1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第2课时 集合的表示(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦集合的表示这一核心知识点，系统梳理列举法（元素一一列举）、描述法（特征性质刻画）及区间表示的方法，构建从具体元素到抽象性质再到符号简化的学习支架，帮助学生逐步掌握集合的符号语言刻画。 资料通过诊断分析辨析元素属性、区间端点等易错点，培养数学思维的推理意识，结合方程组解集、函数图象点集等实例，提升用数学语言表达现实世界的能力。课中例题解析辅助教师教学，课后练习题与素养小结助力学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　集合的表示 【课前预习】 知识点一 1.一一列举　2.{x|p(x)}　{x∈I|p(x)} 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)解方程得x=-2或x=1,用列举法表示其组成的集合为{-2,1}或{1,-2},用描述法表示其组成的集合为{x|(x-1)(x+2)=0}. (2)直线上的点是点集,不是数集,因此用描述法表示为{(x,y)|y=2x+4,x∈N}. (3)所给集合的元素是有序实数对,所以元素应当为(1,2). (4)由x+1=0得x=-1,故集合A和B表示同一个集合. 知识点二 1.[a,b]　{x|a<x<b}　[a,b)　{x|a<x≤b} 2.(-∞,+∞) 　[a,+∞)　{x|x>a}　{x|x≤b} (-∞,b) 诊断分析 解:(1)无论是闭区间还是开区间,区间中的两个端点都不能相等. (2)由于空集没有任何元素,故在数轴上找不到实数与之对应,所以空集不能用区间表示. 【课中探究】 例1　解:(1)由解得 故方程组的解集为{(4,-2)},该集合是有限集. (2)由x-1<2x+1<7,解得-2<x<3,则{x∈N*|x-1<2x+1<7}={x∈N*|-2<x<3}={1,2},该集合是有限集. (3)被3除余2的正整数可表示为a=3k+2(k∈N),所以被3除余2的正整数组成的集合是{2,5,8,…},该集合是无限集. (4)N*为正整数集,故N*用列举法表示为{1,2,3,…},该集合为无限集. 例2　C　[解析] ∵M={-2,0,1},x∈M,y∈M,∴x可取-2,0,1且y可取-2,0,1,又-2×(-2)=4,1×1=1,-2×0=1×0=0×0=0,-2×1=-2,∴xy=-2,0,1,4,∴N={-2,0,1,4}.故选C. 例3　解:(1)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合为{(x,y)|y=x2+2x-10},该集合是无限集. (2)由不等式5x+2>3x-4,解得x>-3,则所求集合为{x|x>-3},该集合是无限集. (3)设点P(x,y)在第四象限,则x>0,y<0,所以平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合为{(x,y)|x>0且y<0},该集合是无限集. (4)所有正偶数组成的集合为{x|x=2n,n∈N*},该集合是无限集. 例4　C　[解析] 若集合A={x|1<x<k,x∈N}中恰有5个元素,则A={2,3,4,5,6},所以6<k≤7.故选C. 例5　解:(1)[3,+∞). (2)(-1,2]. (3)(-∞,5). 变式　(1)(-1,+∞)　(2)[0,2)∪(2,+∞)　(3)(-∞,5)　[解析] (1)由题意得2a+1>a,解得a>-1,即a的取值范围为(-1,+∞). (2){x|x≥0且x≠2}用区间表示为[0,2)∪(2,+∞). (3)要使有意义,则5-x>0,即x<5,用区间表示为(-∞,5). 【课堂评价】 1.C　[解析] 集合{x|0≤x<2}可表示为[0,2). 2.D　[解析] (x,y)表示坐标平面上的点,且点(x,y)在函数y=2x-1的图象上.故选D. 3.B　[解析] 因为∈N*,所以3-x=1,2,3,6,可得x=2,1,0,-3,因为x∈N*,所以x=1,2,则集合A={1,2}.故选B. 4.C　[解析] A选项中除去的是四条直线x=1,y=1,x=2,y=-2,故A选项错误;B选项中除去的是A(1,1)或除去的是B(2,-2)或者同时除去两个点,故B选项错误;C选项中(x-1)2+(y-1)2≠0且(x-2)2+(y+2)2≠0,即除去两点A(1,1),B(2,-2),故C选项正确;D选项中任意点(x,y)都不能使[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]=0成立,即不能同时排除A,B两点,故D选项错误.故选C. 5.解:(1)若A是空集,则方程ax2-3x+2=0无解,此时Δ=9-8a<0,解得a>,故实数a的取值范围为. (2)若A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根.当a=0时,该方程为一元一次方程,满足条件;当a≠0时,有Δ=9-8a=0,解得a=.综上,a=0或a=. (3)若A中至多只有一个元素,则A为空集,或A中有且只有一个元素,由(1)(2)得满足条件的实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　集合的表示 【学习目标】 能用符号语言刻画集合,能正确使用区间符号表示某些集合. ◆ 知识点一　集合的表示法 1.列举法:把集合中的元素　　　　　出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.  2.描述法:一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为　　　　　　　,这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.  集合{x|p(x)}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合,可以表示为　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程(x-1)(x+2)=0的实数根组成的集合可以写作{-2,1}或{1,-2}或{x|(x-1)(x+2)=0}.