第2章 等式与不等式 本章总结(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了等式与不等式的核心知识，通过知识网络将等式性质、方程解法、不等式性质及应用等内容整合，构建起从概念到应用的逻辑体系，帮助学生建立完整知识框架。 其亮点在于知识辨析模块精准诊断易错点，如通过判断“若a>b则a/b>1”培养批判性思维，素养提升部分分题型设计例题与变式，如均值不等式实际应用题，发展数学思维与建模能力。分层训练满足不同学生需求，助力教师高效开展针对性复习。

本章总结 1 题型一 一元二次方程的解集及根与系数的关系 题型二 方程组的解集 题型三 不等式及其性质 题型四 绝对值不等式 题型五 一元二次不等式的解法 题型六 均值不等式 2 知 识 网 络 3 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） 1.若，，则 .( ) × [解析] 等式两边同时乘，得 ， 该等式两边同时减去，得 . 2.若，，则 .( ) × [解析] 当时，；当时， . 3.若，，且，则 的最大值为1.( ) × [解析] 由（当且仅当 时等号成立）， 得，即，所以 的最大值为2. 知 识 辨 析 4 4.若，则方程 有两个实数根.( ) √ [解析] 因为，所以 ， 所以方程 有两个实数根. 5.不等式的解集是 .( ) × [解析] 由得 ， 即，解得 . 6.若不等式的解集为，则 .( ) √ [解析] 依题意得，解得 ． 知 识 辨 析 5 7.若方程组的解集是，则 ， .( ) √ [解析] 将，代入方程组，得解得 知 识 辨 析 6 8.已知集合，集合 ， 若，则，满足 ( ) × [解析] 集合，当 时， ， 即，此时也满足 ，故错误. 知 识 辨 析 7 9.数轴上点，，的坐标分别为3，，，则 . ( ) √ [解析] . 10.不等式的解集为 .( ) √ [解析] 不等式等价于 或 ，其解集为 . 知 识 辨 析 8 题型一 一元二次方程的解集及根与系数的关系 ［类型总述］（1）求一元二次方程的解集；（2）判断一元二次方 程根的个数；（3）一元二次方程根与系数的关系的应用. 素 养 提 升 9 例1（1）已知为实数，则关于 的一元二次方程 的根的情况为( ) A.没有实根 B.有两个相等实根 C.有两个不相等的实根 D.不能确定 [解析] 由题得 ，故方程有两个不相等的实根.故选C. √ 素 养 提 升 10 （2）关于的一元二次方程 的解集为_______ ______. , [解析] 原方程可化为，故或 ， 可得或,所以原方程的解集为, . 素 养 提 升 11 （3）已知，关于的方程 的两个实数根 为,，且，则 ____. 30 [解析] 由题意，, ， 且，即 ， 因为， 所以 ，解得，所以 ， 所以 . 素 养 提 升 12 变式 ［2025·云南保山高一期中］ 已知关于 的一元二次方程 . （1）若方程有实数根，求实数 的取值范围； 解： 方程有实数根， ，解得 . 素 养 提 升 13 （2）若方程有两个不相等的实根， ，且满足 ，求实数 的值. 解：方程有两个不相等的实根, , ，解得 .由根与系数的关系得， ，又 ， ，即 ， ，解得或 ，又， . 变式 ［2025·云南保山高一期中］ 已知关于 的一元二次方程 . 素 养 提 升 14 题型二 方程组的解集 ［类型总述］（1）减元；（2）降次；（3）同解变形. 例2 求下列方程组的解集： （1） 解：由,得 解得代入①，可得，故原方程组的解集为 . 素 养 提 升 15 （2） 解：由方程，可得或 ， 则原方程组可化为或解得或 故此方程组的解集为, . 例2 求下列方程组的解集： 素 养 提 升 16 变式 解方程组 素 养 提 升 17 解：由①得 ， 或 . 由②得，或 ， 原方程组可化为或或 或可得或 故原方程组的解集为 . 素 养 提 升 题型三 不等式及其性质 ［类型总述］（1）不等式性质的应用；（2）比较两个数的大小. 例3（1）给出以下命题：①若,，则 ；②若 ，则；③若，则；④若 ， 则；⑤若，则 .其中真命题的序号是______. （将你认为的所有真命题的序号都填上） ②④ 素 养 提 升 19 [解析] ①当,时， 不成立， 因此本命题是假命题； ②因为，所以，所以由 ， 可得，则，因此本命题是真命题； ③若 ，则不成立，因此本命题是假命题； ④因为 ，所以， 可得，则 ，因此本命题是真命题； ⑤当,时，式子 没有意义，因此本命题是假命题. 故答案为②④. 素 养 提 升 20 （2）已知,，则 的取值范围是 __________. [解析] 因为，所以， 因为 ，所以， 所以，所以 的取值范围是 . 素 养 提 升 21 变式 （多选题）若 ，则下列不等式中一定不成立的是 ( ) A. B. C. D. √ √ 素 养 提 升 22 [解析] 对于A, ,故A一定不成立； 对于B,令,,则 ,故B可能成立； 对于C,令,,则 ,故C可能成立； 对于D, ,故D一定不成立. 故选 . 素 养 提 升 23 题型四 绝对值不等式 ［类型总述］（1）零点区间讨论法；（2）数形结合思想、分类讨 论思想的应用. 例4 已知, . （1）若,解不等式 ; 素 养 提 升 24 解：当时，不等式为 . ①当时，不等式可化为 , 解得,所以 ; ②当时，不等式可化为 , 解得，所以 ; ③当时,不等式可化为, 解得 ,所以. 综上所述，不等式的解集为 . 素 养 提 升 25 （2）当时，的最小值为3，求实数 的值. 解：当,即时， 所以当 时,取得最小值,最小值为,解得 经验证，符合题意,故 . 例4 已知, . 素 养 提 升 26 变式 已知不等式 成立的一个必要不充分条件是 ，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 27 [解析] 由，得，即 . 当时，不等式为，显然不成立； 当 时，解得；当时，解得. 所以 等价于或. 因为不等式 成立的一个必要不充分条件是， 所以 或是 的真子集，则或,解得或， 即实数 的取值范围是 .故选C. 素 养 提 升 题型五 一元二次不等式的解法 ［类型总述］（1）一元二次不等式的解法；（2）一元二次不等式 恒成立问题. 例5（1）设集合， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为, ,所以 . √ 素 养 提 升 29 （2）若关于的不等式 恒成 立，则实数 的取值范围是_______. [解析] ①当时，解得或. 若 ，则不等式可化为，不恒成立； 若 ，则不等式可化为，恒成立． ②当 时，根据题意应有 解得. 综上可知，实数的取值范围是 ． 素 养 提 升 30 （3）若关于的不等式的解集是 ， 则关于的不等式 的解集为__________. [解析] 若关于的不等式的解集是 ， 则解得则关于的不等式 即为 ，解得，则所求解集为 . 素 养 提 升 31 变式（1）已知集合 ， .若， ， 且是的必要不充分条件，则实数 的取值范围为______. [解析] ， 因为， 所以 ，所以. 因为是的必要不充分条件，所以是 的真子集， 所以且等号不同时成立，解得 ， 故实数的取值范围是 . 素 养 提 升 32 （2）解关于 的不等式 . 解：当时，不等式可化为，解得 . 当时，，即 . 当时，不等式可化为 . 若，则，此时不等式的解集为 ； 若，则，此时不等式的解集为； 素 养 提 升 33 若，则 ，此时不等式的解集为. 当时, ,不等式可化为 , 此时不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为 ；当时，不等 式的解集为；当 时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为 ；当时，不等式 的解集为 . 素 养 提 升 题型六 均值不等式 ［类型总述］(1)利用均值不等式求积的最大值;(2)利用均值不等式 求和的最小值;(3)均值不等式的实际应用. 例6（1）[2026·安徽马鞍山高一期中] 若0<x<,则x(1-2x)取最大值时 x的值是 ( ) A. B. C. D. √ [解析] x(1-2x)=2x≤2=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立. 故选A. 素 养 提 升 35 （2）(多选题)[2026·江苏无锡高一期中] 已知x>0,y>0,2x+y=1,则( ) A.xy的最大值为 B.x2+y2的最小值为 C.+的最大值为1 D.+的最小值为4 √ √ √ 素 养 提 升 36 [解析] 对于A,xy=·2x·y≤·=×=,当且仅当2x=y,即x=,y=时, 等号成立,故xy的最大值为,故A正确; 对于B,由2x+y=1,得y=1-2x,所以0<y<1,0<x<,则x2+y2=x2+(1-2x)2=5x2-4x+1= 5+≥,当且仅当x=时,等号成立,故x2+y2的最小值为,故B正确; 对于C,(+)2=2x+y+2≤1+2x+y=2,当且仅当2x=y,即x=,y=时, 等号成立,故+≤,故C错误; 对于D,+=+=++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=y=时,等号成立, 故+的最小值为4,故D正确.故选ABD. 素 养 提 升 37 变式 (1)把64写成两个正数的积,当这两个数取什么值时它们的和最小? 最小值是多少? 解:设两个正数分别为x,y,则xy=64,所以x+y≥2=16, 当且仅当x=y=8时取等号, 所以当这两个正数都为8时,它们的和取得最小值16. 素 养 提 升 38 变式 (2)把12写成两个正数的和,当这两个数取什么值时它们的积最大? 最大值是多少? 解:设两个正数分别为p,q,则p+q=12,所以pq≤=36, 当且仅当p=q=6时取等号,所以这两个正数都为6时, 它们的积取得最大值36. 素 养 提 升 39 例7 如图,OA,OB是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路,矩形OCPD 的顶点C,D分别在OA,OB上,且该矩形区域内种满了荷花.为了让观赏者 有更好的观赏体验,现计划经过点P修一条小路EF,其中点E在小路OA上, 点F在小路OB上,并在△OEF区域内种满荷花.已知OD=25 m,OC=40 m, 且小路EF要完全位于一个以O为顶点,边长为100 m的正方形内部 (包括边界).记△OEF的面积为S(单位:m2). (1)设EC=x m,试用x表示OF,并写出x的取值范围. 素 养 提 升 40 解:依题意得0<x≤60,△PCE∽△FDP, 所以=,即=,得DF= m, 所以OF=OD+DF=m,所以25+≤100, 解得x≥.综上可得,≤x≤60. 素 养 提 升 41 例7 如图,OA,OB是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路,矩形OCPD 的顶点C,D分别在OA,OB上,且该矩形区域内种满了荷花.为了让观赏者 有更好的观赏体验,现计划经过点P修一条小路EF,其中点E在小路OA上, 点F在小路OB上,并在△OEF区域内种满荷花.已知OD=25 m,OC=40 m, 且小路EF要完全位于一个以O为顶点,边长为100 m的正方形内部 (包括边界).记△OEF的面积为S(单位:m2). (2)当EC的长度为多少时,S取得最小值?最小值是多少? 素 养 提 升 42 解:由题得OE=OC+CE=(40+x)m,所以S=OF·OE=(40+x) =≥=2000, 当且仅当25x=,即x=40时,等号成立,故EC=40 m时,S取得最小值2000. 素 养 提 升 43 变式 [2026·福建福州高一期中] 已知长方形ABCD(AB>AD)的周长为10. (1)如图①,若点M在线段AB上运动,点N在线段BC上运动,且AB=3,AM=CN, 则△AMN面积的最大值是多少? 素 养 提 升 44 解:当AB=3时,AD=BC=2.设AM=CN=x(0<x<2), 则S△AMN=x(2-x),根据均值不等式得S△AMN≤×=, 当且仅当x=2-x,即x=1时,等号成立, 所以△AMN面积的最大值是. 素 养 提 升 45 变式 [2026·福建福州高一期中] 已知长方形ABCD(AB>AD)的周长为10. (2)如图②,沿AC折叠使点B到点B'位置,AB'交DC于点P. (i)求证:△ADP的周长是定值,并求出该定值. 素 养 提 升 46 解: 沿AC折叠使点B到点B'位置,AB'交DC于点P,所以∠D=∠B', ∠DPA=∠B'PC,AD=B'C,所以△ADP≌△CB'P,所以AP=PC, 所以△ADP的周长为AD+DP+AP=AD+DP+PC=AD+DC==5, 故△ADP的周长是定值,该定值为5. 素 养 提 升 47 变式 [2026·福建福州高一期中] 已知长方形ABCD(AB>AD)的周长为10. (2)如图②,沿AC折叠使点B到点B'位置,AB'交DC于点P. (ii)△ADP的面积是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在, 请说明理由. 素 养 提 升 48 解:设AB=CD=m,则AD=BC=5-m,由(i)知,AP=PC=m-DP. 在Rt△ADP中,有(5-m)2+DP2=(m-DP)2,解得DP=, 则S△ADP=(5-m)×=-+, 根据均值不等式得S△ADP≤-2=,当且仅当=, 即m=时,等号成立,所以△ADP的面积存在最大值,最大值为. 素 养 提 升 49 $