1.2.1 命题与量词+1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定（讲义）高一数学人教B版必修第一册.zip

本讲义聚焦集合与常用逻辑用语核心内容，系统梳理命题的定义与真假判断，全称量词（∀）、存在量词（∃）的意义，以及全称/存在量词命题的否定规则（改量词、否结论），构建从基础概念到逻辑应用的递进式学习支架。 资料以“数学抽象”“逻辑推理”为核心素养导向，通过随学随练和分题型训练（如命题否定、真假判断），结合实例区分隐含量词命题，课中辅助教师系统教学，课后借助各地考题变式助学生巩固，有效查漏补缺。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2.1命题与量词+1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课标要点 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义（数学抽象）. 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（数学抽象）. 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（数学抽象）. 学习重难点 重点： 1.命题可判断真假；全称量词∀、存在量词∃。 2.否定规则：改量词、否结论； 3.全称命题否定为存在命题，存在命题否定为全称命题。 难点： 1.区分命题真假；易忽略量词改写，只否定结论； 2.判断含隐含全称或存在语句的命题并正确否定； 3.分清命题否定与否命题，二者易混淆。 知识点一　命题 1.命题：可供真假判断的　陈述语句　. 2.真命题：　判断为真　的语句. 3.假命题：　判断为假　的语句. 提醒：若一个语句为命题，则需满足两点：①陈述句；②能够判断真假. 随学随练 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2．（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 知识点二　全称量词与存在量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　全称量词　的命题称为全称量词命题 含有　存在量词　的命题称为存在量词命题 命题形式 “对集合M中的所有元素x，r（x）”，可用符号简记为“　∀x∈M，r（x）　” “存在集合M中的元素x， s（x）”，可用符号简记为“　∃x∈M，s（x）　” 【想一想】 1.如何判定全称量词命题为假命题？ 2.如何判定存在量词命题为真命题？ 随学随练 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 2．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 知识点三　全称量词命题与存在量词命题的否定 q 􀱑q 结论 全称量词命题∀x∈M，q（x） ∃x∈M，􀱑q（x） 全称量词命题的否定是　存在量词命题　 存在量词命题∃x∈M，p（x） 　∀x∈M，􀱑p（x）　 存在量词命题的否定是　全称量词命题　 提醒：命题p与其否定􀱑p，必定是一个真命题一个假命题. 随学随练 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 解题贴士：判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【例1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【变式1】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （    ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【变式2】给出下列命题： ①存在实数x＞1，使x2＞1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数. 其中存在量词命题的个数为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 【变式3】用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题： （1）当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； （2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除. 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 解题贴士：全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可； （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 【例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【变式1】下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2－3x＋5＞0 B.任意两个无理数之和仍是无理数 C.∃x∈R，x2－3x＋＞0 D.至少存在两个质数的平方是偶数 【变式2】下列命题中是假命题的是（　　） A.∀x∈R，x2≥0　 B.∃x∈R，使x2≤0 C.∃x∈R，使x2＜0　 D.∃x∈R，使x2＞0 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 题型三 全称量词命题的否定 解题贴士全称量词命题的否定的思路 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论； 【例3】（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）命题：“”的否定是（        ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知命题，，则是（    ）. A．， B．， C．， D．， 【变式2】命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是（　D　） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 【变式3】“∀x∈[1，2]，1≤x2≤4”的否定是（　　） A.∀x∉[1，2]，1≤x2≤4 B.∃x∉[1，2]，1≤x2≤4 C.∃x∈[1，2]，x2＞4或x2＜1 D.∃x∈[1，2]，x2＞4且x2＜1 题型四 存在量词命题的否定 解题贴士：存在量词命题的否定的思路 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. 【例4】（25-26高一上·河南·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期末）若命题p：，，则（   ） A．p是真命题，且为， B．p是真命题，且为， C．p是假命题，且为， D．p是假命题，且为， 【变式2】（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】已知命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 题型五 全称量词命题的应用 解题贴士：利用含全称量词的命题的真假求参数的范围的方法 含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的取值范围，如：∀x∈m，a＞f（x）⇔a＞f（x）max；∀x∈m，a＜f（x）⇔a＜f（x）min； 【例5】（2026高一·全国·专题练习）若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若∀x∈R，x2－a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.a＞0　　　　　　　 B.a＜0 C.a≥0　 D.a≤0 【变式4】已知命题p：∀x∈R，x2＋a－1≥0，若p为真命题，则a的取值范围是（　D　） A.（－∞，1）　 B.（－∞，1] C.（1，＋∞）　 D.