1.1.2 集合的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等的概念及空集性质，通过类比实数间关系引入集合间包含关系，衔接集合概念与表示法旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 此资料以问题链驱动探究，结合维恩图、数轴实现数形结合，培养数学眼光，通过实例辨析符号∈与⊆差异，强化数学语言表达，例练含参讨论渗透分类思想，助力学生理解抽象概念，为教师提供逻辑清晰、互动性强的教学方案。

数学 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 人教B版 1.1.2 集合的基本关系 高一 1.1.2 集合的基本关系教学设计 本节课选自人教B版高中数学必修第一册第一章1.1.2节。集合是现代数学的基本语言，而集合之间的关系则是理解集合运算和后续逻辑学习的基础。通过本节课的学习，学生将掌握子集、真子集及集合相等的概念，能够准确运用符号语言描述集合间的关系，并初步掌握数形结合的思想方法。 一、教材分析 “集合的基本关系”是集合论中的核心内容之一。教材在介绍了集合的概念与表示方法后，紧接着研究集合之间的关系，这不仅符合从具体到抽象的认知规律，也为后续学习集合的运算奠定了基础。本节课的主要内容是子集、真子集、集合相等的定义以及它们之间的逻辑联系，同时引入了维恩图这一重要的直观工具。教材特别强调了空集是任何集合的子集这一规定，这是学生容易产生困惑的地方，需要重点讲解。 二、学情分析 学生在初中阶段已经接触过一些集合的实例，如“数的集合”，对集合有了初步的感性认识，并且在上一节课中学习了集合的概念和表示法。然而，从“元素与集合的关系”（∈）过渡到“集合与集合的关系”（⊆），在思维层级上是一次提升。高一学生逻辑思维能力尚在发展中，对于抽象符号的理解容易混淆，特别是元素与集合、集合与集合关系的区别，以及空集的特殊性，往往是学习的难点。因此，教学中应注重通过具体实例引导学生观察、归纳，利用数形结合降低理解难度。 三、教学目标 根据课程标准的要求以及教材的特点，结合学生的认知水平，确定本节课的教学目标如下： 1.知识与技能 （1）理解集合之间包含与相等的含义；（2）能识别给定集合的子集、真子集；（3）熟练运用符号⊆、⊊、=表示集合间的关系；（4）掌握空集是任何集合的子集这一规定；（5）会用维恩图表示集合间的关系。 2.过程与方法 通过观察实数间的关系类比引出集合间的关系，体会类比学习的数学思想；通过实例分析和维恩图的绘制，经历从具体到抽象、从感性到理性的认知过程，培养数形结合的思维能力；通过探究子集的个数规律，提升归纳总结能力。 3.情感、态度与价值观 在探究集合关系的过程中，体验数学的严谨性与逻辑美，养成严谨求实的科学态度；通过小组讨论与交流，增强合作意识，感受数学交流的乐趣。 四、教学重难点 教学重点：子集、真子集的概念与符号表示；集合相等的判定；维恩图的应用。 教学难点：元素与集合关系（∈）与集合与集合关系（⊆）的区别；空集是任何集合的子集的理解；子集个数规律的探究。 五、教学方法 本节课主要采用启发式教学法与情境教学法相结合的方式。通过问题链驱动学生思考，利用多媒体展示维恩图，化抽象为直观。在教学中注重师生互动，引导学生自主探究与合作学习，让学生在“做中学”。 六、教学过程 （一）复习导入，类比引入 教师活动：展示两组实例，引导学生回顾旧知。 实例1：实数之间有相等和不等关系，如2=2，2<3，5>4。 实例2：观察集合A={1, 2, 3}与集合B={1, 2, 3, 4, 5}。 提问：集合A与集合B的元素之间有什么关系？我们可以用什么数学语言来描述这种“部分与整体”的关系？ 学生活动：观察思考，尝试用语言描述。学生可能回答：“A里的数都在B里”、“B包含了A”。 教师总结：实数间有大小关系，集合间也有类似的包含关系。今天我们就来研究集合的基本关系。 设计意图：通过实数大小关系类比集合关系，从学生已有的知识出发，降低认知难度，激发学习兴趣。 （二）探究新知，构建概念 1. 子集的概念 教师活动：引导学生分析上述实例A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}。 提问：集合A中的每一个元素是否都属于集合B？ 学生活动：验证：1∈B，2∈B，3∈B。得出结论：A中所有元素都在B中。 教师板书定义：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 强调：任意一个元素意味着“全部”，不能有反例。 思考：如果A⊆B，且B⊆A，那么A与B是什么关系？ 学生活动：根据定义推导，A的元素都在B中，B的元素都在A中，说明它们元素完全相同。 教师总结：集合相等的定义。如果A⊆B且B⊆A，则A=B。反之亦然。 2. 真子集的概念 教师活动：回到A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}。显然A⊆B，但A≠B。 提问：B中是否有元素不属于A？ 学生活动：回答有，4和5。 教师板书定义：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。 辨析：子集包含“真子集”和“相等”两种情况。 3. 空集的规定 教师活动：思考空集∅与集合A={1, 2}的关系。 提问：∅是不是A的子集？ 学生活动：产生疑惑。∅没有元素，怎么判断“任意元素都在A中”？ 教师讲解：因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A。 追问：∅是不是A的真子集？ 学生活动：思考。如果A不是空集，那么∅⊊A；如果A=∅，则∅不是∅的真子集。 4. 维恩图（Venn Diagram） 教师活动：介绍维恩图。用平面上封闭曲线的内部表示集合。 画图演示：画一个大圆表示B，在大圆内部画一个小圆表示A，形象地表示A⊆B（或A⊊B）。 设计意图：通过层层递进的问题链，引导学生自己总结出定义，加深对概念本质的理解。利用维恩图将抽象关系可视化。 （三）例题剖析，深化理解 例1：写出集合A={a, b}的所有子集，并指出哪些是真子集。 师生互动： 教师：找子集要按顺序来，先考虑空集，再考虑含一个元素的，再考虑含两个元素的。 学生：尝试书写。 解析： （1）不含任何元素的子集：∅； （2）含1个元素的子集：{a}，{b}； （3）含2个元素的子集：{a, b}。 综上，A的子集有：∅，{a}，{b}，{a, b}。 其中，真子集是除了A本身以外的子集：∅，{a}，{b}。 答案：子集为∅，{a}，{b}，{a, b}；真子集为∅，{a}，{b}。 例2：判断下列关系是否正确： （1）∅ ⊆ {0}；（2）{0} ∈ ∅；（3）{x | x²-1=0} = {-1, 1}。 解析： （1）根据规定，空集是任何集合的子集，所以正确。 （2）{0}是集合，∅是集合，关系应为⊆或⊊，不能用∈。且∅不含任何元素，所以错误。 （3）方程x²-1=0的解是x₁=1，x₂=-1。所以集合{x | x²-1=0} = {1, -1}。根据集合无序性，{1, -1} = {-1, 1}。所以正确。 答案：（1）正确；（2）错误；（3）正确。 设计意图：通过例题巩固概念，特别是区分∈与⊆，以及空集的特殊性。 （四）巩固练习，拓展提升 练习1：判断下列各题中集合A与集合B的关系： （1）A={1, 3, 5}，B={1, 2, 3, 4, 5, 6}； （2）A={x | x>2}，B={x | x>3}。 解析： （1）A中所有元素1, 3, 5都在B中，且B中有元素（如2）不在A中，所以A是B的真子集。 （2）在数轴上表示，B表示3右边的部分，A表示2右边的部分。B的范围完全在A内，且A中包含2到3之间的数不属于B。所以B是A的真子集。 答案：（1）A⊊B；（2）B⊊A。 练习2：已知集合A={x | ax=1}，若A⊆B，B={1}，求实数a的值。 解析： 集合B={1}。因为A⊆B，所以A可能是∅，也可能是{1}。 ①当A=∅时，方程ax=1无解，所以a=0。 ②当A={1}时，1是方程ax=1的解，代入得a·1=1，解得a=1。 综上，a的值为0或1。 答案：a=0或a=1。 设计意图：通过数轴结合练习，体现数形结合思想；通过含参讨论，培养分类讨论的数学思维，同时再次强化空集是任何集合子集这一易错点。 教学环节 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习导入 回顾实数关系，观察集合实例 教师提问，引导学生发现元素包含关系 类比迁移，激发兴趣 概念形成 子集、真子集、集合相等定义 学生观察验证，教师归纳总结，板书定义 培养抽象概括能力 概念深化 空集的子集性质，维恩图表示 辨析空集规定，师生共画维恩图 突破难点，数形结合 概念应用 例1：写子集；例2：判断关系 学生板演，教师点评，强调符号规范 规范解题，巩固新知 巩固练习 数轴上的集合关系，含参问题 学生独立思考，分组讨论，展示答案 提升思维，查漏补缺 归纳小结 梳理知识点，构建知识网络 学生发言，教师补充完善 回顾反思，内化知识 归纳小结 教师引导学生回顾本节课学习的内容： 1. 集合间的三种基本关系：子集（A⊆B）、真子集（A⊊B）、相等（A=B）。 2. 符号的区别与联系：∈表示元素与集合的关系，⊆表示集合与集合的关系。 3. 重要结论：空集是任何集合的子集；任何集合是它本身的子集。 4. 数学思想：类比思想、数形结合思想（维恩图、数轴）。 七、板书设计 1.1.2 集合的基本关系 1. 子集：A⊆B（任意x∈A ⇒ x∈B） 2. 真子集：A⊊B（A⊆B且A≠B） 3. 相等：A=B ⇔ A⊆B且B⊆A 4. 规定：∅⊆A （左侧板书概念与定义，中间板书例题，右侧绘制维恩图） 学科网（北京）股份有限公司 $