3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第2课时 函数的表示方法(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的表示方法，涵盖解析法、列表法、图象法及解析式求解、图象变换等核心内容。课前预习通过定义铺垫基础，课中探究以商场售电视、铁丝围正方形等实例展开，衔接方法应用与图象变换，构建递进式学习支架。 其亮点在于以实际情境引导学生用数学眼光观察问题，通过待定系数法、换元法等培养数学思维，素养小结系统归纳作图象三步骤等方法助力数学语言表达。例1用三种方法表示售电视函数，变式深化应用，提升学生解决问题能力，为教师提供结构化教学资源。

3.1 函数的概念与性质 1 3.1.1 函数及其表示方法 第2课时 函数的表示方法 2 探究点一 函数的三种表示方法 探究点二 求函数的解析式 探究点三 函数图象的作法及应用 探究点四 函数图象的变换及应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.在实际情境中，会根据不同需要选择恰当的方法（如图象法、 列表法、解析法）表示函数,理解函数图象的作用; 2.掌握求函数解析式的常用方法. 4 知识点 函数的表示方法 （1）解析法:用代数式（或解析式）来表示的，例如 ， 这种表示函数的方法称为解析法. （2）列表法:用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数 的方法称为列表法. （3）图象法:一般地，将函数,中的自变量 和对应的 函数值 ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足 条件的点组成的集合 称为函数的图象，即_________________ _________. , 课 前 预 习 5 这就是说，如果是函数 的图象，则图象上______________ ________都满足函数关系；反之，满足函数关系 的 点都在函数图象 上.用函数的图象表示函数的方法称为图象法. 任意一点的坐标 课 前 预 习 6 探究点一 函数的三种表示方法 例1 某商场新进了10台电视，每台售价3000元，试求售出台数 与收 款数 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解：①列表法： 1 2 3 4 5 3000 6000 9000 12 000 15 000 6 7 8 9 10 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 课 中 探 究 7 ②图象法： ③解析法：，,2,3， ， ． 课 中 探 究 8 变式 将一条长为 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周 长围成正方形.试用列表法、图象法和解析法表示两个正方形的面积 之和（单位：）与其中一段铁丝长（单位：, ）的函 数关系. 解：这个函数的定义域为, . ①解析法:, , . 课 中 探 究 9 ②列表法: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ③图象法: 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 应用函数三种表示方法应注意以下几点： （1）解析法必须注明函数的定义域，解析法简明、全面地概括了变 量间的关系； （2）列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系，列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. （3）图象法要注意所画图象是否连续，图象法能直观形象地表示出 因变量随自变量的变化情况. 课 中 探 究 11 探究点二 求函数的解析式 例2（1）已知，求 . 解：令，则 ， 所以，所以 . 课 中 探 究 12 （2）已知是一次函数，且满足 ，求 . 解：设，因为 ，所 以，即 ， 所以解得所以 . 课 中 探 究 13 （3）已知函数满足，求 . 解：,用替换，可得 ,联立① ②，可得 . 课 中 探 究 14 变式（1）已知是二次函数且 ， ，求 . 解：设，因为 ， 所以 ， 整理得，所以解得 所以 . 课 中 探 究 15 （2）已知,求 . 解：因为 ， 所以 . 课 中 探 究 16 （3）已知函数对于任意的都有 ，求 . 解：，用替换 ，可得 ，联立①②可得 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 求函数解析式的几种常用方法: （1）待定系数法:当已知函数类型时,常用待定系数法. （2）代入法:已知<m></m>的解析式,求函数<m></m>的解析式时, 可直接用<m></m>替换<m></m>中的<m></m>. （3）换元法:已知<m></m>的解析式,求<m></m>的解析式,可用换元 法,即令<m></m>,反解出<m></m>,然后代入<m></m>中,求出<m></m>,即得<m></m>. （4）构造方程组法:当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为 相反数或者互为倒数关系时,通常构造方程组求解. 课 中 探 究 18 探究点三 函数图象的作法及应用 例3 作出下列函数的图象并求出其值域. （1），,0,1， ; 解：列表: 0 1 3 2 0 课 中 探 究 19 ① 函数的图象只是四个点，， ， ,如图①所示，其值域为，0，， . 课 中 探 究 20 （2）, ; ② 解：函数, 的图象是反比 例函数 的图象的一部分,如图②所示， 观察图象可知其值域为 . 例3 作出下列函数的图象并求出其值域. 课 中 探 究 21 （3） . ③ 解：作出 的 图象，如图③所示，可得其值域为 . 例3 作出下列函数的图象并求出其值域. 课 中 探 究 22 变式 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域. （1） 2 4 1 2 3 课 中 探 究 23 解：该函数的图象如图①所示，由图可知其值域为,1,2, . ① 课 中 探 究 24 （2）， ； ② 解：作出函数， 的图象，如图②所示，由图象可知其值域 为 . 变式 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域. 课 中 探 究 25 （3）或 ． ③ 解： 或 的图象是函数 的图象的一 部分，如图③所示，由图象可知其值域为 . 变式 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域. 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 作函数图象的三个步骤: （1）列表:取有代表性的<m></m>的值,分别求出对应的<m></m>的值,列成表格. （2）描点:把表格中的一系列点<m></m>在坐标平面上描出来. （3）连线:若函数<m></m>是连续的，则用平滑的曲线将这些点自左至右 连起来,即可得到函数的图象. 课 中 探 究 27 探究点四 函数图象的变换及应用 例4（1）已知函数 的图象如图所示，则 的大致图象为( ) A. B. C. D. [解析] 将函数的图象先作关于 轴的对称变换得到函数 的图象，再将函数 的图象向右平移1个单位得到 的图象．故选A. √ 课 中 探 究 28 （2）已知函数y=f(x)的图象如图所示,作出函数y=f的大致图象. 解:由图可知函数y=f(x)的定义域为(-1,1), 则函数y=f的定义域为(-2,2),值域不变, 故函数y=f的图象如图所示. 课 中 探 究 29 ［素养小结］ 图象变换应当注意： （1）图象左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，图象上下 移动加减的是函数值； （2）自变量的绝对值变换是左右翻折，函数值的绝对值变换是上下 翻折； （3）若<m></m>，则函数<m></m>的图象关于直线<m></m>对称. 课 中 探 究 30 函数图象的平移变换： （1）左加右减：函数的图象沿轴向左 或向右 平移个单位得到函数 的图象. （2）上加下减：函数的图象沿轴向上 或向下 平移个单位得到函数 的图象. 课 中 探 究 31 1.［2025·福建泉州高一期中］已知某等腰三角形的周长是4，底边长 是，腰长是，则关于 的函数可表示为( ) A. B. C. D. [解析] 由题得，则，由，可得 ， ，又， .故选B. √ 课 堂 评 价 32 2.已知函数 的对应关系如下表所示，函数 的图象是如图所示的曲线，其中 ， ，，则 ( ) 1 2 3 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 [解析] ， .故选B. √ 课 堂 评 价 33 3.已知，则 ____________. [解析] 令，则 ， 所以 ， 所以 . 课 堂 评 价 34 4.已知函数 的图象如图所示，则 函数 的定义域是_____________， 值域是_______． [解析] 由题图可知，函数 的定 义域是，值域是 . 课 堂 评 价 35 5.已知函数，，则 __________. [解析] 的定义域为 的定义域为， 所以的定义域为 ， 则 . 课 堂 评 价 36 课后习题 37 1.［2026·重庆九龙坡区高一期中］已知函数由下表给出， 则 的值为( ) 1 2 3 A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 因为，所以，所以 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 2.已知定义在上的函数的值域为，则函数 的值 域为( ) A. B. C. D. [解析] 因为的定义域为，所以的定义域也为 ， 因为函数的图象是由函数 的图象向右平移得到的， 所以函数的值域与函数的值域相同，即为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 3.已知函数，若，则 ( ) A.1 B. C. D.0或1 [解析] 令，则 ， 所以， 由，得， 由 ，得，且，可得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 4.下列函数中，对于定义域内的任意， 恒成立 的为( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，若 ，则 ， 故A正确． 对于B，若，则 ， 故B错误． 对于C，若，则 ，故C错误． 对于D，若，则 ，故D错误． 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 ★5.［2025·江苏扬州高一期中］函数 的大致图象是 ( ) A. B. C. D. [解析] 将 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位， 即可得到函数 的图象.故选B. √ ［易错点］ 通过平移变换作函数图象时,要注意平移的方向与符号的 关系. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 6.已知，为常数，若 ， ，则 ( ) A. B.2 C. D. [解析] ， ，解得 或 故 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 7. (多选题)[2026·福建莆田高一期中] 下列说法正确的有( ) A.若f(x)=x2+x-1,则f(x+1)=x2+3x+1 B.定义在R上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x+1,则f(x)=+1 C.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x+6,则f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6 D.已知f(+1)=x+2+1,则f(x)=x2 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 对于A,若f(x)=x2+x-1,则f(x+1)=(x+1)2+(x+1)-1=x2+3x+1,故A正确. 对于B,因为2f(x)-f(-x)=x+1①,所以2f(-x)-f(x)=-x+1②, 由①×2+②得3f(x)=x+3,所以f(x)=+1,故B正确. 对于C,设一次函数f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+ab+b, 又f[f(x)]=4x+6,所以解得或 则f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6,故C正确. 对于D,f(+1)=x+2+1,令t=+1,t≥1,则x=(t-1)2, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)+1=t2,所以f(x)=x2,x≥1,故D错误.故选ABC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 8.若函数f(x)的定义域和值域均为(0,1),则函数2f(x-1)的定义域为 　　　,值域为　　　. (1,2) [解析] f(x)的定义域为(0,1),令0<x-1<1,可得1<x<2, 故函数2f(x-1)的定义域为(1,2). 因为f(x)的值域为(0,1),所以函数2f(x-1)的值域为(0,2). (0,2) 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 9.已知，，则 _ ___________. [解析] ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 10.（13分）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域. （1），,0,1, ； 解：列表如下： 0 1 2 4 1 0 1 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 函数,,0,1, 的图象如图①所示. ① 该函数的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 （2）， ； 解：函数,的图象如图②所示.该函数的值域为 . ② 10.（13分）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 （3）， ； 解：函数,的图象如图③所示.该函数的值域为 . ③ 10.（13分）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 （4）， . 解：函数,的图象如图④所示.该函数的值域为 . ④ 10.（13分）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 11. [2026·安徽宿州高一期中] 用列表法表示函数y=f(x)与函数y=g(x), 如下表所示,若f[g(t)]≥2,则t的值不可能为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 1 g(x) 2 1 4 3 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析] 当x=1时,f(1)=4≥2;当x=2时,f(2)=3≥2;当x=3时,f(3)=2≥2; 当x=4时,f(4)=1<2.所以满足f(x)≥2的x的取值为1,2,3. 当g(t)=1时,由表格可知t=2;当g(t)=2时,由表格可知t=1; 当g(t)=3时,由表格可知t=4.所以若f[g(t)]≥2,则t的值可能是1,2或4. 故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 12.（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是( ) A.函数的定义域为 B.函数在区间上的取值范围为 C.函数的图象关于点 对称 D.把 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可以得到 函数 的图象 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 [解析] 因为，所以，解得 ， 所以函数的定义域为，故A正确； 将 的图象向左平移1个单位得到的图象，再将 的图 象向上平移2个单位得到的图象，故D错误； 因为 的图象关于点对称，所以的图象关于点 对称， 故C正确； 函数在区间上的取值范围为，故B正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 13.如图所示，函数 的图象是折线段 ，其中，，的坐标分别为 ， ，，则 ___，不等式 的解集为______. [解析] 由题图知，则. 在区间 上，函数的图象在直线的下方， 即 ，故不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 14.（15分）已知函数 . （1）当时，求 的值域； 解：当时， ，所以 的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 （2）若的定义域为，求实数 的值； 解：因为的定义域为，所以和1是关于 的方程 的两个根， 故,，可得 ，经检验符合题意，故 . 14.（15分）已知函数 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 （3）若的定义域为，求实数 的取值范围. 解：当时，，定义域为 ，符合题意； 当时，，定义域不为 ，不符合题意； 当时，由题意，在 上恒 成立，则解得 . 综上所述，实数的取值范围为 . 14.（15分）已知函数 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 15. [2026·江西南昌高一月考] 已知函数f(x)满足f(x)+f=1+x(x≠0,x≠1), 则f(x)的解析式是 ( ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 当x≠0,x≠1时,f(x)+f=1+x①, 在①中将x替换为1-,则f+f=2-②, 在①中将x替换为-,则f+f(x)=1-③, 由①+③-②可得f(x)=(x≠0且x≠1).故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16.（15分）已知二次函数满足 ，且 ． （1）求函数在区间 上的取值范围； 解：设 ,则 ， 所以解得 因为,所以，所以 . 根据二次函数的性质可知，在区间上的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 （2）当时，直线与函数 的图象没有交点， 求实数 的取值范围． 解：由（1）得,，因为直线 与函 数的图象没有交点，所以 恒成立.因 为，所以,解得 ，故 实数的取值范围为 . 16.（15分）已知二次函数满足 ，且 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 $