1.2 常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 第1课时 充分条件、必要条件的概念(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件、必要条件的概念”核心知识点，从命题真假与推出关系切入，结合集合包含关系深化理解，关联判定定理与性质定理，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过典型命题梳理和表格化呈现，培养学生数学眼光中的抽象能力，例1、例2等实例助力发展数学思维的推理能力。课中教师可引导探究，课后诊断分析与练习题帮助学生查漏补缺，提升逻辑表达的数学语言能力。

1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件、必要条件的概念 【学习目标】 1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系; 2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系; 3.能够判定条件的充分性、必要性. ◆ 知识点　充分条件、必要条件 1.充分条件与必要条件 命题真假 推出关系 条件关系 “若p,则q”是真命题 p⇒q p是q的　　　　条件,  q是p的　　　　条件  “若p,则q”是假命题 p⇒/ q p不是q的　　　　条件,  q不是p的　　　　条件  2.同一个逻辑关系的四种表达形式 ①“如果p,那么q”是真命题; ②p⇒q; ③p是q的充分条件; ④q是p的必要条件. 3.充分条件、必要条件与集合的关系 一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且　　　　(如图),那么p(x)⇒q(x),因此也就有p(x)是q(x)的　　　　　　　,q(x)是p(x)的　　　　　　　.  4.充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系 判定定理给出的是一个　　　　　　　,性质定理给出的是一个　　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x=y”是“x2=y2”的充分条件. (　 ) (2)“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要条件. (　 ) (3)“x2>1”是“x>1”的充分条件. (　 ) (4)“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要条件. (　 ) ◆ 探究点一　充分条件、必要条件的判断 例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=12; (2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0; (3)在△ABC中,若A+B=90°,则C=90°. 例2 下列各题中,哪些q是p的必要条件? (1)p:x=1,q:x-1=; (2)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5; (3)p:a是自然数,q:a是正整数; (4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 下列各题中,哪些p是q的充分条件?哪些p是q的必要条件? (1)p:a=b,q:ac=bc; (2)p:A∩B=A,q:A⫋B; (3)p:一个四边形是矩形,q:这个四边形的对角线相等. [素养小结] 充分条件、必要条件的几种判定方法: (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理的判断性问题. (2)集合法:根据p,q成立的对象组成的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及参数范围的推断问题. ◆ 探究点二　充分条件、必要条件的应用 例3 已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围. 变式 (1)[2025·华东师大附中高一月考] 若不等式|x+a|≤3成立的一个充分条件是2≤x≤3,则实数a的取值范围为　　　　.  (2)已知集合P={x|-2<x<4},非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2,m∈R}.若存在x使得“x∈Q”的必要条件为“x∈P”,则实数m的取值范围为　　　　.  [素养小结] 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,有时还需要借助数轴解决问题. 1.[2025·江苏常州高一期中] 已知 x,y∈R,则“x>0且y>0”是“xy>0”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件又是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 2.[2026·陕西汉中高一期中] 已知非空集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B={x|-1≤x≤4},若存在x0,使得“x0∈B”是“x0∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C.[0,+∞) D. 3.(多选题)下列说法中p是q的充分条件的是 (　 ) A.p:1<x<2,q:2x>1 B.a,b∈Z,p:a+b是偶数,q:a,b都是偶数 C.p:x是无理数,q:x+5是无理数 D.甲、乙、丙三人进行比赛,p:甲不是冠军,q:乙是冠军 4.已知条件α:0<x<2和条件β:0<x<a,若α是β的一个充分条件,则实数a的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件、必要条件的概念 【课前预习】 知识点 1.充分　必要　充分　必要　3.A⊆B　充分条件　必要条件 4.充分条件　必要条件 诊断分析 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)由x=y可以推出x2=y2,所以“x=y”是“x2=y2”的充分条件. (2)当“x=0”时,一定有“(2x-1)x=0”,反之,当“(2x-1)x=0”时,不一定有“x=0”,所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要条件. (3)当x2>1时,x>1或x<-1;当x>1时,可得x2>1.所以“x2>1”是“x>1”的必要条件. (4)当x2-3x+2=0时,可得x=1或x=2,所以“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要条件. 【课中探究】 例1　解:(1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=±12,所以p⇒/ q,所以p不是q的充分条件. (2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则x=1且y=2,所以(x-1)(y-2)=0,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)由三角形的内角和为180°可知,若A+B=90°,则C=90°,因此p⇒q,所以p是q的充分条件. 综上,(2)(3)中p是q的充分条件. 例2　解:(1)当x=1时,x-1==0,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. (2)当x=-2时,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所以p⇒/ q,所以q不是p的必要条件. (3)0是自然数,但是0不是正整数,所以p⇒/ q,所以q不是p的必要条件. (4)等边三角形一定是等腰三角形,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.综上,(1)(4)中q是p的必要条件. 变式　解:(1)由a=b,可得ac=bc,即p⇒q,∴p是q的充分条件.当c=0时,ac=bc不能推出a=b,即q⇒/ p,∴p不是q的必要条件. (2)若A∩B=A,则A⊆B,∴p⇒/ q,∴p不是q的充分条件.若A⫋B,则A∩B=A,∴q⇒p,∴p是q的必要条件. (3)由一个四边形是矩形,可得该四边形的对角线相等,即p⇒q,∴p是q的充分条件.∵四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形,即q⇒/ p,∴p不是q的必要条件.综上,(1)(3)中p是q的充分条件,(2)中p是q的必要条件. 例3　解:(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,又B≠∅,所以即解得a≥2,所以实数a的取值范围是a≥2. (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B⊆A,又B≠∅,所以即解得≤a≤1,所以实数a的取值范围是≤a≤1. 变式　(1)-5≤a≤0　(2)0<m<　[解析] (1)由|x+a|≤3,得-3-a≤x≤3-a.因为不等式|x+a|≤3成立的一个充分条件是2≤x≤3,所以解得-5≤a≤0. (2)因为“x∈Q”的必要条件为“x∈P”,所以Q⊆P,所以解得0<m<. 【课堂评价】 1.A　[解析] 由“x>0且y>0”可得到“xy>0”,由“xy>0”可得x,y同正或同负,不一定能得到“x>0且y>0”.故“x>0且y>0”是“xy>0”的充分条件.故选A. 2.A　[解析] 由题得A⊆B,且A≠∅,所以即解得0≤a≤.故选A. 3.AC　[解析] 对于A,由x∈{x|1<x<2}可推出x∈{x|2x>1},所以p⇒q,故p是q的充分条件;对于B,a+b是偶数,则a,b都是奇数或都是偶数,充分性不成立;对于C,若x是无理数,则x+5是无理数,充分性成立;对于D,若甲不是冠军,则乙是冠军或丙是冠军,所以“甲不是冠军”不是“乙是冠军”的充分条件.故选AC. 4.a≥2　[解析] 因为α是β的一个充分条件,所以{x|0<x<2}⊆{x|0<x<a},所以a≥2. 学科网（北京）股份有限公司 $