻辑清晰，层层递进，有利于学生构建完整的知识体系。 3. 学情分析 高一学生在初中阶段已掌握等式的基本性质、一元一次方程和一元二次方程的解法，具备一定的代数运算能力。但学生对恒等式与方程的区别认识不够清晰，容易将恒等式视为方程。在十字相乘法因式分解中，学生对符号处理和拆项技巧不够熟练，容易出现正负号错误。含字母参数方程的分类讨论意识较为薄弱，学生容易遗漏a=0的情况。 此外，学生刚学习过集合的概念与表示，对用集合语言描述方程的解有一定基础，但将集合与方程结合还需练习巩固。教学中需通过对比辨析和分层练习帮助学生突破上述障碍，同时注重培养学生的分类讨论意识。 4. 课程标准及目标分析 素养目标： 1. 理解等式的性质与恒等式的概念，掌握十字相乘法分解因式，能用集合语言表示方程的解集，发展逻辑推理与数学运算素养。 2. 经历从等式性质到方程解集的探究过程，体会分类讨论思想在含参数方程中的应用，提升数学抽象与逻辑推理能力。 5. 教学重难点 重点：等式性质、恒等式与代数变形、十字相乘法、用集合表示方程的解集。 难点：恒等式与一般等式的区分，含参数方程的分类讨论。 6. 网络多媒体教室 本节课安排在网络多媒体教室进行。教室配备投影设备和计算机网络，支持教师实时展示课件内容，也便于学生进行自主探究和成果展示。教学过程中，教师通过投影展示等式性质的符号表述、恒等式的辨析例题以及十字相乘法的步骤演示，学生可通过投屏展示自己的解答过程，促进课堂互动与交流。 7. 几何画板软件、投屏软件 几何画板软件用于动态展示数轴上方程解集的表示过程，帮助学生直观理解解集的含义。投屏软件用于展示学生课堂练习的解答过程，教师可及时点评学生的书写规范性和解题思路，促进课堂交流与反馈。在使用因式分解法求方程解集的环节中，投屏展示学生的因式分解过程和解集表示，便于全班共同分析和纠错。 8. 教学过程 1. 复习引入——回顾等式性质。本环节引导学生回顾初中已学的等式性质，用符号语言表述，为引入恒等式概念做铺垫。 教师活动 学生活动 设计意图 教师请学生回忆等式的两条基本性质，要求用文字语言和符号语言分别表述。 学生回忆并口述：等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，等式仍成立；等式两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。用符号表示为：若a=b，则a+c=b+c；若a=b且c≠0，则ac=bc。 唤醒已有知识，为引入恒等式概念做铺垫。 教师追问等式两边同时乘以零时等式是否成立，以及教材中除法性质为何强调"不为零"。 学生思考后回答：乘以零后两边都变为零，等式仍成立，但失去原有信息；除以零无意义，因此除法性质中要求除数不为零。 深化对等式性质条件的理解。 2. 新知探究——恒等式的概念。通过对比辨析，引导学生理解恒等式的概念，区分恒等式与方程。 教师活动 学生活动 设计意图 教师给出四个等式：①x+1=x+1；②2x+3=7；③(a+b)²=a²+2ab+b²；④x²−1=(x+1)(x−1)。请学生判断哪些等式对字母取任意实数都成立。 学生逐个代入检验。发现①③④对任意实数都成立，②仅当x=2时成立。 通过具体例子建立对恒等式的感性认识。 教师给出恒等式的定义：含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式。请学生辨析恒等式与方程的区别。 学生理解定义，辨析得出：恒等式对字母任意取值都成立，方程仅对特定值成立。恒等式是代数变形的依据之一。 明确恒等式概念，突破难点。 3. 新知探究——常用恒等式与十字相乘法。介绍常用恒等式，讲解十字相乘法分解因式的方法和步骤。 教师活动 学生活动 设计意图 教师列举常用恒等式：平方差公式a²−b²=(a+b)(a−b)；完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²；(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab。 学生记录并记忆这些恒等式，理解它们是代数变形的依据。 积累代数变形的工具。 教师讲解十字相乘法：对于x²+px+q，寻找两个数m、n，使m+n=p，mn=q，则x²+px+q=(x+m)(x+n)。 学生跟随理解十字相乘法的原理和步骤。 掌握因式分解的重要方法。 教师出示例题：分解因式x²+5x+6和x²−3x−10。 学生尝试：对于x²+5x+6，找两个数乘积为6、和为5，即2和3，所以x²+5x+6=(x+2)(x+3)。对于x²−3x−10，找两个数乘积为−10、和为−3，即−5和2，所以x²−3x−10=(x−5)(x+2)。 通过例题掌握十字相乘法。 例1：分解因式x²+5x+6。 解：寻找两个数m、n，使m+n=5，mn=6。因为2+3=5且2×3=6，所以x²+5x+6=(x+2)(x+3)。 例2：分解因式x²−3x−10。 解：寻找两个数m、n，使m+n=−3，mn=−10。因为(−5)+2=−3且(−5)×2=−10，所以x²−3x−10=(x−5)(x+2)。 4. 新知探究——方程的解与解集。回顾方程的解的概念，引入解集的定义，用集合语言表示方程的解。 教师活动 学生活动 设计意图 教师请学生回顾方程的解（根）的定义。 学生回答：能使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解（或根）。 衔接初中知识。 教师给出解集的定义：把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。出示例题：求方程2x−6=0的解集。 学生求解：2x=6，x=3，解集为{3}。 用集合语言描述方程的解。 例3：求方程2x−6=0的解集。 解：由2x−6=0，得2x=6，x=3。所以方程的解集为{3}。 5. 新知探究——用因式分解法求方程解集。利用ab=0的性质，通过因式分解求方程的解集。 教师活动 学生活动 设计意图 教师给出性质：如果ab=0，则a=0或b=0。说明其依据是任意两个非零实数的乘积不为零。 学生理解性质，明确这是将方程转化为因式分解形式求解的依据。 掌握因式分解法求方程解集的理论基础。 教师出示例题：求方程x²−4=0的解集。 学生尝试：x²−4=(x+2)(x−2)=0，所以x=−2或x=2，解集为{−2,2}。 通过例题掌握方法。 教师出示例题：求方程x²−5x+6=0的解集。 学生独立完成：x²−5x+6=(x−2)(x−3)=0，所以x=2或x=3，解集为{2,3}。 巩固因式分解法。 例4：求方程x²−4=0的解集。 解：将方程左边因式分解，得(x+2)(x−2)=0。由ab=0则a=0或b=0，得x+2=0或x−2=0，即x=−2或x=2。所以方程的解集为{−2,2}。 例5：求方程x²−5x+6=0的解集。 解：将方程左边因式分解，得(x−2)(x−3)=0。所以x−2=0或x−3=0，即x=2或x=3。所以方程的解集为{2,3}。 6. 巩固练习——含参数方程的分类讨论。通过含参数方程的分类讨论，突破难点。 教师活动 学生活动 设计意图 教师出示例题：求关于x的方程ax=2的解集（a为参数）。 学生尝试求解，发现需要讨论a是否为零。 培养分类讨论意识。 教师引导学生分类讨论：当a≠0时方程的解是什么；当a=0时方程是否有解。 学生分类讨论：当a≠0时，x=，解集为只含该值的单元素集合；当a=0时，方程变为0=2，无解，解集为∅。 突破含参数方程分类讨论的难点。 例6：求关于x的方程ax=2的解集（a为参数）。 解：分两种情况讨论。当a≠0时，两边同除以a，得x=，解集为只含元素的单元素集合。当a=0时，方程变为0=2，不成立，方程无解，解集为∅。综上所述，当a≠0时，解集为只含的集合；当a=0时，解集为∅。 7. 课堂小结与作业布置。梳理本节知识，布置课后作业。 教师活动 学生活动 设计意图 教师引导学生总结本节所学知识：等式性质、恒等式概念、十字相乘法、方程的解集、因式分解法求解集、含参数方程分类讨论。布置课后作业。 学生回顾并口述本节知识点，形成知识结构。记录作业要求。 梳理知识脉络，巩固所学。 课后作业： 层次 题目 要求 必做 作业1. 判断下列等式是否为恒等式：①x²+2x+1=(x+1)²；②3x+1=7；③(a−b)²=a²−2ab+b² 说明理由 必做 作业2. 用十字相乘法分解因式：①x²+7x+12；②x²−6x+8 写出过程 必做 作业3. 求下列方程的解集：①x²−9=0；②x²+4x+3=0 用集合表示 选做 作业4. 求关于x的方程(a−1)x=3的解集（a为参数） 分类讨论 参考答案：作业1. ①是恒等式，因为对任意实数x，(x+1)²=x²+2x+1恒成立。②不是恒等式，因为仅当x=2时3x+1=7成立。③是恒等式，因为对任意实数a、b，(a−b)²=a²−2ab+b²恒成立。作业2. ①x²+7x+12=(x+3)(x+4)。②x²−6x+8=(x−2)(x−4)。作业3. ①x²−9=(x+3)(x−3)=0，x=−3或x=3，解集为{−3,3}。②x²+4x+3=(x+1)(x+3)=0，x=−1或x=−3，解集为{−1,−3}。作业4. 当a≠1时，x=，解集为只含该值的单元素集合；当a=1时，方程变为0=3，无解，解集为∅。 9. 板书设计 等式的性质与方程的解集 一、等式的性质 （1）两边同加（减）同一个数或代数式，等式仍成立 （2）两边同乘不为零的数或代数式，等式仍成立 二、恒等式 字母取任意实数时都成立的等式 三、十字相乘法 x²+px+q=(x+m)(x+n)，其中m+n=p，mn=q 四、方程的解集 所有解组成的集合 五、因式分解法求解集 ab=0 ⇒ a=0或b=0 10. 教学反思 本节课从等式性质出发，引导学生理解恒等式的概念，掌握十字相乘法和因式分解法求方程解集。教学中通过对比辨析帮助学生区分恒等式与方程，效果较好。在含参数方程的分类讨论环节，部分学生仍存在遗漏a=0的情况，后续教学中需加强分类讨论意识的培养。十字相乘法的练习量可以适当增加，帮助学生更熟练地找到拆项的规律。整体来看，课堂节奏合理，学生参与度较高，但应留更多时间让学生自主探究和展示。 学科网（北京）股份有限公司 $