1.1.2 集合的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等、空集及子集个数规律等核心知识点。通过复习实数大小关系类比引入，结合具体集合实例引导学生思考元素与集合的从属关系，搭建前后知识的学习支架。 资料特色在于情境与问题驱动结合，运用维恩图直观演示集合关系，组织小组讨论探究子集个数规律。通过数学抽象建构子集概念，逻辑推理推导集合相等关系及归纳2ⁿ规律，直观想象助力理解，如例1判断集合关系、例2列举子集。既提升学生抽象、推理、想象素养，又为教师提供清晰教学流程，助力高效教学。

数学 教学设计-2026-2027学年 1.1.2 集合的基本关系 人教B版 必修第一册 高一 一、教学目标 （1）理解子集、真子集的概念与符号表示，能正确判断两个给定集合之间的包含与真包含关系，发展数学抽象素养。 （2）掌握集合相等与子集之间的双向推导关系，会用维恩图直观呈现集合间的基本关系，提升直观想象与逻辑推理能力。 （3）辨析符号∈与⊆的本质差异，理解空集是任意集合子集的规定，探索并归纳有限集合的子集个数规律，培养逻辑推理与数学运算素养。 二、教学重难点 （1）重点：子集与真子集的概念建立及符号A⊆B、A⊊B的准确使用，集合相等的判定方法。 （2）难点：元素与集合的属于关系∈同集合与集合的包含关系⊆之间的区分；空集∅作为任意集合子集的合理性理解；含n个元素的集合其子集个数规律的归纳与论证。 三、教学方法 （1）采用情境引出与问题驱动相结合的方式，借助实数大小关系类比集合之间的包含关系，引导学生从具体到抽象地建构子集概念。 （2）运用启发式讲授与维恩图直观演示相配合，使学生在观察图形与符号互译的过程中理解真子集及集合相等的逻辑结构。 （3）组织小组讨论探究子集计数规律，通过列举法观察数据并归纳猜想，渗透由特殊到一般的数学思想方法。 四、教学过程 （1）复习引入 教师引导学生回顾实数之间的大小关系：对于两个实数a和b，它们之间存在a>b、a<b、a=b三种基本关系。随后教师提出思考问题：集合与集合之间是否也有类似的大小或从属关系？举例说明，若集合A={1，2，3}，集合B={1，2，3，4，5}，集合A的元素是否都在集合B中？ 预设学生回答：集合A的1、2、3都在集合B中，集合A仿佛"小"于集合B。教师据此引出课题：这种"集合A的所有元素都在集合B中"的关系，正是本节要研究的集合的基本关系。 （2）新授：子集概念 教师给出教材定义：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。教师强调定义中的关键词"任意一个"，即必须集合A中每一个元素无一例外地都属于集合B，才能认定A⊆B。 教师追问：若A⊆B，反过来B的元素是否一定属于A？预设学生回答：不一定，例如A={1，2}，B={1，2，3}，A⊆B但3∈B且3∉A。教师据此引出：当A⊆B且B中至少有一个元素不在A中时，需要用更精确的符号来刻画这种关系。 （3）新授：真子集与集合相等 教师给出真子集定义：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。教师指出，A⊊B比A⊆B条件更强，它排除了A与B相等的情形。 教师继续引导：由集合相等以及子集的定义可知，如果A⊆B且B⊆A，则A=B；如果A=B，则A⊆B且B⊆A。当A是B的子集时，要么A是B的真子集，要么A与B相等，二者必居其一。教师板书这一逻辑关系，并用维恩图加以说明。 （4）新授：空集规定与维恩图 教师说明：因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A。同时，任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A。教师用维恩图演示：用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图。 教师追问：空集∅是否有真子集？预设学生回答：空集没有任何元素，但∅⊆∅成立，而∅⊊∅不成立，因为找不到"至少一个不属于∅的元素"。教师确认并补充：空集是任意非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅⊊A。 （5）新授：符号辨析与传递性 教师组织辨析符号∈与⊆的区别：∈表示元素与集合之间的关系，其左侧是元素；⊆表示集合与集合之间的关系，其两侧均为集合。例如1∈{1，2}，而{1}⊆{1，2}。