3.1.1.3 分段函数-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦分段函数核心知识点，系统梳理其定义、求值方法、图象绘制及实际应用。通过“概念理解—题型突破—思维建模—针对训练”的学习支架，帮助学生构建从基础到应用的知识脉络。 资料以“拓展融通+习题讲评”为特色，通过超市促销、俱乐部收费等实际问题培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。思维建模环节提炼解题思路，强化数学思维，课时检测与变式拓展助力课中高效教学和课后查漏补缺，提升学生数学语言表达与应用意识。

第3课时　分段函数 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] 　[课时目标] 1.了解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画分段函数的图象. 2.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题. (1)分段函数的定义:如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集. (3)分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象. 题型(一)　分段函数求值问题 [例1]　已知函数f(x)= (1)求f的值. (2)若f(x)=2,求x的值. [解]　(1)∵f=+2=, ∴f=f==. ∴f=f=×=. (2)当f(x)=x+2=2时,x=0,不符合x<0. 当f(x)=x2=2时,x=±,其中x=,符合0≤x<2. 当f(x)=x=2时,x=4,符合x≥2. 综上,x的值是或4. 　　[变式拓展] 　本例已知条件不变,若f(x)=-2,求x的值. 解:当x+2=-2时,x=-4,符合x<0. 当x2=-2时,无解. 当x=-2时,x=-4,不符合x≥2. 综上,x的值是-4. 　　|思|维|建|模|　分段函数求值问题的解题思路 求函数值 当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值 求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验 　　[针对训练] 1.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于 (　 ) A.-3　 B.-1 C.1 D.3 解析:选A　由题易知f(1)=2×1=2,据此结合题意分类讨论: 当a>0时,f(a)=2a, 由f(a)+f(1)=0,得2a+2=0,解得a=-1,舍去;当a≤0时,f(a)=a+1, 由f(a)+f(1)=0,得a+1+2=0,解得a=-3,满足题意. 2.函数f(x)=则f(7)=　　　　.  解析:∵函数f(x)= ∴f(7)=f(f(12))=f(9)=f(f(14))=f(11)=8. 答案:8 题型(二)　分段函数的图象及应用 [例2]　已知函数f(x)=1+(-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示f(x); (2)画出f(x)的图象; (3)写出函数f(x)的值域. [解]　(1)当0≤x≤2时, f(x)=1+=1. 当-2<x<0时,f(x)=1+=1-x. ∴f(x)= (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 　　[变式拓展] 　把本例条件改为“f(x)=|x|-2”,如何求解. 解:由题易得f(x)=|x|-2= 作出函数的图象如图所示. 由图可知,f(x)的值域为[-2,+∞). |思|维|建|模| 分段函数图象的画法 　　作分段函数的图象时,分别作出各段的图象.在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. 　　[针对训练] 3.已知函数f(x)= (1)画出f(x)的图象; (2)若f(x)=,求x的值; (3)若f(x)≥,求x的取值范围. 解:(1)函数y=x2的对称轴为x=0,当x=0时,y=0; 当x=-1时,y=1;当x=1时,y=1,故f(x)的图象如图所示. (2)f(x)=等价于①或② 或　③ 解①得x=±,②③的解集都为∅. 所以当f(x)=时,x=±. (3)由于f=,结合此函数图象可知, f(x)≥的x的取值范围是∪. 题型(三)　分段函数的实际应用问题 [例3]　某超市元旦期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过500元,不享受任何折扣;如果顾客购物的总金额超过500元,则超过的部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算: 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元,求此人购物实际所付金额. [解]　设此人购物总金额为x元,可获得购物折扣金额为y元,则y= 当x=900时,y=0.1×(900-500)=40. ∵60>40,∴x>900.∴0.2(x-900)+40=60. 解得x=1 000. ∴1 000-60=940.故此人购物实际所付金额为940元. |思|维|建|模| 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)明确条件,将文字语言转化为数学语言; (2)建立恰当的分段函数模型解决问题. 　　[针对训练] 4.某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式; (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为什么? 解:(1)由题意f(x)=6x,x∈[12,30], g(x)= (2)①当12≤x≤20时,6x=90,解得x=15, 即当12≤x<15时,f(x)<g(x); 当x=15时,f(x)=g(x); 当15<x≤20时,f(x)>g(x). ②当20<x≤30时,f(x)>g(x). 综上,当12≤x<15时,选A俱乐部合算; 当x=15时,选A,B俱乐部都合算; 当15<x≤30时,选B俱乐部合算. [课时检测] 1.函数f(x)=的图象是 (　 ) 解析:选C　函数f(x)==故选C. 2.已知著名的狄利克雷函数D(x)=则D(D(x))等于 (　 ) A.0 B.1 C. D. 解析:选B　∵D(x)∈{0,1},∴D(x)为有理数.∴D(D(x))=1. 3.函数f(x)=的值域是 (　 ) A.R B.[0,2]∪{3} C.[0,+∞) D.[0,3] 解析:选B　当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}. 4.已知函数f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为 (　 ) A.-1 B.±1 C.0 D.1 解析:选B　当a≥0时,f(a)=a3=1,则a=1,当a<0时,f(a)==1,解得a=-1.综上a=±1. 5.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则 (　 ) A.f(f(-3))=1 B.f(-1)=3.5 C.函数的定义域是(-∞,0]∪[2,3] D.函数的值域是[1,5] 解析:选AD　选项A,由题图可得f(-3)=2,所以f(f(-3))=f(2)=1,A正确;选项B,图象法只能近似地求出函数值,且有时误差较大,故由图象不能得出f(-1)的确定值,B错误;选项C,由题图可得函数的定义域为[-3,0]∪[2,3],C错误;选项D,由题图可得函数的值域为[1,5],D正确. 6.(多选)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是 (　 ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4) C.若f(x)=3,则x的值是 D.f(x)<1的解集为(-1,1) 解析:选BC　由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误; 当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1], 当-1<x<2时,f(x)的取值范围是[0,4), 因此f(x)的值域为(-∞,4),故B正确; 当x≤-1时,x+2=3,解得x=1(舍去), 当-1<x<2时,x2=3,解得x=或x=-(舍去),故C正确; 当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时,x2<1,解得-1<x<1, 因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故D错误. 7.(5分)已知函数f(x)=则f(3)=　　　　.  解析:f(3)=-2×3+3=-3. 答案:-3 8.(5分)已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为　　　　.  解析:原不等式转化为或解得-1≤x≤1. 答案:[-1,1] 9.(5分)已知函数f(x)=若f=-6,则f(4)=　　　　.  解析:由题意,得f=3.所以f=f(3)=9+3a=-6,解得a=-5.故f(4)=42-5×4=-4. 答案:-4 10.(5分)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)= 已知某家庭2025年前三个月的煤气费如下表: 月份 用气量 煤气费 1月份 4 m3 4元 2月份 25 m3 14元 3月份 35 m3 19元 若4月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为　　　　　元.  解析:根据1月份用气量4 m3,煤气费4元, 可知f(4)=C=4.又由2、3月份用气量和煤气费得 解得A=5,B=. 所以f(x)= 所以f(20)=4+(20-5)=11.5. 答案:11.5 11.(5分)设集合A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是　　　　.  解析:∵当x0∈A时,f(x0)∈.∴f(f(x0))=2=2∈A.解得<x0<. 答案: 12.(10分)已知函数f(x)= (1)求f(f(f(5)))的值;(5分) (2)画出函数f(x)的图象.(5分) 解:(1)因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3. 因为-3<0,所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1. 因为0<1<4,所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1. (2)f(x)的图象如图所示. 13.(10分)如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C,D,A绕周界运动,用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f(x)的解析式. 解:当点P在BC上运动,即0≤x≤4时, y=×4×x=2x; 当点P在CD上运动,即4<x≤8时, y=×4×4=8; 当点P在DA上运动,即8<x≤12时, y=×4×(12-x)=24-2x. 综上可知,f(x)= 14.(10分)已知函数f(x)的图象如图所示,在区间[0,4]上是抛物线的一段. (1)求f(x)的解析式;(3分) (2)解不等式f(x)≤x+1.(7分) 解:(1)由题图可知,当x<0时,f(x)=3, 当0≤x≤4时,设f(x)=a(x-2)2-1, 把点(1,0)代入得a-1=0,解得a=1, 所以f(x)=(x-2)2-1. 当x>4时,设f(x)=kx+b, 把(4,3),(5,0)代入得, 解得 所以f(x)=-3x+15, 所以f(x)= (2)f(x)≤x+1, 当x<0时,3≤x+1,解得x≥4,不符合,舍去; 当0≤x≤4时,(x-2)2-1≤x+1,解得≤x≤4; 当x>4时,-3x+15≤x+1,解得x≥4,所以x>4. 综上,不等式f(x)≤x+1得解集为. 15.(10分)已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令φ(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析法表示φ(x);(4分) (2)求函数φ(x)的定义域、值域.(6分) 解:(1)在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象如图①所示. 由图①中函数取值的情况,结合函数φ(x)的定义,可得函数φ(x)的图象如图②所示. 令-x2+2=x,得x=-2或x=1. 结合图②,得出φ(x)的解析式为φ(x)= (2)由图②知,φ(x)的定义域为R,φ(1)=1, 所以φ(x)的值域为(-∞,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $