1.2 常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 第2课时 充要条件(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“充要条件”核心知识点，系统梳理充分不必要、必要不充分、充要条件的定义及集合关系表示，前承充分条件与必要条件基础，后接逻辑判断、证明及参数应用，构建从概念到实践的完整学习支架。 该资料通过诊断分析题夯实基础认知，探究点结合例题与变式，从命题推理和集合关系双角度培养逻辑思维，证明环节强调充分性与必要性严谨表达。课中辅助教师分层教学，课后练习题助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第2课时　充要条件 【学习目标】 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系; 2.能够判定充要条件. ◆ 知识点　充要条件 1.充分不必要条件和必要不充分条件 如果p⇒q且q⇒/ p,则称p是q的　　　　　　　　　　;如果p⇒/ q且q⇒p,则称p是q的　　　　　　　　　　.  2.充要条件 如果p⇒q且q⇒p,则称p是q的　　　　　　　　　　(简称为　　　　　　),记作　　　　,读作“p与q等价”“p当且仅当q”.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.  3.集合关系 如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A=B,则　　　　　,因此也就有p(x)是q(x)的　　　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x>1”是“x>1或x<-1”的充分不必要条件.(　 ) (2)已知p:x>0,y>0,q:xy<0,则p是q的既不充分也不必要条件. (　 ) (3)已知p:x=0,y=0,q:x2+y2=0,则p是q的充要条件.(　 ) (4)“x为正数”是“x≥0”的必要不充分条件. (　 ) (5)已知p:x=2或x=-1,q:x2-x-2=0,则p与q等价. (　 ) ◆ 探究点一　充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断 例1 下列各题中,试分别指出p是q的什么条件. (1)p:ab=0,q:a=0; (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形; (3)p: a+5是无理数,q: a是无理数; (4)p:A⊆B,q:A∪B=B. 变式 下列各题中,p是q的什么条件? (1)p:ax2+2x-1=0有两个不等的实数根,q:a>-1; (2)p:x>2,y>2,q:x+y>4; (3)p:A∪B=A, q:A∩B=B; (4)p:x>1或x<-3,q:2<x<3. [素养小结] 判断p是q的充要条件的两种思路: (1)命题角度:判断p是q的充要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p是否成立.若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件. (2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒q及q⇒p是否成立时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题大有益处. 此外,对于较复杂的关系,常用⇒,⇐,⇔等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度. ◆ 探究点二　充要条件的证明 例2 [2025·重庆八中高一期中] 已知△ABC的三边长为a,b,c,其中a=2.求证:△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4. 　　　　　 　　　　　 　 　　　　 变式 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. [素养小结] 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,即充分性需要证明“条件”⇒“结论”,必要性需要证明“结论”⇒“条件”. ◆ 探究点三　充分条件、必要条件、充要条件的应用 例3 已知集合A={x|2m≤x≤m+3},B={x|-2<x<1}.若p:x∈B,q:x∈A,且p是q的充分不必要条件,求m的取值范围. 变式 已知集合A={x|4<x≤8},B={x|5-m2≤x≤5+m2}.设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. [素养小结] 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤: (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系; (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 1.(多选题)设集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0且a≠0}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件,则实数a的值可以为 (　 ) A.- B.- C. D. 2.(多选题)已知U是全集,A,B是U的两个子集,则“A∩B=A”的充要条件是 (　 ) A.A⊆B B.B⊆A C.∁UA⊇∁UB D.∁UA⊆∁UB 3.若m,n∈R,则“m+n≥0”是“m≥0且n≥0”的　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  4.若集合A={x|x>-2},B={x|x≤m,m∈R},试写出: (1)A∪B=R的一个充要条件; (2)A∪B=R的一个必要不充分条件. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　充要条件 知识点 1.充分不必要条件　必要不充分条件 2.充分必要条件　充要条件　p⇔q 3.p(x)⇔q(x)　充要条件 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　[解析] (1)因为x>1⇒x>1或x<-1,x>1或x<-1⇒/ x>1,所以“x>1”是“x>1或x<-1”的充分不必要条件. (2)因为x>0,y>0⇒/ xy<0,xy<0⇒/ x>0,y>0,所以p是q的既不充分也不必要条件. (3)因为x=0,y=0 ⇒x2+y2=0,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件;因为x2+y2=0⇒x=0,y=0,所以q是p的充分条件,p是q的必要条件.所以p是q的充要条件. (4)“x为正数”是“x≥0”的充分不必要条件. (5)当x=2或x=-1时,x2-x-2=0成立;反之,当x2-x-2=0时,x=2或x=-1,所以p与q等价. 【课中探究】 例1　解:(1)因为ab=0⇒/ a=0,而a=0⇒ab=0,所以p是q的必要不充分条件. (2)因为四边形的对角线相等⇒/ 四边形是正方形,而四边形是正方形⇒四边形的对角线相等,所以p是q的必要不充分条件. (3)因为a+5是无理数⇒ a是无理数,a是无理数⇒a+5是无理数,所以p是q的充要条件. (4)因为A⊆B⇒A∪B=B,A∪B=B⇒A⊆B,所以p是q的充要条件. 变式　解:(1)由ax2+2x-1=0有两个不等的实数根,知Δ=22-4×a×(-1)>0且a≠0,解得a>-1且a≠0,则p⇒q,q⇒/ p,所以p是q的充分不必要条件. (2)p⇒q,但q⇒/ p,所以p是q的充分不必要条件. (3)因为A∪B=A⇔A∩B=B,所以p是q的充要条件. (4)方法一(定义法):p:x>1或x<-3,q:2<x<3,q⇒p,p⇒/ q,故p是q的必要不充分条件. 方法二(集合法):令C={x|x>1或x<-3},D={x|2<x<3},显然D⫋C,故p是q的必要不充分条件. 例2　证明:充分性:方法一:当a=2时,b2+c2-2(b+c)=bc-4可化为b2+c2-a(b+c)=bc-a2,即a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,所以a-b=b-c=a-c=0,即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性成立. 方法二:因为b2+c2-2(b+c)=bc-4,所以2b2+2c2-4b-4c-2bc+8=0,则(b-2)2+(c-2)2+(b-c)2=0,所以b=c=2,即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性成立. 必要性:由△ABC为等边三角形,且a=2,得a=b=c=2,则b2+c2-2(b+c)=0,bc-4=0,所以b2+c2-2(b+c)=bc-4,必要性成立.故△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4. 变式　证明:充分性(由条件推出结论):因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,所以方程有一个根为1,所以a+b+c=0⇒关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 必要性(由结论推出条件):因为关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0,所以关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1⇒a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 例3　解:∵A={x|2m≤x≤m+3},B={x|-2<x<1}, p:x∈B,q:x∈A,且p是q的充分不必要条件,∴B⫋A, ∴解得-2≤m≤-1,∴m的取值范围为-2≤m≤-1. 变式　解:因为5-m2≤5+m2,所以B={x|5-m2≤x≤5+m2}≠∅.因为p是q的必要不充分条件,所以B ⫋A,只需解得-1<m<1.综上,实数m的取值范围为-1<m<1. 【课堂评价】 1.AD　[解析] 由题得A={x|x2-x-6=0}={-2,3},B=.因为x∈B是x∈A的充分不必要条件,所以B是A的真子集.因为a≠0,所以B≠∅,所以B={3}或B={-2}.当B={3}时,3a-1=0,解得a=;当B={-2}时,-2a-1=0,解得a=-.故a的值为或-.故选AD. 2.AC　[解析] 由A∩B=A可得A⊆B,由A⊆B,可得A∩B=A,故“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件,故A正确,B错误;由∁UA⊇∁UB可得A⊆B,故C正确;由∁UA⊆∁UB可得B⊆A,不能得到“A∩B=A”,故D错误.故选AC. 3.必要不充分　[解析] 当m≥0,n≥0时,m+n≥0一定成立;当m=2,n=-1时,有m+n=1>0,即当m+n≥0时,不一定有m≥0且n≥0.故应填“必要不充分”. 4.解:(1)集合A={x|x>-2},B={x|x≤m,m∈R},若A∪B=R,则m≥-2,故A∪B=R的一个充要条件是m≥-2. (2)由(1)知A∪B=R的充要条件是m≥-2, 所以A∪B=R的一个必要不充分条件可以是m≥-3. 学科网（北京）股份有限公司 $