(　 ) (2)由直线y=2x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合为{x,y|y=2x+4,x∈N}.(　 ) (3)集合{(1,2)}中的元素是1和2. (　 ) (4)集合A={x|x+1=0}与集合B={-1}表示同一个集合. (　 ) ◆ 知识点二　区间及其表示 1.已知a,b是两个实数,且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 　 　　  　 　　  开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 　　 　  　　 　  半开半闭区间 (a,b] 2.如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则实数集R可表示为区间　　　　　　.  定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} 　　　  　　　  (a,+∞) 　　　  (-∞,b] {x|x<b} 　　　  【诊断分析】 (1)在集合{x|a≤x≤b}中,当a=b时,集合为{a},那么在区间[a,b]中,a,b是否可以相等? (2)空集能否用区间表示? ◆ 探究点一　列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集. (1)方程组的解集; (2)集合{x∈N*|x-1<2x+1<7}; (3)被3除余2的正整数组成的集合; (4)N*. 例2 [2026·云南昭通高一期中] 已知集合M={-2,0,1},N={xy|x∈M,y∈M},则集合N=(　 ) A.{0,1,4} B.{-4,-2,0,1} C.{-2,0,1,4} D.{-4,-2,0,1,4} [素养小结] 列举法表示集合的步骤及注意事项: (1)列举法表示集合要分清元素的属性,即元素是数、是点还是图形,若是点,则要用坐标表示,元素与元素之间用“,”隔开. (2)列元素时要做到不重复、不遗漏. (3)元素个数较少的有限集或元素间存在明显规律的无限集可用列举法表示.但具有一定规律的无限集,如{1,2,3,4,…},就要考虑元素间的规律性,不能写成{2,1,4,3,…}.列举法在表示无限集时若用到字母,则需要在集合后注明字母范围. ◆ 探究点二　用描述法表示集合 例3 用描述法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集. (1)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合; (2)满足不等式5x+2>3x-4的实数x组成的集合; (3)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合; (4)所有正偶数组成的集合. 例4 [2026·江西九江高一期中] 已知集合A={x|1<x<k,x∈N},若集合A中恰有5个元素,则 (　 ) A.6<k<7 B.6≤k<7 C.6<k≤7 D.6≤k≤7 [素养小结] 描述法表示集合的步骤及注意事项: (1)确定集合中元素的特征. (2)给出其满足的性质. (3)根据描述法的形式写出其满足的集合. (4)用描述法表示集合时,要注意表示形式的规范,在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2+2x=0的实数解组成的集合可表示为{x∈R|x2+2x=0},也可写成{x|x2+2x=0}. ◆ 探究点三　用区间表示集合 例5 用区间表示下列集合: (1){x|x≥3};(2){x|-1<x≤2};(3){x|x<5}. 变式 (1)已知区间[a,2a+1],则a的取值范围是　　　　.  (2)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为　　　　　　.  (3)使有意义的x的取值范围为　　　　(用区间表示).  [素养小结] 解决区间问题应注意的五点: (1)区间的左端点a必须小于右端点b,有时我们将b-a称为区间长度.对于只有一个元素的集合,我们仍然用集合来表示,如当a=b时,用{a}表示. (2)注意开区间(a,b)与点(a,b)在具体情景中的区别. (3)用数轴来表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别. (4)对于一个不等式的所有解组成的集合,我们既可以用集合形式来表示,也可以用区间形式来表示. (5)要注意区间表示实数集的几条原则:数集是连续的、左小、右大、开或闭不能混淆、用“+∞”或“-∞”作为区间端点时要用开区间符号. 1.集合{x|0≤x<2}可用区间表示为 (　 ) A.(0,2) B.(0,2] C.[0,2) D.[0,2] 2.集合{(x,y)|y=2x-1} 表示 (　 ) A.方程y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中所有点组成的集合 D.函数y=2x-1的图象上所有点组成的集合 3.已知集合A=,则用列举法表示A为 (　 ) A. B. C. D. 4.直角坐标平面中除去两点A(1,1),B(2,-2)可用集合表示为 (　 ) A.{(x,y)|x≠1,y≠1,x≠2,y≠-2} B. C.{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2][(x-2)2+(y+2)2]≠0} D.{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]≠0} 5.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R. (1)若A是空集,求实数a的取值范围; (2)若A中只有一个元素,求a的值; (3)若A中至多只有一个元素,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $