1.2.3 充分条件、必要条件-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦充分条件、必要条件、充要条件核心知识点，通过“双刀开关”实例引入，结合命题真假与推出关系定义概念，再关联性质定理、判定定理、数学定义深化理解，构建从实例到概念再到应用的学习支架。 资料以生活实例引发数学抽象，通过表格对比命题真假与条件关系培养逻辑推理能力，题型涵盖判断、探求、证明及参数范围问题，课中助教师系统授课，课后跟踪训练和练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2.3　充分条件、必要条件 课标要求 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 　　某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示. 【问题】　（1）A开关闭合时B灯一定亮吗？ （2）B灯亮时A开关一定闭合吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点一　充分条件与必要条件 命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题 推出关系 p　⇒　q p　 　 q 条件关系 p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件 【想一想】 在逻辑推理中p⇒q能表达成哪几种说法？ 提示：以下5种说法：①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q. 知识点二　充要条件 　如果　p⇒q　，且　q⇒p　，就记作　p⇔q　.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的　充分必要　条件，简称为充要条件. 【想一想】 1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 1.“x，y∈Q”是“xy∈Q”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　若x，y∈Q，则xy∈Q，x，y∈Q是xy∈Q的充分条件，反之，若xy∈Q，不一定推出x，y∈Q，如当x＝y＝时，x，y∉Q，xy＝2∈Q.所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分不必要条件.故选A. 2.“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由“－3＜x＜4”不能推出“－2＜x≤3”，但是由“－2＜x≤3”能推出“－3＜x＜4”，故“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的必要不充分条件.故选B. 3.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的　充要　条件（填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一个） 解析：因为x2－2x＋1＝0，所以x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件. 题型一｜充分、必要、充要条件的判断 【例1】　（1）已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，b2}，则“a＝0，b＝1”是“A＝B”的（　A　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当a＝0，b＝1时，集合A＝{1，0}，B＝{0，1}，则A＝B，故充分；当A＝B时，a＝a2，b2＝1且a2≠1，即a＝0，b＝1或b＝－1，故不必要.故选A. （2）“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（　B　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由两个三角形全等可得两个三角形面积相等.反之不成立.即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件.故选B. （3）已知p：0＜x＜2，q：－1＜x＜3，则p是q的（　A　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：因为{x｜0＜x＜2}是{x｜－1＜x＜3}的真子集，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 通性通法 　　充分、必要、充要条件的判断方法 （1）定义法：若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件； 若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件. （2）集合法：对于集合A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； 若A⫌B，则p是q的必要不充分条件. 【跟踪训练】 1.若a，b∈R，则“a2＋b2＝2（a＋b－1）”是“ab＝1”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由a2＋b2＝2（a＋b－1）得，（a－1）2＋（b－1）2＝0，所以a＝1且b＝1，则ab＝1，充分性成立；由ab＝1，不妨取a＝2，b＝，则a2＋b2＝，2（a＋b－1）＝3，显然a2＋b2≠2（a＋b－1），必要性不成立，所以“a2＋b2＝2（a＋b－1）”是“ab＝1”的充分不必要条件.故选A. 2.〔多选〕下列选项中p是q的必要条件的是（　　） A.p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B.p：a＞2，b＜2，q：a＞b C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D.p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 解析：CD　对于A，p：3x＋2＞5⇒x＞1，q：－2x－3＞－5⇒x＜1，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要条件； 对于B，p：a＞2，b＜2⇒q：a＞b；当a＝1，b＝0时，满足a＞b但q推不出p，故p是q的充分不必要条件； 对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”； 反之，若“四边形是正方形”成立⇒“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要条件； 对于D，p：a≠0⇔q：关于x的方程ax＝1有唯一解，故p是q的充分必要条件.故选C、D. 题型二｜充分条件、必要条件、充要条件的探求 【例2】　（1）关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要不充分条件的是（　A　） A.m＜　 B.m≤ C.m＜－　 D.m＜ 解析：关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，结合选项可知m≤的一个必要不充分条件的是m＜.故选A. （2）函数y＝ax2＋2x＋1（a≠0）的图象与x轴的交点，一个在原点的左侧，一个在原点的右侧的充分不必要条件是（　C　） A.a＜0　 B.a＞0 C.a＜－1　 D.a＞1 解析：∵函数图象一定过（0，1）点，∴函数图象与x轴的两个交点在原点左、右两侧各一个的充要条件为a＜0.结合选项知，充分不必要条件是a＜－1.故选C. （3）（2025·呼和浩特期末）设a，b∈R，则“ab－a－b＋1＝0”的充要条件是（　A　） A.a，b中至少有一个为1 B.a，b都不为0 C.a，b都为1 D.a，b不都为1 解析：由题意ab－a－b＋1＝0⇔（a－1）（b－1）＝0，则a－1和b－1中至少有一个为0，即a，b中至少有一个为1，所以“ab－a－b＋1＝0”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.故选A. 通性通法 　　探求充分条件、必要条件、充要条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件. 【跟踪训练】 1.方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有两个异号实根的一个充要条件是（　　） A.a＜0　 B.a＞0 C.a＜2　 D.a＜－1 解析：A　由题知，解得a＜0.故选A. 2.〔多选〕使a∈R，｜a｜＜4成立的充分不必要条件可以是（　　） A.a＜4　 B.｜a｜＜3 C.－4＜a＜4　 D.0＜a＜3 解析：BD　由｜a｜＜4可得a∈（－4，4）， A.由（－4，4）⫋（－∞，4），所以a＜4是｜a｜＜4成立的一个必要不充分条件； B.由（－3，3）⫋（－4，4），所以｜a｜＜3是｜a｜＜4成立的一个充分不必要条件； C.由（－4，4）＝（－4，4），所以－4＜a＜4是｜a｜＜4成立的一个充要条件； D.由（0，3）⫋（－4，4），所以0＜a＜3是｜a｜＜4成立的一个充分不必要条件.故选B、D. 题型三｜充要条件的证明 【例3】　已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：充分性： 若a＋b＝1， 则a2＋b2－a－b＋2ab＝（a＋b）2－（a＋b）＝1－1＝0，即充分性成立. 必要性： 若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则（a＋b）2－（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b－1）＝0. ∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1， 即必要性成立. 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 通性通法 充要条件的证明思路 　　在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反. 提醒：（1）证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向. （2）若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明. 【跟踪训练】 证明：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：先证充分性： 由a＋b＋c＝0可得c＝－a－b，所以ax2＋bx＋c＝0可化为ax2＋bx－a－b＝0，即（x－1）（ax＋a＋b）＝0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 再证必要性： 方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足ax2＋bx＋c＝0，所以a＋b＋c＝0. 综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 题型四｜利用充分条件、必要条件求参数的范围 【例4】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x｜1－m≤x≤1＋m}⫋{x｜－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. 【母题探究】 1.（变条件）若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A⫋B. 所以或 解得m≥9. 即实数m的取值范围是{m｜m≥9}. 2.（变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 若p是q的充要条件，则方程组无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 通性通法 充分条件与必要条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 【跟踪训练】 1.〔多选〕已知命题p：x＞3；q：x＞a.要使q为p的必要条件，则a的取值可以为（　　） A.－3　 B.0 C.4　 D.5 解析：AB　由q为p的必要条件，可得（3，＋∞）⊆（a，＋∞），∴a≤3.故选A、B. 2.设p：m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）；q：1≤x≤3.若q是p的充分条件，则实数m的取值范围为　　. 解析：p所对集合为{x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，q所对集合为{x｜1≤x≤3}， 因为q是p的充分条件，则必有{x｜1≤x≤3}⊆{x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}， 于是得解得－≤m≤0，所以实数m的取值范围为［－，0］. 1.已知集合M＝{x｜x＝3m＋1，m∈Z}，N＝{x｜x＝6m＋1，m∈Z}，则“x∈M”是“x∈N”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　当x∈M时，推不出x∈N，例如x＝4∈M，4∉N，当x∈N时，x＝6m＋1＝3·2m＋1，2m∈Z，所以x∈M，所以“x∈M”是“x∈N”的必要不充分条件.故选B. 2.〔多选〕下列条件中可以作为“0≤a＜1”的一个必要不充分条件是（　　） A.－1＜a≤1　 B.0＜a＜1 C.0≤a≤3　 D.a＜1或a＞3 解析：ACD　设该条件所表示的集合为M，因为其是“0≤a＜1”的一个必要不充分条件，则{a｜0≤a＜1}⫋M.故选A、C、D. 3.〔多选〕下列四个命题中为真命题的是（　　） A.“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件 B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C.关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实数根的充要条件是Δ＝b2－4ac≥0 D.若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件 解析：AC　{x｜x＞2}⊈{x｜x＜3}且{x｜x＜3}⊈{x｜x＞2}，所以A正确； 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误； 一元二次方程有实数根则Δ≥0，反之亦然，故C正确； 当集合A＝B时，为充要条件，故D不正确.故选A、C. 4.设p：0＜x＜a（a＞0），q：x＜8－3a，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　（0，2]　. 解析：因为q是p的必要不充分条件，所以⇒0＜a≤2. 　　 1.若a为实数，则“a＜1”是“＞1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由＞1得0＜a＜1， 则“a＜1”是“＞1”的必要不充分条件，故选B. 2.“x＞2或x＜－2”的一个充分不必要条件是（　　） A.－2＜x＜2　 B.－4＜x＜2 C.x＞－2　 D.x＞2 解析：D　因为集合{x｜x＞2}是集合{x｜x＞2或x＜－2}的真子集，其余均不满足，所以“x＞2”是“x＞2或x＜－2”的一个充分不必要条件.故选D. 3.已知n∈N*且n＞2，则“n为质数”是“n＋1为合数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　若n为质数，由n＞2，得n必为奇数，则n＋1为大于2的偶数，所以n＋1为合数.取n＝9，则n＋1＝10为合数，但9不是质数.故“n为质数”是“n＋1为合数”的充分不必要条件.故选A. 4.若关于x的不等式｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1]　 B.（－∞，1） C.（3，＋∞）　 D.[3，＋∞） 解析：D　｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则a＞0，｜x－1｜＜a⇒1－a＜x＜1＋a，所以⇒a≥3.故选D. 5.〔多选〕对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中为真命题是（　　） A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 解析：CD　对于A，因为“a＝b”时ac＝bc成立，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错；对于B，a＝－1，b＝－2，a＞b时，a2＜b2；a＝－2，b＝1，a2＞b2时，a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“a＜3”时一定有“a＜5”成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，C正确；对于D，“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确. 6.《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的　　条件. 答案：必要不充分 解析：由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，但“做难题”一定可以推出“做容易题”，故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件. 7.设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么丙是甲的　充分不必要　 条件. 解析：∵甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件， ∴乙⇒甲，丙⇒乙，乙推不出丙，∴丙⇒甲，且甲不能推出丙， ∴丙是甲的充分不必要条件. 8.若“1－m＜x＋m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为　（1，＋∞）　. 解析：不等式0＜＜1的解集为（－1，1），不等式1－m＜x＋m＜2m的解集为（1－2m，m）， 因为“1－m＜x＋m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分条件， 所以（－1，1）⫋（1－2m，m），所以或解得m＞1，所以实数m的取值范围为（1，＋∞）. 9.设全集U＝R，集合A＝{x｜m－2＜x＜m＋2，m∈R}，集合B＝{x｜－4＜x＜4}. （1）当m＝3时，求A∩B，A∪B； （2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 解：（1）当m＝3时，A＝{x｜1＜x＜5}， ∴A∩B＝{x｜1＜x＜4}，A∪B＝{x｜－4＜x＜5}. （2）若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集， ∴或解得－2≤m≤2， ∴实数m的取值范围是[－2，2]. 10.已知a，b∈R，则ab＋4≠2a＋2b的充要条件是（　　） A.a，b都不为2　 B.a，b不都为2 C.a，b不都为0　 D.a2＋b2≠8 解析：A　ab＋4≠2a＋2b⇔（a－2）（b－2）≠0⇔a≠2且b≠2，故ab＋4≠2a＋2b的充要条件为a，b都不为2.故选A. 11.〔多选〕若“x＜m或x＞m＋2”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的值可以是（　　） A.－5　 B.－3 C.3　 D.5 解析：ABD　由必要不充分条件定义可知，x＜m或x＞m＋2 －1＜x＜4，－1＜x＜4⇒x＜m或x＞m＋2，∴m≥4或m＋2≤－1，∴m≥4或m≤－3，∴实数m的值可以是－5，－3和5.故选A、B、D. 12.已知集合P＝{x｜1≤x≤2}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}. （1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：（1）要使x∈P是x∈S的充分条件，需使P⊆S，即解得m≥1，所以存在实数m≥1，使x∈P是x∈S的充分条件. （2）要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S⊆P. 当S≠∅时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S⊆P，则有解得m≤0，所以m＝0. 综上可得，当实数m＝0时，x∈P是x∈S的必要条件. 13.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ（a，b）＝－a－b，那么φ（a，b）＝0是a与b互补的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　φ（a，b）＝－a－b＝0，得＝a＋b，∴ab＝0，故a，b至少有一个为0， 不妨设a＝0，由＝a＋b得＝b，于是b≥0，同理可得a≥0，故a与b互补； 反之若a与b互补，则a≥0，b≥0且ab＝0， 不妨设a＝0，则φ（a，b）＝－a－b＝－b＝b－b＝0，即φ（a，b）＝0. 综上，φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件.故选C. 14.已知a，b，c均为实数，证明“ac＜0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件. 证明：若ac＜0成立，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，且两根之积＜0， 所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，即充分性成立， 反之，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，则两根之积＜0， 所以ac＜0成立，即必要性成立. 综上，“ac＜0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $