1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第1课时 集合的概念及几种常见的数集(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦集合的概念及常见数集这一核心知识点，系统梳理集合与元素的定义、元素与集合的属于关系、空集含义，明确元素确定性、互异性、无序性特征，以及集合相等与分类（有限集、无限集），最终落实常用数集（N、N*或N+、Z、Q、R）的符号表示，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料通过诊断分析题即时检验理解（如判断“难题能否组成集合”强化确定性），探究点结合实例（例1判断方程解组成集合）培养数学眼光，元素关系判断（例2有序数对与集合关系）和参数问题（例3含参数元素的集合）发展数学思维，符号规范训练提升数学语言。课中辅助教师精准教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，巩固知识。

1.1　集合 1.1.1　集合及其表示方法 第1课时　集合的概念及几种常见的数集 【课前预习】 知识点一 1.确定的　不同的　A,B,C　每个对象　a,b,c 2.(1)a∈A　属于　(2)a∉A　不属于　(3)不含任何元素 3.确定性　互异性 4.完全相同　5.有限集　无限集　有限集 诊断分析 1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)“平面上到点O的距离等于1的点”是确定的,能够组成集合,组成集合的每个对象,也就是每个点,都是集合中的一个元素. (2)“人教B版必修第一册课本上所有的难题”不是确定的,不能组成集合. (3)集合中的元素应满足互异性,故每个元素在集合中均只出现一次. (4)根据集合相等的定义可知A=B. 2.∉　[解析] 空集中不包含任何元素,故0∉∅. 3.解:(1)方程=0无实数解,故方程=0的所有实数解组成的集合为空集,是有限集. (2)使式子x+1>0成立的所有自然数为0,1,2,…,是无限集. 知识点二 自然数集　正整数集　整数集　有理数集　实数集 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)1是整数. (2)π是无理数,不是Q中的元素. (3)0是自然数. (4)方程x2-3=0的解是无理数,所以方程x2-3=0在Q中无解. 【课中探究】 例1　(1)D　(2)CD　[解析] (1)对于A,描述的对象“视力较好”的标准不明确,不能构成集合;对于B,描述的对象“长寿”的标准不明确,不能构成集合;对于C,没有给出精确度,描述的对象“π 的近似值”不明确,不能构成集合;对于D,方程x2=1的实数根是-1和1,是确定的,能构成集合.故选D. (2)选项A中,中国各地最美的乡村没有确定的标准,不能组成集合,选项B中,出现重复字母,不能组成集合,选项C,D中的元素标准明确,能组成集合.故选CD. 探索 解:(1)因为集合A是由高一年级20个班组成的,所以高一(2)班是集合A中的元素,高二(8)班不是集合A中的元素. (2)因为集合B是由高一(2)班的学生组成的,所以高一(4)班的学生不是集合B中的元素. 例2　∉　∈　∉　[解析] 因为-1不是有序实数对,所以-1∉D;(-1,1)满足y=x2,所以(-1,1)∈D;不满足y=x2,所以∉D. 变式　(1)B　(2)②③　[解析] (1)集合A中的元素3不在集合B中,且仅有这个元素符合题意,故x=3. (2)能被2整除的数不一定能被3整除,能被6整除的数一定能被3整除,能被-3整除的数一定能被3整除,能被5整除的数不一定能被3整除,所以一定是集合M的元素的是②③. 探索 解:a与b是两个不同的班,这是因为集合A中的元素具有互异性. 例3　(1)B　(2)0　1　[解析] (1)因为A中有两个元素,且-4∈A,所以-4=a+1或-4=a2+4a-9.当a+1=-4,即a=-5时,a2+4a-9=-4,不满足集合元素的互异性,舍去.当-4=a2+4a-9时,a=-5或a=1.若a=-5,则a+1=-4,a2+4a-9=-4,此时不满足集合元素的互异性,舍去;若a=1,则a+1=2,a2+4a-9=-4,此时集合中的元素为2,-4,符合题意.综上所述,实数a的值为1.故选B. (2)根据集合中元素的互异性,有或解得或或其中不满足集合中元素的互异性,不是整数.故满足题意的是a=0,b=1. 变式　3　[解析] 由题意知,m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经验证,当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性;当m=3时,满足题意.故m=3. 例4　(1)B　(2)BD　[解析] (1)①∵是无理数,∴∉Q,故①错误;②-1∉N,故②正确;③∵π是实数,∴π∈R,故③错误;④∵|-4|=4是整数,∴|-4|∈Z,故④正确;⑤±=±5,而5∈N,-5∉N,故⑤错误;⑥若a是无理数,则a2不一定是有理数,故⑥错误.故选B. (2)因为N*表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以A,C中的说法不正确,B,D中的说法正确.故选BD. 【课堂评价】 1.C　[解析] 在A中,某个村子里的高个子没有一个明确的标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合,故A错误;在B中,所有小的正数没有一个明确的标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合,故B错误;在C中,集合A中有三个元素a,b,c,集合B中有三个元素b,c,a,由集合中元素的无序性可知集合A与集合B表示同一个集合,故C正确;在D中,1,0.5,,,,中含有相同的数,不符合集合中元素的互异性,故D错误.故选C. 2.B　[解析] ∵15<20,∴<2,∴a∉M,故选B. 3.B　[解析] 对于A,因为-2不是正整数,所以-2∉N+,故A错误;对于B,因为π不是有理数,所以π∉Q,故B正确;对于C,因为0是自然数,所以0∈N,故C错误;对于D,因为不是整数,所以∉Z,故D错误.故选B. 4.C　[解析] 因为集合A中有两个元素-1,a2-2a+5,且4∈A,所以a2-2a+5=4,可得a2-2a+1=0,解得a=1.故选C. 5.2　[解析] 因为|x|=x或-x,=|x|,-=-x,所以不论x取何值,集合中最多含有2个元素x,-x. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　集合 1.1.1　集合及其表示方法 第1课时　集合的概念及几种常见的数集 【学习目标】 1.正确了解集合的含义,会判断哪些研究对象能组成集合哪些不能组成集合; 2.理解元素与集合的属于关系,了解空集的含义; 3.能正确判断两集合是否相等,并熟记常见数集的符号表示. ◆ 知识点一　集合、元素的相关概念及元素的特征 1.集合与元素的概念 定义 符号表示 集合 把一些能够　　　　　　、　　　　　　对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合  用英文大写字母　　　　,…表示  元素 组成集合的　　　　　　　都是这个集合的元素  用英文小写字母　　　　,…表示  2.元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素,就记作　　　　,读作“a　　　　A”.  (2)如果a不是集合A的元素,就记作　　　　,读作“a　　　　A”.  (3)一般地,我们把　　　　　　　的集合称为空集,记作∅.  3.集合中元素的特点:　　　　　、　　　　　、无序性.   4.集合的相等:给定两个集合A和B,如果组成它们的元素　　　　　　,就称这两个集合相等,记作A=B.   5.集合的分类 根据它含有的元素个数分为两类:含有有限个元素的集合称为　　　　　,含有无限个元素的集合称为　　　　　.空集是　　　　　.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面上到点O的距离等于1的点能够组成一个集合,每一个点都是这个集合中的一个元素. (　 ) (2)人教B版必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合.(　 ) (3)集合中的每个元素在集合中都只出现一次. (　 ) (4)书包中有语文、数学等9本不同的书,若将这些书整理后再放回书包中,设这些书整理前组成集合A,整理后组成集合B,由于这些书的顺序发生改变,所以A≠B. (　 ) 2.由空集的定义可得,0　　　∅.(填“∈”或“∉”)  3.下列集合中,哪些是有限集?哪些是无限集? (1)方程=0的所有实数解组成的集合; (2)使式子x+1>0成立的所有自然数组成的集合. ◆ 知识点二　常用数集及其记法 名称 　 　　  　 　　  　 　　  　 　　  　 　　  记法 N N*或N+ Z Q R 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x-1=0的解是集合Z中的元素. (　 ) (2)集合Q中含有元素π. (　 ) (3)0∉N. (　 ) (4)方程x2-3=0在Q中无解. (　 ) ◆ 探究点一　集合的概念 例1 (1)[2025·黑龙江绥化高一期中] 下列选项中能组成集合的是 (　 ) A.某班视力较好的同学 B.某小区长寿的人 C.π的近似值 D.方程x2=1的实数根 (2)(多选题)下列选项中能组成集合的是(　 ) A.中国各地最美的乡村 B.单词look的所有字母 C.参加第二十四届冬季奥林匹克运动会的各国运动员 D.小于10的自然数 [素养小结] 确定性、互异性、无序性是判断一组对象能否构成集合的标准.如果这组对象是“确定无疑”的,并且是互不相同的,无论以何种顺序排列都可以构成集合. ◆ 探究点二　元素与集合的关系 [探索] 某中学2026级高一年级20个班组成集合A,高一(2)班所有学生组成集合B. (1)高一(2)班、高二(8)班是集合A中的元素吗? (2)高一(4)班的学生是集合B中的元素吗? 例2 设集合D是由满足y=x2的有序实数对(x,y)组成的,则-1　　　D,(-1,1)　　　D,　　　D.(填“∈”或“∉”)  变式 (1)已知2,3,4是集合A中的元素,2,4,6是集合B中的元素,若x∈A且x∉B,则x=(　 ) A.2 B.3 C.4 D.6 (2)由所有能被3整除的数组成的集合为M,则下列数中一定是集合M的元素的是　　　　.  ①能被2整除的数; ②能被6整除的数; ③能被-3整除的数; ④能被5整除的数. [素养小结] 判断元素与集合关系的方法: 当集合中的元素直接给出时,首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现. ◆ 探究点三　集合中元素的特点 [探索] 某中学2026级高一年级20个班组成集合A,若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系?为什么? 例3 (1)已知集合A中含有两个元素a+1,a2+4a-9,若-4∈A,则实数a的值为 (　 ) A.-5 B.1 C.5或-1 D.-5或1 (2)已知集合S中含有三个元素2,a,b,集合P中含有三个元素2a,2,b2,且S中的元素均为P中的元素.若a,b均是整数,则a=　　　　,b=　　　　.  变式 已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m的值为　　　　.  [素养小结] 利用集合中元素的特点求参数的注意事项: (1)根据集合中元素的确定性,可以解出参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性对参数进行检验; (2)利用集合中元素的特点解题时,要注意分类讨论思想的应用. ◆ 探究点四　常用数集及其记法 例4 (1)下列关系中正确的个数为 (　 ) ①∈Q;②-1∉N;③π∉R;④|-4|∈Z; ⑤±∈N;⑥若a是无理数,则a2∈Q. A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(多选题)下列说法正确的有 (　 ) A.N与N*是同一个集合 B.N中的元素都是Z中的元素 C.Q中的元素都是Z中的元素 D.Q中的元素都是R中的元素 1.下列说法正确的是 (　 ) A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.所有小的正数组成一个集合 C.集合A中有3个元素a,b,c,集合B中有三个元素b,c,a,则集合A与集合B表示同一个集合 D.1,0.5,,,,这六个数能组成一个集合 2.已知集合M是由不小于2的数组成的集合,a=,则下列关系中正确的是(　 ) A.a∈M B.a∉M C.a=M D.a<M 3.[2025·江苏镇江高一期中] 下列关系中正确的是 (　 ) A.-2∈N+ B.π∉Q C.0∉N D.∈Z 4.设集合A中有两个元素-1,a2-2a+5,若4∈A,则a= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.3 5.由实数x,-x,,及-所组成的集合中,最多含有　　　　个元素.  学科网（北京）股份有限公司 $