3.1.1函数及其表示方法（第2课时）（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）及分段函数，通过出租车收费实例导入，衔接已学函数概念，搭建从单一表达式到分段表示的学习支架，帮助学生理解不同区间对应关系的差异。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合阶梯水价等生活实例和分层题型（求解析式、分段求值、实际应用），培养数学抽象与逻辑推理素养。小结采用方法对比表格和解题通法梳理，学生能系统掌握知识，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

第三章 函数 3.1.1函数及其表示方法（2） 3.1函数的概念与性质 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 重点：掌握函数的三种表示方法（解析法、图象法、列表法），提升数学抽象核心素养 重点：理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能简单分析分段函数，发展数学抽象； 难点：掌握函数图象的绘制步骤与方法，会画简单函数、分段函数图象，培养逻辑推理能力。 某出租车收费标准：3 公里以内，收费 8 元；超过 3 公里的部分，每公里收费 1.5 元。 问题 1：乘车里程x（公里）和车费y（元）之间是函数关系吗？ 问题 2：这个函数能用一个式子写出来吗？ 在不同里程范围，计费规则不一样，不能只用一个表达式表示。 除了之前学的解析表达式，函数还有其他表达形式，像这种在不同区间有不同表达式的函数，就是本节课要学习的分段函数，同时我们系统学习函数的三种表示方法，以及如何画出函数图象。 出租车 目标一：解析法 解析法 知识讲解 互动探究 新课引入 前面我们所接触到的函数 y=f(x) 中，绝大多数 f(x) 都是用代数式（或解析式）来表示的，例如 f(x)=2x+1，这种表示函数的方法称为解析法. 思考：所有函数都能用解析法表示吗？ 只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示. 5 题型1 已知函数的类型，求函数的解析式 例1 (1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))=3x+2,求f(x)的解析式. (2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,求该二次函数的解析式. 典例分析 牛刀小试 思路点拨 已知函数分别为一次函数和二次函数,设出函数解析式求出参数即可,即利用待定系数法求解. 解析 (1)设,则,于是有 解得 或 所以 或 . 题型1 已知函数的类型，求函数的解析式 例1 (1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))=3x+2,求f(x)的解析式. (2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,求该二次函数的解析式. 典例分析 牛刀小试 思路点拨 已知函数分别为一次函数和二次函数,设出函数解析式求出参数即可,即利用待定系数法求解. (2)设二次函数的解析式为, 由 题意得 解得 故 . 二次函数的解析式的三种形式 一般式: f(x)=a+bx+c(a≠0). 已知抛物线上三点的坐标时,常设一般式. 顶点式: f(x)=a+n(a≠0,(m,n)为顶点坐标). 已知抛物线的顶点坐标或对称轴时,常设顶点式. 交点式: f(x)=a(a≠0,是方程f(x)=0的两个根). 已知抛物线与x轴的交点情况时,常设交点式. 利用待定系数法求函数解析式的步骤 已知函数的类型求函数解析式,常采用待定系数法,具体步骤如下. 设：设出所求函数含有待定系数的解析式. 如一次函数的解析式设为f(x)=ax+b(a≠0),反比例函数的解析式设为f(x)=(k≠0),二次函数的解析式设为f(x)=a+bx+c(a≠0) 列：把已知条件代入解析式,列出关于待定系数的方程或方程组 解：解方程或方程组,得到待定系数的值 代：将所求待定系数的值代回所设解析式 题型 2 已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式 例2 (1) 已知f()=x+2,求函数f(x)的解析式. (2) 已知f(x+1)=-2x,求函数f(x)的解析式. 典例分析 牛刀小试 思路点拨 已知f(g(x))求f(x)有两种思路:一是将g(x)视为一个整体,应用数学的整体化思想,换元求解;二是将函数解析式的右端配凑成含g(x)的形式进行求解. 解析 (1) 方法1 (换元法) 令,(换元后一定要确认新元的取值范围,否则易出错)则,所以,所以函数的解析式为. 题型 2 已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式 例2 (1) 已知f()=x+2,求函数f(x)的解析式. (2) 已知f(x+1)=-2x,求函数f(x)的解析式. 典例分析 牛刀小试 思路点拨 已知f(g(x))求f(x)有两种思路:一是将g(x)视为一个整体,应用数学的整体化思想,换元求解;二是将函数解析式的右端配凑成含g(x)的形式进行求解. 方法2 (配凑法) . 因为, 所以函数的解析式为. 