教师强调常见错误：将{1}∈{1，2}写成属于关系是错误的，正确写法是{1}⊆{1，2}。 教师阐述包含关系的传递性：若A⊆B且B⊆C，则A⊆C；若A⊊B且B⊊C，则A⊊C。这一性质与实数大小关系的传递性（a≤b且b≤c则a≤c）完全类似。 （6）典例分析 例1：判断下列各对集合之间的关系。（1）A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形}；（2）A={1，2，3}，B={x|x是12的因数}。 解析：（1）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是至少两边相等的三角形。等边三角形一定满足等腰三角形的条件，即A的任意元素都属于B，但等腰三角形（如腰为3底为2的三角形）不一定是等边三角形，故A⊊B。 （2）12的因数集合为B={1，2，3，4，6，12}，而A={1，2，3}。A的每个元素1、2、3都在B中，且B中4、6、12不在A中，故A⊊B。答案：（1）A⊊B；（2）A⊊B。 例2：已知集合A={1，2}，写出A的所有子集和真子集。 解析：按元素个数从少到多依次列举。元素个数为0的子集：∅；元素个数为1的子集：{1}、{2}；元素个数为2的子集：{1，2}。因此A的所有子集为∅、{1}、{2}、{1，2}，共4个。真子集需排除A本身，即∅、{1}、{2}，共3个。答案：子集：∅、{1}、{2}、{1，2}；真子集：∅、{1}、{2}。 （7）探究：子集个数规律 教师引导学生观察数据：集合{1}的子集有∅、{1}，共2个；集合{1，2}的子集有∅、{1}、{2}、{1，2}，共4个；集合{1，2，3}的子集有∅、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}，共8个。 教师追问：观察元素个数n与子集个数的关系，2=、4=、8=，能发现什么规律？预设学生回答：当集合有n个元素时，子集个数为。教师确认并说明：这一规律可从每个元素"取或不取"两个选择来理解，n个元素共有种组合，故子集个数为，真子集个数为−1，非空真子集个数为−2。 （8）巩固练习 练习1：判断下列命题的真假。（1）∅={0}；（2）∅⊆{0}；（3）若A⊆B，则A⊊B。 解析与答案：（1）假命题。∅不含任何元素，{0}含元素0，二者不相等。（2）真命题。空集是任意集合的子集。（3）假命题。当A=B时，A⊆B但A⊊B不成立。 练习2：已知集合A={x|x²−1=0}，集合B={x|x²−2x−3=0}，求A与B的关系。 解析：解方程x²−1=0得x=±1，故A={−1，1}。解方程x²−2x−3=0得(x−3)(x+1)=0，故x=3或x=−1，B={−1，3}。比较两个集合：−1∈A且−1∈B，但1∈A且1∉B，3∈B且3∉A。因此A不是B的子集，B也不是A的子集。答案：A⊈B且B⊈A。 练习3：已知集合A={1，2，3，4}，写出含有元素1的所有子集。 解析：含有元素1的子集，相当于在剩余元素{2，3，4}中任取若干个与1组合。{2，3，4}的子集有∅、{2}、{3}、{4}、{2，3}、{2，4}、{3，4}、{2，3，4}，共8个，每个再并上{1}即得。答案：{1}、{1，2}、{1，3}、{1，4}、{1，2，3}、{1，2，4}、{1，3，4}、{1，2，3，4}，共8个。 （9）课堂小结 教师引导学生回顾本节核心知识：子集记作A⊆B，真子集记作A⊊B；空集是任意集合的子集即∅⊆A，任意集合是自身的子集即A⊆A；集合相等的充要条件是A⊆B且B⊆A；包含关系具有传递性。教师强调易错点：∈与⊆的混淆问题，以及∅⊊∅不成立但∅⊆∅成立。 （10）布置作业 作业1：教材课后练习，写出集合{a，b，c}的所有子集与真子集。答案：子集为∅、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，共8个；真子集为∅、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}，共7个。 作业2：设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0≤x≤4}，判断A与B的关系并说明理由。答案：因为[1，3]⊆[0，4]，即A的任意元素都属于B，且B中元素如0、4不属于A，故A⊊B。 作业3：已知集合A含有3个元素，求A的子集个数、真子集个数及非空真子集个数。答案：子集个数为=8；真子集个数为8−1=7；非空真子集个数为8−2=6。 学科网（北京）股份有限公司 $