[1，＋∞） 题型六 存在量词命题的应用 解题贴士：利用含存在量词的命题的真假求参数的范围的方法 含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的范围，如：∃x∈m，a＞f（x）⇔a＞f（x）min；∃x∈m，a＜f（x）⇔a＜f（x）max. 【例6】（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·广东江门·期末）已知命题，是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·湖北武汉·模拟预测）若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题：“”，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·宁夏银川·期中）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·辽宁锦州·阶段检测）下列是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 5．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东江门·模拟预测）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）命题“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·浙江·阶段检测）下列命题中假命题的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）下列命题中，真命题是（    ） A． B． C．命题“若 ，则 ”的逆命题 D．命题“若 ，则 ”的逆否命题 11．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 12．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）已知命题，，命题，，则（   ） A．是真命题 B．是假命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 13．（25-26高一上·天津静海·期中）已知命题，则是___________. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 15．（25-26高一上·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 素养提升 16．（2026·河南周口·三模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 17．（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·福建福州·自主招生）“无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三.”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军.”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（    ） A．（1）班 B．（2）班 C．（3）班 D．（4）班 19．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 20．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 迁移创新 21.（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 22．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知命题，命题． (1)当命题为真命题时，求实数的取值范围． (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2.1命题与量词+1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课标要点 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义（数学抽象）. 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（数学抽象）. 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（数学抽象）. 学习重难点 重点： 1.命题可判断真假；全称量词∀、存在量词∃。 2.否定规则：改量词、否结论； 3.全称命题否定为存在命题，存在命题否定为全称命题。 难点： 1.区分命题真假；易忽略量词改写，只否定结论； 2.判断含隐含全称或存在语句的命题并正确否定； 3.分清命题否定与否命题，二者易混淆。 知识点一　命题 1.命题：可供真假判断的　陈述语句　. 2.真命题：　判断为真　的语句. 3.假命题：　判断为假　的语句. 提醒：若一个语句为命题，则需满足两点：①陈述句；②能够判断真假. 随学随练 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 2．（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【解析】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确，故选D 知识点二　全称量词与存在量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　全称量词　的命题称为全称量词命题 含有　存在量词　的命题称为存在量词命题 命题形式 “对集合M中的所有元素x，r（x）”，可用符号简记为“　∀x∈M，r（x）　” “存在集合M中的元素x， s（x）”，可用符号简记为“　∃x∈M，s（x）　” 【想一想】 1.如何判定全称量词命题为假命题？ 提示：只要找到一个x∈M，r（x）不成立. 2.如何判定存在量词命题为真命题？ 提示：只要找到一个x∈M，s（x）成立. 随学随练 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【解析】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题；C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 2．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【解析】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意，故选：B. 知识点三　全称量词命题与存在量词命题的否定 q 􀱑q 结论 全称量词命题∀x∈M，q（x） ∃x∈M，􀱑q（x） 全称量词命题的否定是　存在量词命题　 存在量词命题∃x∈M，p（x） 　∀x∈M，􀱑p（x）　 存在量词命题的否定是　全称量词命题　 提醒：命题p与其否定􀱑p，必定是一个真命题一个假命题. 随学随练 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题，所以命题为. 2．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”的否定是“”. 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据全称命题否定的定义，“”的否定是: 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 解题贴士：判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【例1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【答案】D 【解析】对于A：任意是全称量词，所以该命题是全称命题，故A错误； 对于B：对于B：命题“不存在实数”是“存在实数”的否定， 其等价命题为“对任意实数，都有”，这是一个全称量词命题，故B错误； 对于C：矩形是指所有矩形，所以该命题是全称命题，故C错误； 对于D：有一个是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故D正确. 故选：D 【变式1】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （    ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项是存在量词命题，但是，故A选项为假命题； B选项是存在量词命题，但为假命题； C选项是存在量词命题，当时，成立，故C选项为真命题； D选项不是存在量词命题，为真命题；故选：C. 【变式2】给出下列命题： ①存在实数x＞1，使x2＞1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数. 其中存在量词命题的个数为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 【答案】C　 【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C. 【变式3】用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题： （1）当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； （2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除. 【解】（1）∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数. （2）∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解. （3）∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除. 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 解题贴士：全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可； （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 【例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【解析】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 【变式1】下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2－3x＋5＞0 B.任意两个无理数之和仍是无理数 C.∃x∈R，x2－3x＋＞0 D.至少存在两个质数的平方是偶数 【答案】C 【解析】A、B是全称量词命题，排除.C、D是存在量词命题.对于C，存在x＝0使得x2－3x＋＝＞0，故C正确；对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误.故选C. 【变式2】下列命题中是假命题的是（　　） A.∀x∈R，x2≥0　 B.∃x∈R，使x2≤0 C.∃x∈R，使x2＜0　 D.∃x∈R，使x2＞0 【答案】C 【解析】∀x∈R，x2≥0，故A正确，C错误；因为02＝0，故B正确；因为12＞0，故D正确.故选C. 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【解析】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除； 选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除； 选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除； 选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 题型三 全称量词命题的否定 解题贴士全称量词命题的否定的思路 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论； 【例3】（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）命题：“”的否定是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题“”的否定为“”. 【变式1】（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知命题，，则是（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】命题的否定为. 【变式2】命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是（　D　） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 【答案】D 【解析】由于存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”. 【变式3】“∀x∈[1，2]，1≤x2≤4”的否定是（　　） A.∀x∉[1，2]，1≤x2≤4 B.∃x∉[1，2]，1≤x2≤4 C.∃x∈[1，2]，x2＞4或x2＜1 D.∃x∈[1，2]，x2＞4且x2＜1 【答案】C　 【解析】“∀x∈[1，2]，1≤x2≤4”的否定是“∃x∈[1，2]，x2＞4或x2＜1”.故选C. 题型四 存在量词命题的否定 解题贴士：存在量词命题的否定的思路 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. 【例4】（25-26高一上·河南·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，命题“”为存在量词命题，其否定为：． 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期末）若命题p：，，则（   ） A．p是真命题，且为， B．p是真命题，且为， C．p是假命题，且为， D．p是假命题，且为， 【答案】C 【解析】由，可得，所以p是假命题，且为，．故选C． 【变式2】（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】命题“，”的否定是“，”． 【变式3】已知命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】原命题为，，因此其否定为，. 题型五 全称量词命题的应用 解题贴士：利用含全称量词的命题的真假求参数的范围的方法 含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的取值范围，如：∀x∈m，a＞f（x）⇔a＞f（x）max；∀x∈m，a＜f（x）⇔a＜f（x）min； 【例5】（2026高一·全国·专题练习）若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，要使，有，只需， 所以实数m的取值范围是 【变式1】（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则．因为，所以.故选:A． 【变式2】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“，”是假命题， 则命题“，”是真命题， 当时，恒成立， 即时，都有使得成立， 所以时，都有使得不成立. 综上所述：实数a的取值范围是.故选：D. 【变式3】若∀x∈R，x2－a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.a＞0　　　　　　　 B.a＜0 C.a≥0　 D.a≤0 【答案】B 【解析】因为∀x∈R，x2－a＞0恒成立，所以∀x∈R，x2＞a恒成立，即∀x∈R，a＜（x2）min.因为当x∈R时，（x2）min＝0，所以a＜0.故选B. 【变式4】已知命题p：∀x∈R，x2＋a－1≥0，若p为真命题，则a的取值范围是（　D　） A.（－∞，1）　 B.（－∞，1] C.（1，＋∞）　 D.[1，＋∞） 【答案】D 【解析】因为命题p：∀x∈R，x2＋a－1≥0为真命题，则a≥（－x2＋1）对∀x∈R恒成立，所以a≥＝1，即a的取值范围是[1，＋∞）.故选D. 题型六 存在量词命题的应用 解题贴士：利用含存在量词的命题的真假求参数的范围的方法 含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的范围，如：∃x∈m，a＞f（x）⇔a＞f（x）min；∃x∈m，a＜f（x）⇔a＜f（x）max. 【例6】（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 【变式1】（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知“，”是真命题， 所以，解之可得,所以的取值范围是.故选：B 【变式2】（25-26高一上·广东江门·期末）已知命题，是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，命题p的否定“，”为真命题． 即对恒成立，因为，， 当且仅当，即时取等，所以.故选：C． 【变式3】（2026·湖北武汉·模拟预测）若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题. 令,,解得.故选:C. 基础通关 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题：“”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】全称量词的否定为改变量词，否定结论，所以若命题为， 则命题的否定为. 2．（25-26高二下·宁夏银川·期中）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】存在量词命题（特称命题）的否定规则为：特称命题的否定为全称量词命题,命题“，”的否定是:“”. 3．（25-26高一上·辽宁锦州·阶段检测）下列是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于AC，它们都是全称量词命题， 对于D，显然是真命题，故D是假命题， 对于B，当时，存在量词命题是真命题.故选：B. 4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【解析】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误，由不等式性质知，C是真命题.故选：C. 5．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解析】因为，所以是假命题，是真命题； 若，则；若，则，故是真命题. 6．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为“任意，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是．故选：B 7．（2025·广东江门·模拟预测）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”的否定是“”， 则“”是真命题，则有，解得.故选：C. 8．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）命题“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意“”是真命题，即时，有解，则有解， 又函数在上单调递减，所以.故选：D. 9．（25-26高一上·浙江·阶段检测）下列命题中假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，成立，即A正确； 对于B，由，可得，显然不是有理数，即B错误； 对于C，取，可知，即C错误； 对于D，因为中，，所以一元二次不等式有解，不是恒成立，比如取时，不等式不成立，即D错误；故选：BCD. 10．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）下列命题中，真命题是（    ） A． B． C．命题“若 ，则 ”的逆命题 D．命题“若 ，则 ”的逆否命题 【答案】BC 【解析】对于A：因为恒成立，假命题； 对于B：因为，所以，恒成立，真命题； 对于C，逆命题为：若，则，真命题； 对于D，当时，原命题不成立，假命题，再由互为逆否的命题真假一致，可知逆否命题为假命题； 故选：BC 11．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】AB 【解析】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 12．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）已知命题，，命题，，则（   ） A．是真命题 B．是假命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 【答案】AD 【解析】命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题； 命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题， 故A，D正确，B，C错误. 故选:AD. 13．（25-26高一上·天津静海·期中）已知命题，则是___________. 【答案】 【解析】由题意有：， 14．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需，故实数m的取值范围为． 15．（25-26高一上·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【解】（1）当时，，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. （2），使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 素养提升 16．（2026·河南周口·三模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解析】对于命题：例如，满足，但，则命题为假命题，为真命题； 对于命题：例如，满足，且，则命题为真命题，为假命题；所以ABD错误，C正确. 17．（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则，所以命题为假命题时，． 18．（25-26高一上·福建福州·自主招生）“无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三.”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军.”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（    ） A．（1）班 B．（2）班 C．（3）班 D．（4）班 【答案】B 【解析】若（1）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 则（2）班得第四，此时丙的预测全错，不满足题意； 若（2）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 由丙的预测可知（1）班得第四，满足题意； 若（3）班得冠军，由甲的预测可知（4）不是第三，由丙的预测可知（1）班得第四， 则（2）班得第三，（4）班得亚军，此时乙的预测全错，不满足题意； 若（4）班得冠军，此时甲的预测全错，不满足题意.故选：B 19．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 20．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是 迁移创新 21.（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【解】（1）由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. （2）若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 22．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知命题，命题． (1)当命题为真命题时，求实数的取值范围． (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围． 【解】（1）当命题为真命题，， 当时，， ∴，即. （2）∵命题和中有且仅有一个是假命题，∴命题和一真一假， 当命题为真命题时，，解得或， ①当命题为真，命题为假时，，解得， ②当命题为真，命题为假时，，解得， 综上，实数的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $