1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“常用逻辑用语”中的命题与量词核心知识点，从命题的定义及真假判断入手，逐步延伸至全称量词与存在量词的意义，构建全称/存在量词命题的判定、真假判断及参数范围应用的递进式学习支架。 资料通过“诊断分析”即时检测理解，“探究点”结合例题与变式分层训练，“素养小结”提炼方法。以例2用符号表示命题培养数学语言（符号意识），例3判断命题真假发展数学思维（推理能力），助力教师课堂引导，学生课后可通过练习查漏补缺，强化逻辑素养。

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 【学习目标】 1.掌握命题的概念,能对命题进行真假判断; 2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义; 3.会判断哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题. ◆ 知识点一　命题 1.定义:可供真假判断的　　　　　　就是命题,判断为真的语句称为　　　　　,判断为假的语句称为　　　　　.  2.记法:命题可以用　　　　　　　表示,如若记p:A⊆(A∪B),则可知p是一个真命题.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“明天要下雨”是一个命题. (　 ) (2)“22=4”是一个真命题. (　 ) (3)“数学比英语难学”是一个命题. (　 ) ◆ 知识点二　全称量词 1.全称量词 一般地,“　　　”“　　　”“　　　　”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“　　　　”表示.  2.全称量词命题 含有全称量词的命题,称为　　　　　　　　.全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可简记为　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“至少有一个三角形的内角和为180°”是全称量词命题. (　 ) (2) “负数没有倒数” 是全称量词命题. (　 ) (3)“三角形内角和等于180°”是全称量词命题. (　 ) (4)“对于任意实数x,2x+1是奇数”是全称量词命题. (　 ) ◆ 知识点三　存在量词 1.存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“　　　　”表示.  2.存在量词命题 含有存在量词的命题,称为　　　　　　　　.存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可简记为　　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“存在实数x,使得|x|≤0” 是存在量词命题. (　 ) (2)“在一个平面内,存在两条相交直线垂直于同一条直线”不是存在量词命题. (　 ) (3)“有些整数只有两个正因数”是存在量词命题. (　 ) (4)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题.(　 ) (5)命题“∀x∈R,∃y∈R,y=3x-4”的书写是正确的. (　 ) ◆ 探究点一　命题及其真假的判断 例1 (1)下列语句中,命题的个数为 (　 ) ①中国航天人真伟大!②空集是任何集合的真子集;③3x-2>0;④把门关上;⑤自然数是偶数;⑥矩形是平行四边形吗? A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(多选题)下列命题是真命题的有 (　 ) A.是无理数 B.若x>2,则x>5 C.方程2x2+1=0有实数根 D.集合A是集合A∪B的子集 [素养小结] (1)判断一个语句是不是命题,关键看它是否同时具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.祈使句、感叹句、疑问句等都不是命题. (2)判断命题真假的方法: ①要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证; ②要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可. ◆ 探究点二　全称量词命题和存在量词命题的判定 例2 将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示. (1)自然数的平方大于零; (2)方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负根; (3)两个无理数的和是无理数; (4)存在两个相似三角形不全等. 变式 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)有的三角形没有中线; (3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直. [素养小结] (1)判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤: (2)全称量词命题或存在量词命题的不同表述方法: 命题 全称量词命题“∀x∈A,p(x)” 存在量词命题“∃x∈A,p(x)” 表述 方法 ①所有的x∈A,p(x)成立; ②对一切x∈A,p(x)成立; ③对每一个x∈A,p(x)成立; ④任意一个x∈A,p(x)成立; ⑤凡x∈A,都有p(x)成立 ①存在x∈A,使得p(x)成立; ②至少有一个x∈A,使得p(x)成立; ③对有些x∈A,p(x)成立; ④对某个x∈A,p(x)成立; ⑤有一个x∈A,使得p(x)成立 ◆ 探究点三　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 例3 (1)下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是 (　 ) A.对于a,b∈R,有a2+b2-2a-2b+2<0 B.梯形的两条对角线相等 C.有小于1的自然数 D.对于任意k∈R,函数y=kx+1的图象过定点(0,1) (2)(多选题)下列命题中为真命题的是 (　 ) A.∀x∈R,x2+2>0 B.∀x∈N,x4≥1 C.∃x∈Q,x2=3 D.∃x∈Z,x3<1 变式 (1)[2025·辽宁鞍山高一期中] 下列命题中为真命题的是 (　 ) A.∃x∈R,x2+1<0 B.∀x∈R,x+|x|>0 C.∀x∈Z,|x|∈N D.∃x∈R,x2-7x+15=0 (2)[2026·重庆万州区高一期中] 已知命题p:∃x,y∈Z,4x+2y=15;命题q:∀m∈N,∉N.则下列关于p,q真假的叙述正确的是 (　 ) A.p,q均为真 B.p,q均为假 C.p真,q假 D.p假,q真 [素养小结] (1)全称量词命题的真假判断: (2)存在量词命题的真假判断: ◆ 探究点四　利用全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围 例4 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若p:∀x∈B,x∈A是真命题,求实数m的取值范围; (2)若q:∃x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围. 变式 (1)已知∀x∈{x|0≤x≤2},m>x,∃x∈{x|0≤x≤2},n>x,那么m,n的取值范围分别是(　 ) A.{m|m>0},{n|n>0} B.{m|m>0},{n|n>2} C.{m|m>2},{n|n>0} D.{m|m>2},{n|n>2} (2)若“∃x∈R,x2+2x-1+m=0”是真命题,则实数m的最大值是　　　　.  [素养小结] (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,常见解题方法:一是结合函数性质,利用数形结合求解;二是利用分离参数法求解. (2)存在量词命题的常见题型是“存在性”问题,解题过程中要注意与“恒成立”问题进行区别. 1.下列语句是命题的是 (　 ) ①三角形的内角和等于180°;②2>3;③一个数不是正数就是负数;④2x>1;⑤3是偶数吗? A.①②③ B.①③④ C.①②⑤ D.②③⑤ 2.给出下列四个命题: ①至少有一个x,使x2+2x+1=0成立; ②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立; ③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立; ④存在x,使x2+2x+1=0成立. 其中是全称量词命题的个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.0 3.下列命题中是真命题的个数是 (　 ) ①∃x∈R,x≤0; ②至少有一个整数,它既不是合数也不是质数; ③∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数. A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知A={x|x满足α},B={x|x满足β},A⊆B,A≠∅,则命题“若α,则β”是　　　　命题.(填“真”或“假”)  5.若“∃x∈R,x2-2x+a=0”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 【课前预习】 知识点一 1.陈述语句　真命题　假命题　2.小写英文字母 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)不能判断真假的语句不是命题. (2)数学命题可以借助符号和式子来表示,22=4是真命题. (3)没有判断“数学比英语难学”的标准,故不是命题. 知识点二 1.任意　所有　每一个　∀ 2.全称量词命题　∀x∈M,r(x) 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　(4)√　[解析] (1)因为命题不是对“全体”的描述,故命题不是全称量词命题. (2) “负数没有倒数” 即“任何负数都没有倒数”,是全称量词命题. (3)“三角形内角和等于180°”即“所有的三角形内角和都等于180°”,是全称量词命题. (4)根据全称量词命题的概念知,该说法正确. 知识点三 1.∃　2.存在量词命题　∃x∈M,s(x) 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　[解析] (1)“存在实数x,使得|x|≤0”是存在量词命题. (2)“在一个平面内,存在两条相交直线垂直于同一条直线”有存在量词,所以是存在量词命题. (3)“有些整数只有两个正因数”有存在量词,所以是存在量词命题. (4)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题,因为偶数2是质数,所以该命题是真命题. (5)当全称量词命题和存在量词命题中包含多个变量时,可以同时用相关量词进行表述. 【课中探究】 例1　(1)B　(2)AD　[解析] (1)①是感叹句,不能判断真假,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是祈使句,不能判断真假,不是命题;⑥是疑问句,不能判断真假,不是命题.②⑤可以判断真假,都是命题.故选B. (2)对于A,是无理数,故A是真命题;对于B,当x=3时,满足x>2,但3<5,故B是假命题;对于C,方程2x2+1=0,整理得x2=-,因为x2≥0,所以方程2x2+1=0无实数根,故C是假命题;对于D,因为集合A∪B包含集合A中全部元素,所以集合A是集合A∪B的子集,故D是真命题.故选AD. 例2　解:(1)该命题可用符号表示为“∀x∈N,x2>0”. (2)该命题可用符号表示为“∃x<0,ax2+2x+1=0(a<1)”. (3)该命题可用符号表示为“∀a,b∈{x|x是无理数},a+b∈{x|x是无理数}”. (4)该命题可用符号表示为“∃△ABC∽△A'B'C',△ABC≌△A'B'C'不成立”. 变式　解:(1)该语句可以改为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”,含有全称量词“所有的”,故为全称量词命题. (2)该语句含有存在量词“有的”,故为存在量词命题. (3)该语句可以改为“任意一个菱形的对角线互相垂直”,含有全称量词“任意”,故为全称量词命题. 例3　(1)D　(2)AD　[解析] (1)对于A,a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故A是假命题;易知B是假命题;易知C是存在量词命题;对于D,对于任意k∈R,函数y=kx+1的图象过定点(0,1),故D既是真命题又是全称量词命题.故选D. (2)对于A,因为x2≥0,所以x2+2≥2>0,故A是真命题;对于B,当x=0时,x4=0<1,故B不是真命题;对于C,若x2=3,则x=±,都为无理数,故C不是真命题;对于D,取x=0,则x3=0<1,故D是真命题.故选AD. 变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)对于A,因为x2+1≥1>0,所以A是假命题;对于B,当x=0时,x+|x|=0,所以B是假命题;对于C,∀x∈Z,|x|∈N,所以C是真命题;对于D,方程x2-7x+15=0中Δ=72-4×15<0,此方程无解,所以D是假命题.故选C. (2)若x,y∈Z,则4x+2y为偶数,故4x+2y≠15,所以不存在x,y∈Z,使4x+2y=15,故p为假命题.若m=0,则=1∈N,所以q为假命题.故选B. 例4　解:(1)因为p:∀x∈B,x∈A是真命题,所以B⊆A,且B不为空集,所以解得2≤m≤3.故实数m的取值范围为[2,3]. (2)因为q:∃x∈A,x∈B是真命题, 所以A∩B≠∅,所以B≠∅,即m+1≤2m-1,即m≥2, 则m+1≥3,所以m+1≤5,即m≤4,所以2≤m≤4. 故实数m的取值范围为[2,4]. 变式　(1)C　(2)2　[解析] (1)由∀x∈{x|0≤x≤2},m>x,可得m>2;由∃x∈{x|0≤x≤2},n>x,可得n>0.故选C. (2)因为“∃x∈R,x2+2x-1+m=0”是真命题,所以Δ=4-4m+4≥0,解得m≤2,故实数m的最大值是2. 【课堂评价】 1.A　[解析] ①②③可以判断真假,都是命题;④中语句不能判断真假,⑤中语句为疑问句,则④⑤不是命题.故选A. 2.B　[解析] 因为“至少有一个”“存在”是存在量词,“任意的”是全称量词,所以①④为存在量词命题,②③为全称量词命题,所以全称量词命题的个数为2.故选B. 3.D　[解析] ①∃x∈R,x≤0,故①是真命题;②数字1是整数,且既不是合数也不是质数,故②是真命题;③∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数,例如x=π,故③是真命题.故选D. 4.真　[解析] ∵A⊆B,∴若x∈A,则x∈B,故命题“若α,则β”是真命题. 5.(-∞,1]　[解析] ∵“∃x∈R,x2-2x+a=0”为真命题,∴Δ=4-4a≥0,解得a≤1.故实数a的取值范围为(-∞,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $