3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第3课时 分段函数(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦分段函数，通过课前预习的知识点解析与诊断分析回顾函数概念，课中探究以求值、图象、实际应用为递进探究点，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 其亮点在于结合正方形运动、公共汽车票价等实例，通过分段讨论和图象分析培养数学眼光、思维与语言，帮助学生系统掌握分段函数知识，教师可借助此资料提升教学效率。

3.1 函数的概念与性质 1 3.1.1 函数及其表示方法 第3课时 分段函数 2 探究点一 分段函数求值和解不等式问题 探究点二 分段函数的图象及应用 探究点三 分段函数的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 通过具体实例,理解分段函数的概念,会描绘出分段函数的大致图 象,能正确地求出分段函数在某点的函数值. 4 知识点一 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不 同的__________，则称其为分段函数. 对应方式 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数 可以表示为分段函数.( ) √ （2）分段函数各段上的函数值构成的集合的交集为 .( ) × 2.分段函数是由几个不同的函数构成的吗？ 解：不是.分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同区间 上对应关系不同，所以分段函数是一个函数. 课 前 预 习 6 知识点二 取整函数 对于任意一个实数，表示不超过的最大整数， 通常称为 取整函数. 知识点三 常数函数 值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数.常数函数中所有自变 量对应的函数值都相等. 课 前 预 习 7 探究点一 分段函数求值和解不等式问题 例1 (1)[2026·重庆涪陵区高一期中] 设函数f(x)= 则f(3)=( ) A.4 B. C.8 D. [解析] f(3)=2f(2)=4f(1)=4×2=8,故选C. √ 课 中 探 究 8 A.{x|-1≤x≤0} B. C. D.{x|-1≤x≤2} 例1 （2）如图,函数f(x)的图象为折线段ACB,则不等式f(x)≥3x的解集是 ( ) √ 课 中 探 究 9 [解析] 由题图可得,A(-1,0),B(2,0),C(0,2). 设f(x)=则解得 所以f(x)= 当-1≤x<0时,不等式f(x)≥3x可化为2x+2≥3x,解得x≤2,所以-1≤x<0; 当0≤x≤2时,不等式f(x)≥3x可化为-x+2≥3x,解得x≤,所以0≤x≤. 综上,不等式f(x)≥3x的解集是.故选C. 课 中 探 究 10 变式 已知函数 （1）求 ； 解：因为所以 ， 所以 . 课 中 探 究 11 （2）若，求 的取值范围. 解：由，得或或 解得或或 ， 所以的取值范围是 . 变式 已知函数 课 中 探 究 12 ［素养小结］ （1）分段函数求值的方法： ①先确定要求的值属于哪一段区间； ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止，当出现<m></m>的 形式时，应从内到外依次求值. （2）已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数 解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也 可先判断每一段上的函数值的取值范围，确定解析式后再求解. 课 中 探 究 13 探究点二 分段函数的图象及应用 例2 [2026·安徽黄山高一期中] 已知函数f(x)=的图象是 一条连续不断的曲线,若f(x)在[a,b]上的取值范围为[1,2],则b-a的最大值 为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 课 中 探 究 14 [解析] 由题意知12+m=,解得m=1或m=-3. 当m=-3时,f(x)的图象在x=3处断开,不符合题意; 当m=1时,符合题意. 综上,f(x)= 当x≤1时,令f(x)=1,可得x=0,令f(x)=2,可得x=-1或x=1; 当x>1时,令=1,可得x=3. 作出f(x)的大致图象,如图, 由图可知,当b=3,a=-1时,b-a取得最大值4.故选D. 课 中 探 究 15 变式 作出函数的图象，并求出 的最大值． 解：当时，； 当 时， ； 当时， . 综上， 根据函数的解析式作 出图象，如图所示． 由图可知，当时， 取得最大值，最大值为2. 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 分段函数图象的画法： （1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意 义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象； （2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象 时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图 象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. 课 中 探 究 17 探究点三 分段函数的实际应用 例3 如图，动点从边长为4的正方形的顶点 开始，顺次经，，绕周界运动，用表示点 的 行程，表示的面积，求函数 的解析 式并画出 的图象. 课 中 探 究 18 解：当点在上运动，即时， ； 当点在上运动，即时， ； 当点在上运动，即 时， . 综上可知， 其图象如图所示. 课 中 探 究 19 变式 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）以内（含 ），票价2元； （2）以上，每增加，票价增加1元（不足的按 计 算）. 如果某条线路的总路程为 ，请根据题意写出票价与路程之间的 函数解析式，并画出函数的图象. 课 中 探 究 20 解：设票价为元，路程为 . 由题意可知，的取值范围是，则 函数的图象如图所示. 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 分段函数的实际应用： （1）当目标在不同区间有不同的计算方式时，往往需要用分段函数 模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数的图象也需要分段画； （2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变 量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数 解析式. 课 中 探 究 22 1.已知函数则 的值为( ) A. B. C.3 D.0 [解析] 由题意得 ，故选C. √ 课 堂 评 价 23 2.函数 的定义域为________. [解析] 由题知函数的定义域为 ，即 . 课 堂 评 价 24 3.已知函数若，则实数 的值为 __. [解析] 由题得 ， 解得 . 课 堂 评 价 25 4. [2026·广东东莞高一期中] 已知函数f(x)的解析式为f(x)= (1)画出这个函数的图象,并写出f(x)的最大值; 课 堂 评 价 26 解:根据分段函数f(x)=的解析式,画出函数f(x)的图象, 如图所示. 由图可得,当x=2时,f(x)取得最大值4. 课 堂 评 价 27 4. [2026·广东东莞高一期中] 已知函数f(x)的解析式为f(x)= (2)解不等式f(x)<2. 解:当x≤-1时,由f(x)<2,得x+2<2,解得x<0,所以x≤-1; 当-1<x≤2时,由f(x)<2,即x2<2,解得-<x<,所以-1<x<; 当x>2时,由f(x)<2,即-x+6<2,解得x>4,所以x>4. 综上,不等式f(x)<2的解集为{x|x<或x>4}. 课 堂 评 价 28 课后习题 29 1.已知则 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 由题知 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 2.函数 的大致图象是( ) A. B. C. D. [解析] 函数 作出该函数的图 象，如图所示.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 3.已知函数的值域为，则实数 的取 值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知当时， ， 故要使函数的值域为 ， 需满足解得， 故实数的取值范围是 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 4.已知函数则方程 的解的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 [解析] 令，则方程即为， 当 时，，解得；当时，，解得 . 当时，若，则，解得 ，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 当时，若 ，则，解得，符合题意； 若，则 ，解得，符合题意. 综上，方程 的解的个数为3.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 5. [2026·贵州六盘水高一期中] 已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=2x+1,h(x)=, 记m(x)=min{f(x),g(x),h(x)}为它们中的最小者,则函数m(x)的大致图象 是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 在同一个平面直角坐标系中,作出f(x)=(x-1)2,g(x)=2x+1,h(x)= 的图象,如图. 由函数m(x)=min{f(x),g(x),h(x)}的定义,取三个函数中函数值的最小者, 可得m(x)的图象如图中实线部分所示.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 6. [2026·江苏盐城高一期中] 已知实数t≠0,函数f(x)= 若f(1+3t)=f(1-2t),则t的值为 ( ) A.- B.- C.-或- D.1 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 [解析] 当t<0时,1-2t>1,1+3t<1,由f(1+3t)=f(1-2t),得-(1-2t)-2t=2(1+3t)+t, 解得t=-,则t=-; 当t>0时,1-2t<1,1+3t>1,由f(1+3t)=f(1-2t),得2(1-2t)+t=-(1+3t)-2t, 解得t=-,与t>0矛盾,无解. 综上,t的值为-.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.（多选题）函数f(x)=称为狄利克雷函数,下列关于 f(x)的说法正确的是 ( ) A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.对任意x∈R,f[f(x)]=1恒成立 D.对任意x∈R,f(x+π)=f(x)恒成立 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 [解析] 因为函数f(x)=所以f(x)只有两个函数值, 所以f(x)的值域为{0,1},故A错误; 函数f(x)的定义域为两段上的并集,即全体有理数集并上全体 无理数集为全体实数集,所以f(x)的定义域为R,故B正确; 对任意x∈R,f(x)的值为0或1,都是有理数,所以f[f(x)]=1,故C正确; 对任意x∈Q,x+π是无理数,所以f(x)=1,f(x+π)=0,此时f(x+π)≠f(x), 故D错误.故选BC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 8.已知函数f(x)=则f(x)的定义域为　　. R [解析] 由函数f(x)=可得函数f(x)的定义域为 (-∞,0]∪(0,1]∪(1,+∞)=R,所以函数f(x)的定义域为R. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9.［2025· 湖南湘潭高一期末］已知函数 若 ，则 的值为_______. 3或 [解析] 若，则，解得； 若 ，则，解得. 综上所述，或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 10.（13分）［2025·贵州贵阳高一期中］ 已知函数 , ，,表示， 中较小的值. （1）求， 的值； 解：,，, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 10.（13分）［2025·贵州贵阳高一期中］ 已知函数 , ，,表示， 中较小的值. （2）求 的解析式； 解：由，得 ， 由，得或 ， 所以, 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 （3）求 的解集. 解：由（2）知， 当时，令，即，解得 ，所以 ； 当或时，令，即，解得 ， 所以 . 综上所述，的解集为 . 10.（13分）［2025·贵州贵阳高一期中］ 已知函数 , ，,表示， 中较小的值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 11.已知函数若 ，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 由题知，若，则 ， 即，解得，所以; 若 ，则，即， 解得 ，所以. 综上，实数的取值范围是 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ★12.（多选题）［2025· 辽宁沈阳高一期末］ 对任意两个实数, ， 定义,若, ，下列关于函 数, 的说法正确的是( ) A. B.方程 有三个解 C.不等式的解集为 D.函数的值域为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 当，即或时， ，当 ，即时， ，所以 对于A，, ，故A正确； 对于B，当或时，令 ，解得 ，当时，令，解得 ，所以 方程有三个解，故B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 对于C，当或 时，令， 可得或 ， 当时，令，可得 或 ，所以不等式的解集为 ，故C错误； 对于D，当或时， ，当 时，，所以函数 的值域为 ，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ［技巧点拨］ 求解分段函数的有关问题,关键是要在各个不同的“段” 内进行,分段函数的定义域是各段自变量取值的集合的并集,值域是各 段函数值取值的集合的并集. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 13.［2025·上海黄浦区高一期中］已知表示不超过 的最大整数， 则函数,的值域为__________； , 的值域为_______. ,0,1, [解析] 因为函数所以函数 ， 的值域为,0,1, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 函数 当 时，；当时，； 当 时，；当时，. 综上所述，函数 的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）如图所示，在底角为 的等腰梯形中，边 的 长为，腰长为，当垂直于边（垂足为）的直线 从左 向右移动（与梯形有公共点）时，直线 把梯形分成两部分， 令，试写出直线左侧部分的面积关于 的函数解析式. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解：如图所示，过点， 分别作 ，，垂足分别是， . 因为四边形 是等腰梯形，底角为 ，，所以 . 又，所以 . 当点在上移动，即时，； 当点在 上移动，即 时， ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 当点在 上移动，即 时， . 综上， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知,，，表示, 中较大 的值，记函数,，则 的最小值是___. 4 [解析] 令，即，解得 ， 令，即，解得或 ， 所以, 当时， ， 当时，， 所以 的最小值是4. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 16.（15分）若函数求关于 的方程 的解的个数． 解：由，得 ，解得 或 . ①若，当时，令，可得 ；当 时，令，可得 . ②若，当时，令，可得；当 时，令，方程无解. 综上，关于 的方程 的解有3个. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 $