题型 2 已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式 例2 (1) 已知f()=x+2,求函数f(x)的解析式. (2) 已知f(x+1)=-2x,求函数f(x)的解析式. 典例分析 牛刀小试 思路点拨 已知f(g(x))求f(x)有两种思路:一是将g(x)视为一个整体,应用数学的整体化思想,换元求解;二是将函数解析式的右端配凑成含g(x)的形式进行求解. 方法1(换元法) 令,则,所以, 即 方法2(配凑法) 因为,所以,即 解题通法 利用换元法、配凑法求函数解析式 已知 f(g(x))=h(x)，求 f(x)，有两种方法. (1) 换元法，即令 t=g(x)，得到 x 关于 t 的表达式，将表达式代入 h(x) 中，得到一个关于 t 的解析式，再用 x 替换 t，便得到 f(x) 的解析式. 利用换元法解题时，换元后要确定新元 t 的取值范围，即函数 f(x) 的定义域. （2）配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出 “g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的 g(x)用x代替即可. 题型 3已知条件中含有f(x),f()或f(x),f(-x)形式的函数，求f(x)的解析式 例3 (1) 已知函数f(x)满足f(x)+2f()=3x-2,求f(x)的解析式. (2)已知af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式. 典例分析 牛刀小试 观察所给式子的结构特征,自变量互为倒数关系或互为相反数关系,利用这两种关系可列出与原式不同的方程,通过构建方程组的方法来求解. 解析▶(1) 在原式中,将换成,得,与已知方程联立,得消去,得. 题型 3已知条件中含有f(x),f()或f(x),f(-x)形式的函数，求f(x)的解析式 例3 (1) 已知函数f(x)满足f(x)+2f()=3x-2,求f(x)的解析式. (2)已知af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式. 典例分析 牛刀小试 观察所给式子的结构特征,自变量互为倒数关系或互为相反数关系,利用这两种关系可列出与原式不同的方程,通过构建方程组的方法来求解. 在原式中以替换,得, 于是得 消去,得.因为 , 所以 . 故 的解析式为 . 利用消元法(或解方程组法)求函数解析式 在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于这两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法称为消元法(或解方程组法). 即已知 f(x) 与 f(φ(x)) 满足的关系式,要求 f(x) 时,可用 φ(x) 代替两边的所有的 x,得到关于 f(x) 及 f(φ(x)) 的另一个方程,与原方程联立,即可求出 f(x). 目标二：列表法 列表法 知识讲解 互动探究 新课引入 前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给 出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法. 18 思考一下：通过下表，你可以得到什么？ 对点体验 如果将这个函数记为，则从表格中可以看出，. 另外，如果将这个函数的定义域记为，值域记为，则有 ， . 年度 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 中国创新指数 116.5 125.5 131.8 139.6 148.2 152.6 158.2 171.5 目标三：图象法 函数的图象 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,将函数 y=f(x),x∈A 中的自变量 x 和对应的函数值 y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点 (x,y) 组成的集合 F 称为函数的图象,即 F={(x,y)∣y=f(x),x∈A}. 这就是说,如果 F 是函数 y=f(x) 的图象,则图象上任意一点的坐标 (x,y) 都满足函数关系 y=f(x);反之,满足函数关系 y=f(x) 的点 (x,y) 都在函数图象 F 上 21 发散探讨 知识讲解 互动探究 新课引入 检验法则:过图形上任意一点作与 x 轴垂直的直线,若所有这样的直线与图形都只有一个交点,则此图形是函数的图象,否则这个图形不是函数的图象. 如何检验一个图形是不是一个函数的图象? 22 作出下列函数的图象: y=1+x; y=-2x(x∈[0,3]). 对点体验 解析 ▶ (1)选择几个有代表性的自变量的值,并计算出对应的函数值,列表如下: 在平面直角坐标系中,描点、连线得函数图象,如图 作出下列函数的图象: y=1+x; y=-2x(x∈[0,3]). 对点体验 因为 0≤x≤3，所以这个函数的图象是抛物线 y=-2x 的一部分，列表如下： 在平面直角坐标系中,描点、连线得函数图象,如图 0 1 2 3 0 0 3 函数图象的作法 (1)描点作图法 从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法. 流程框 说明 列表 先找出一些有代表性的自变量的值,再计算出与这些自变量相对应的函数值,并用表格的形式表示出来. 描点 在平面直角坐标系中把上述表格中的点一一描出来. 连线 用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来. (2)步骤(注意函数的定义域) 变换 知识讲解 互动探究 新课引入 1、平移变换 函数 y=f(x) 的图象与 y=f(x+a) 及 y=f(x)+b 的图象的关系,其中 a>0,b>0. 简记为 2、 对称变换 函数 y=f(x) 的图象与 y=f(-x),y=-f(x) 及 y=-f(-x) 的图象的关系. 3、 翻折变换 y=f(|x|)的图象：y轴右侧的图象不变，去掉y轴左侧图象，将右侧图象沿y轴翻折到左侧，由y=f(x)的图象得到。y=|f(x)|的图象：x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，由 y=f(x)的图象得到。 26 作出函数 y=|-2x| 的图象. 对点体验 解析 由 , 可知函数 的图象的对称轴为直线 , 顶点坐标为 , 图象开口向上,先作出函数 的图象,保留它在 轴上及 轴上方的部分,再把它在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴上方,得到的图象就是函数 的图象,如图   列表法 图象法 解析法 定义 用列表的形式给出函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法. 用函数的图象表示函数的方法称为图象法. 在函数 中，绝大多数 都是用代数式（或解析式）来表示的，这种表示函数的方法称为解析法. 优点 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 能直观、形象地表示出函数值的变化情况. 通过解析式可求出任意一个自变量所对应的函数值，且便于研究函数的性质. 缺点 列表法只能表示自变量取值为有限个的函数，且从表中很难看出函数的性质. 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大. 用解析式表示函数时容易漏掉定义域，而且对于一些实际问题，很难找到它的解析式. 三种方法比较 目标四：分段函数 实例探究 知识讲解 互动探究 新课引入 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过的部分，水价为；超过180 但不超过260 的部分，水价为7元/．如果北京市一居民年用水量为x ，其要缴纳的水费为f(x)元．假设0≤x≤260，试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象． 如果x∈[0,180]，则f(x)=5x; 如果x∈[180,260]，按照题意有f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360 因此f(x)= 30 实例探究 知识讲解 互动探究 新课引入 注意到f(x)在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y=f(x)在每个区间上的图象都是直线的一部分，又因为 f(180)=5×180=900, f(260)=7×260-360=1460, 由此可作出函数的图象，如图所示. 31 分段函数 知识讲解 互动探究 新课引入 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间， 有不同的对应方式，则称其为分段函数. 尝试与发现: 函数D(x)=被称为狄利克雷函数, 你能说出这个函数的定义域、值域吗? 你能作出这个函数的图象吗? 可以看出, 狄利克雷函数的定义域为R, 值域为{0,1}, 但它的图象不能形象地展示出来. 32 对分段函数的几点说明 (1)求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算. (2)写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集. (3)分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合后取并集;分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值,然后比较各段的最大(小)值,其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值. 题型1 分段函数求值 例1 已知函数𝒇(𝒙)= (1)求𝒇(𝒇(𝒇(−𝟐)))的值； (2)若𝒇(𝒂)=，求𝒂. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1) , ,(从内到外依次求值) . 题型1 分段函数求值 例1 已知函数𝒇(𝒙)= (1)求𝒇(𝒇(𝒇(−𝟐)))的值； (2)若𝒇(𝒂)=，求𝒂. 典例分析 牛刀小试 当 时,; (注意检验各段函数自变量的取值,不合适的需舍去) 当 时,, ; 当 时,, (舍去). 综上, 或 . 与分段函数的函数值有关问题的求法 1.求分段函数的函数值的方法:先确定要求函数值的自变量的取值属于哪一个区间,然后代入该区间对应的解析式求值. 当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域内的各个区间上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验. 题型2分段函数与不等式 例2 函数 f(x)= 若f(a)<-3,则实数a的取值范围是______. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 当时,,此时不等式的解集是; (分类标准是分段函数的分段区间) 当时,,此时不等式无解; 当时,,此时不等式无解. 故的取值范围是. . 解题通法 对于分段函数,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域内的各个区间上,然后相应求出自变量在定义域内各个区间上的取值范围,最后求它们的并集即可. 题型3 分段函数的实际应用 例3 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地均采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的. 某市用水收费的标准是:水费 = 基本费 + 超额费 + 定额损耗费. 若每月用水量不超过最低限量a ，则只付基本费8元和每月的定额损耗费c元;若用水量超过a ，则除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每付b元的超额费. 已知每户每月的定额损耗费不超过5元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用见下表,根据表中的数据求 a,b,c. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 设月用水量为 ，当月支付费用为 元， 则 由题意知， 从表中知，2 月份、3 月份的费用均大于13元， （包含基本费与定额损耗费） 故用水量 均大于最低限量 ， 月份 用水量 水费/元 1 9 9 2 15 19 3 22 33 题型3 分段函数的实际应用 例3 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地均采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的. 某市用水收费的标准是:水费 = 基本费 + 超额费 + 定额损耗费. 若每月用水量不超过最低限量a ，则只付基本费8元和每月的定额损耗费c元;若用水量超过a ，则除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每付b元的超额费. 已知每户每月的定额损耗费不超过5元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用见下表,根据表中的数据求 a,b,c. 典例分析 牛刀小试 将 分别代入②式中， 得 解得 若1月份用水量超过最低限量,即, 将代入②式中得, 即,这与③式相矛盾,. 1月份的支付费用应为,即. 故 月份 用水量 水费/元 1 9 9 2 15 19 3 22 33 举一反三 1.下列几何体中，属于棱柱的是（ ） A. 金字塔 B. 圆台 C. 长方体 D. 圆锥 解析：A是棱锥，B是圆台（旋转体，不是多面体），C是四棱柱，D是旋转体（圆锥），故选C。 目标五：针对训练 举一反三  1.某人去上班，先跑步，后步行.如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是(). 解析：易知随的增大而减小，因为跑步时的速度要比走路时的速度快，所以该人离单位的距离的变化是“先快后慢”.  举一反三 2.根据列表中的数据选择合适的模型，则() 解析：A 项： ，A 错误； B 项： ，B 错误； C 项： ，C 错误； D 项： 满足表中的数据，D 正确.故选：D. 1 2 3 4 5 2 0 -2 -4 -6 A. B. C. D. 举一反三 3.已知 ，则的解析式为() A. B. C. D.  解析：令，由，则 ，即. 故选:C. 举一反三 4.已知函数的对应关系如表，函数的图象如图所示的曲线 其中，则的值为.    解析: 根据题意, 由 的表格可得: , 则 , 故答案为: 1. 1 2 3 2 3 2 目标六：小结 学海拾贝 一、函数的三种表示方法对比（解题选用原则） 1. 解析法：适合运算、求解析式、研究单调性与最值，是高中最主流的表示方式。缺点是不够直观，无法直接看出函数变化趋势。 2. 列表法：适用于离散数据、实际统计问题，能直接读取对应函数值，但不能完整反映函数整体变化规律，无法推广到全体定义域。 3. 图象法：直观展示函数增减、最值、零点、对称性，是数形结合的核心手段，但精度低，一般不用于精准计算求值。 总结做题原则：求值运算用解析、看趋势用图像、已知数据用列表。 学海拾贝 二、分段函数（本节课重难点、高频考点） 1. 定义本质：分段函数是一个函数，不是多个函数。只是在定义域不同区间上，对应关系不同。 2. 核心解题步骤：先看自变量属于哪一段定义域，再代入对应解析式求值，定义域优先、分段代入。 3. 常见易错点 （1）区间分界点不能重复、不能遗漏； （2）求值必须先判断x的范围，切忌乱代解析式； （3）分段函数图像是分段绘制、整体连贯（部分可间断）。 学海拾贝 三、函数图象的基本作法（描点法规范） 高中标准作图三步法： 第一步：求定义域，确定图像绘制范围，限制x的取值区间； 第二步：取值列表，在定义域内取关键点（端点、正负分界点、整数点）； 第三步：描点连线，根据函数变化趋势平滑连线，分段函数分段绘制。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $