2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦均值不等式的应用，涵盖利用常值代换、消元、配凑法求最值及实际问题应用。课堂导入从复习均值不等式成立条件切入，通过问题链衔接不同方法，构建从基础变形到综合应用的学习支架。 其亮点是结合“素养小结”提炼方法本质，如通过例1“已知a+b=3求1/a+4/b最小值”培养数学思维，用原材料购买费用问题渗透数学眼光，分层习题强化应用意识。助力学生掌握解题策略，教师可高效实施教学。

2.2 不等式 1 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用 2 探究点一 利用均值不等式求解最值的方法 探究点二 均值不等式在实际问题中的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用； 2.能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题,进一步加深 对均值不等式成立的条件的理解； 3.能够运用均值不等式解决实际生活中的应用问题. 4 知识点一 利用均值不等式证明不等式或求最值 利用均值不等式证明不等式或求最值时，要先观察题中不等式的结 构特征，若不能直接使用均值不等式，则考虑对代数式进行拆、并、 配等变形，使之达到能使用均值不等式的形式. 知识点二 利用均值不等式解决实际问题的一般步骤 （1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式； （2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值； （4）写出符合实际情况的答案. 课 前 预 习 5 探究点一 利用均值不等式求解最值的方法 角度1 常值代换法 例1（1）已知a>0,b>0且满足a+b=3,则+的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 由a>0,b>0,且a+b=3,得+=(a+b)= ≥(5+2)=3,当且仅当=,即a=1,b=2时取等号, 则+的最小值是3.故选B. √ 课 中 探 究 6 （2）已知正实数，满足，则 的最小值为__， 此时， 满足的等量关系是________． 所以 ， 当且仅当，即时,等号成立. 故 的最小值为，此时，满足的等量关系是 ． [解析] 因为正实数，满足 ， 课 中 探 究 7 变式 （1）若正数，满足，则 的最小值是___. 5 [解析] 方法一:由，可得 ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故 的最小值是5. 课 中 探 究 8 方法二:由，得. ，， ， ， 当且仅当时等号成立，故 的最小值是5. 课 中 探 究 9 （2）［2025·湖南邵阳高一期中］已知实数满足 ，则 的最小值为( ) A.9 B.18 C.27 D.36 [解析] 因为，所以 ，所以 ， 当且仅当，即 时取等号.故选C. √ 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 常值代换法主要解决形如“已知mx+ny=t(t为不等于0的常数), 求+的最值”或“已知+=t(t为不等于0的常数),求ax+by的最值”的 问题,通常将+转化为·或将ax+by转化为·, 再利用均值不等式求最值. 课 中 探 究 11 角度2 消元法 例2（1）已知，，，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 12 [解析] 因为，所以，又， ， 所以，则 ， 因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以 的最小值为 .故选C. 课 中 探 究 13 （2）已知，，，则 的最小值为___. 6 [解析] 方法一（换元消元法）:由已知得， 因为， ，所以，所以， 当且仅当，即 ，时取等号， 所以 ，令， 则且，可得，故 的最小值为6. 课 中 探 究 14 方法二（代入消元法）:由，得 ， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以 的最小值为6. 课 中 探 究 15 变式 若x,y∈[0,+∞),且2x-y=4-xy,则+的最小值是( ) A.2 B.2 C. D. [解析] 由2x-y=4-xy得x==+1,即x-1=, 所以+=+≥2=2,当且仅当=, 即y=0时,等号成立.故选B. √ 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 通过消元法利用均值不等式求最值的策略:当求最值的代数式中的 变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为 常数”或“积为常数”,最后利用均值不等式求最值. 课 中 探 究 17 角度3 配凑法 例3（1）已知x>0,则+x的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ [解析]由x>0,得x+1>1,则+x=+x+1-1≥2-1=3, 当且仅当x=1时取等号.故+x的最小值是3.故选C. 课 中 探 究 18 （2）已知x>1,则x+的最小值为 ( ) A.4 B.2+3 C.4 D.6 √ [解析] ∵x>1,∴x-1>0,则x+=(x-1)++1=(x-1)++3≥ 2+3=2+3,当且仅当x-1=,即x=+1时取等号, 故x+的最小值为2+3. 课 中 探 究 19 变式 函数y=(x>-1)的最大值为 　　　　　.  [解析] y===2+=2+= 2+≤2+=2+=, 当且仅当x+1=,即x=-1时等号成立,故函数的最大值为. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑 成和为定值或积为定值的形式,然后利用均值不等式求解最值的方法. 配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 课 中 探 究 21 探究点二 均值不等式在实际问题中的应用 例4 某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买 吨.若每次 的运费为5000元，一年的储存费用为 元，则每次购买____吨原 材料总费用（运费和储存费之和）最低，最低的总费用为____万元. 10 10 课 中 探 究 22 [解析] 由题意可得总费用， ，易知 （元）， 当且仅当，即 时，等号成立， 即每次购买10吨原材料，总费用最低，最低的总费用为10万元. 课 中 探 究 23 变式 [2026·江苏扬州高一期中] 某工厂要建一个长方体无盖蓄水池, 其底面积为100平方米,深5米,如图,设底边一边长为x(x>0)米. 现有甲、乙两工程队竞标,甲工程队报价:池底每平方米的造价为180元, 池壁每平方米的造价为150元;乙工程队报价:整体造价为 15 000+500(a>0)元. (1)如果按甲工程队报价,求建造蓄水池的最低总造价; 课 中 探 究 24 解：记甲工程队的总造价为W(x)元, 由题意得x>0,W(x)=18 000+150×2××5=18 000+1500≥ 18 000+1500×2=48 000,当且仅当x=,即x=10时,等号成立, 所以按甲工程队报价,最低总造价为48 000元. 课 中 探 究 25 变式 [2026·江苏扬州高一期中] 某工厂要建一个长方体无盖蓄水池, 其底面积为100平方米,深5米,如图,设底边一边长为x(x>0)米. 现有甲、乙两工程队竞标,甲工程队报价:池底每平方米的造价为180元, 池壁每平方米的造价为150元;乙工程队报价:整体造价为 15 000+500(a>0)元. (2)如果蓄水池无论如何设计,乙工程队都能竞标成功,求a的取值范围. 课 中 探 究 26 解：依题意可知∀x∈(0,+∞),18 000+1500>15 000+500 恒成立,即a<恒成立. 令x+2=t,t>2,则a<=3对t∈(2,+∞)恒成立, 又+t≥2=20,当且仅当=t,即t=10时,等号成立,所以a<54, 因为a>0,所以0<a<54. 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： （1）理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； （2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小 值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际背景写出答案. 课 中 探 究 28 1.若，则 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为 ， 所以 ， 当且仅当且，即时取等号, 所以 的最小值为4. 故选D. √ 课 堂 评 价 29 2.已知，则 的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] ， ， 当且仅当，即 时，等号成立．故选B. √ 课 堂 评 价 30 3.已知直角三角形的面积为1,则( ) A.该三角形的斜边长的最小值为2 B.该三角形的斜边长的最大值为2 C.该三角形的斜边长的最小值为 D.该三角形的斜边长的最大值为 [解析] 设直角三角形的两直角边长分别为,,则,即 , 所以,当且仅当 时等号成立. 故选A. √ 课 堂 评 价 31 4.已知,,均为正实数，则“”是“ ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 堂 评 价 32 [解析] 若 ， 则 ， 当且仅当，，，即，， 时等号成立，所以充分性成立； 当时，可取 ， 但此时 ，所以必要性不成立， 故“”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 课 堂 评 价 5.若，，，则 的最大值为__. [解析] 因为，所以，又，， ， 所以 ， 当且仅当时取等号，故的最大值为 . 课 堂 评 价 34 课后习题 35 1.若正数x,y满足+=2,则x+y的最小值为 ( ) A. B.1 C.2 D.4 √ [解析] 因为正数x,y满足+=2,所以x+y=(x+y)=≥ =2,当且仅当=,即x=y=1时,等号成立, 所以x+y的最小值为2.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 2.已知，，且，则 的最小值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 [解析] 因为,,且 ，所以 ， 当且仅当，时取等号，故 的最小值为16.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 3.如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是 ( ) A. B. C.1 D.2 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 [解析] 设两个正方形的边长分别为，， 则， 且，所以两个正方形的面积之和为 . 由均值不等式可得，当且仅当 时，等号成立， 所以， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， 所以这两个正方形的面积之和的最小值为 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若正实数，满足，且不等式 有解， 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 [解析] 由，得 ， 则 ， 当且仅当时等号成立，所以 的最小值为2. 若不等式有解,则,解得或 , 故实数的取值范围是 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知,，且，若 恒成立， 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为,，且 ，所以 ， 当且仅当 时取等号. 因为恒成立，所以 ， 解得，所以实数的取值范围是 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 6.［2025·贵州贵阳高一期中］如图，是圆的直径，点是 上的 一点，,.过点作垂直于的弦，连接, .可证 ，所以.由于 小于或等于圆的半径，利 用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是( ) A.如果，那么 B.如果，那么 C.对,，都有 ，当且仅当 时等号成立 D.对,，都有 ，当且 仅当 时等号成立 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 [解析] 由题意，小于或等于圆的半径， 是圆的直径， 且,，，所以， 当且仅当 时等号成立.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 ★7.（多选题）下列结论正确的是( ) A.当时， B.当时， 的最小值是2 C.当时，的最小值是 D.若，，且，则的最小值是 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 [解析] 对于A，当时,,可得 , 当且仅当时取等号,故A正确; 对于B，当时, , ,可得 , 当且仅当时取得等号，但 , 所以等号取不到,所以没有最小值,故B错误; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于C,因为,所以 ，则 ,当且仅当时取等号， 又 ，所以等号取不到，所以没有最小值，故C错误; 对于D,因为, ,且 ,所以 , 当且仅当,即时,等号成立，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ［易错点］ 在用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相 等”必须同时满足，缺一不可，如本题B，C中的等号取不到，则易 出现错误判断. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 8.已知x<-1,则的最大值为　　.  -11 [解析]易知==x+1+-3. 因为x<-1,所以x+1<0,所以-(x+1)>0,则x+1+=-≤-8, 当且仅当-(x+1)=-,即x=-5时,等号成立,所以x+1+-3≤-11, 故的最大值是-11. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 9.若正数，满足，则 的最小值为_ ___. [解析] 由，可得. 又 ，所以， 当且仅当 时等号成立，所以的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 10.[2026·安徽滁州高一月考] 已知x>0,y>0,且满足x+8y=xy,则x+2y有 ( ) A.最大值16 B.最大值18 C.最小值16 D.最小值18 √ [解析] 由x>0,y>0,x+8y=xy,得+=1,所以x+2y=(x+2y)= 10++≥10+2=18,当且仅当=,即x=12,y=3时,等号成立, 所以x+2y有最小值18.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 11.（多选题）下列说法中正确的是( ) A. 的最小值为2 B.已知，则的最小值为 C.若正实数，满足，则 的最小值为3 D.设,为正实数，若，则的最大值为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 [解析] 当时， ，故A错误； ，当且仅当，即 时取等号，故B正确； 由，得 ，所以 ，当且仅当， 即 时取等号，故C正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 ，得 ，即，则， 当且仅当 时取等号，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内 有一个三角形,其边长分别为,,，则该三角形的面积 可由公式 求得,其中 为三角形周长的一半.现有一 个三角形的边长满足, ，则此三角形的面积的最大值 为_____. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 [解析] 由,,可得 , 则 , 当且仅当时取等号,所以此三角形的面积的最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.（15分）已知，，且 ，证明： . 证明：因为 ， 当且仅当 时取等号，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 14.若，，且，则 的最小值为 _________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 [解析] 因为，所以 ， 因为，，所以， . ， 因为，， ， 所以，所以 ， 当且仅当，时等号成立， 所以 的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 15.（15分）如图,以AB为直径作半圆,圆心为O.过直径AB上一点C作 CD垂直于AB,交半圆于点D,连接AD,BD.利用这个图形得出不等式链 ≤≤≤的几何解释. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 解：不妨设AC=a,CB=b,a>b,则半圆的半径r=,如图,过点O作OE⊥AB 交半圆于点E,连接CE,则OE=.由CD2=AC·CB知CD=. 显然OC=,则CE===. 连接OD,过点C作CH⊥OD于点H,则CD2=DH·OD, 因为OD=,所以DH==. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 因为CE>OE=OD>CD>DH,所以>>>. 当点O与点C重合时,CE=OE=OD=CD=DH,即===. 综上,≤≤≤,其中a,b都是正数,当且仅当a=b时等号成立 (即点C与点O重合时). 注:称为正数a,b的调和平均数, 称为正数a,b的平方平均数. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 $