2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第1课时 均值不等式(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦均值不等式及其应用，课前预习通过算术与几何平均值概念、矩形面积的几何意义及诊断分析题构建基础，课中探究结合正负值应用实例与证明形成学习支架，帮助学生从概念理解过渡到灵活应用。 其亮点在于以数学眼光观察几何意义，通过分类讨论（如x正负值求最值）培养数学思维，分层习题（基础巩固到思维探索）提升数学语言表达能力。例如几何意义让学生直观理解不等式本质，例1分类讨论强化推理意识，助力学生发展抽象能力与理性精神，教师可高效落实教学目标。

2.2 不等式 1 2.2.4 均值不等式及其应用 第1课时 均值不等式 2 探究点一 对均值不等式的理解 探究点二 均值不等式的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.掌握均值不等式 及其推导过程、几何 意义； 2.能运用均值不等式证明不等式和求最值. 4 知识点一 基本概念 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数，，数称为，的____________；数 称为 ， 的____________. 算术平均值 几何平均值 2.均值不等式 如果，都是正数，那么___________，当且仅当 时，等号成 立.均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的______ 平均值不小于它们的______平均值. 算术 几何 课 前 预 习 5 3.均值不等式的一个几何意义 如果矩形的长和宽分别为和，那么矩形的面积为， 可以 看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何 意义为所有周长一定的矩形中，________的面积最大. 正方形 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）和成立的条件都是， . ( ) × [解析] 成立的条件是,， 成立的条件是， . 【诊断分析】 课 前 预 习 7 （2）若，则 .( ) [解析] 只有当时，才有不等式 成立． （3）若，，则 .( ) [解析] 因为，所以 . × √ 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 知识点二 均值不等式与最值 1.已知， 都是正数. （1）如果和等于定值，那么当时，积有最____值 . （2）如果积等于定值，那么当时，和 有最____值 . 大 小 2.利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需注意： （1）， 必须是______. （2）求积的最大值时，应看和是否为______；求和 的 最小值时，应看积 是否为______. （3）______成立的条件是否满足. 正数 定值 定值 等号 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两个正数的积为定值，它们的平方和有最小值.( ) √ [解析] 若,,则,当且仅当 时取等号， 故该说法正确． （2）当时， .( ) [解析] 当时，，因为 ， 所以 ，故该说法正确. √ 课 前 预 习 10 （3）当时，函数，所以 的最小值是 .( ) × [解析] 因为当时， ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以 的最小值是3. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 11 （4）当时， 的最小值为2.( ) × [解析] ，当且仅当时取等号，与 矛盾， 所以该说法错误． （5）两个负数的和为定值，则它们的积有最大值.( ) √ [解析] 设，，， 为定值， 则，当且仅当 时取等号， 所以，所以 . 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 12 探究点一 对均值不等式的理解 例1（1）当x>0时,求+4x的最小值,并说明x为何值时y取得最小值. 解:∵x>0,∴>0,4x>0,∴+4x≥2=8, 当且仅当=4x,即x=时,等号成立,故当x=时,+4x取得最小值8. 课 中 探 究 13 探究点一 对均值不等式的理解 例1 (2)当x<0时,求+4x的最大值,并说明x为何值时y取得最大值. 解:∵x<0,∴-x>0,则+(-4x)≥2=8, 当且仅当=-4x,即x=-时,等号成立,∴+4x≤-8, 故当x=-时,+4x取得最大值-8. 课 中 探 究 14 变式 已知在时取得最小值，求 的值． 解： ，当且仅当， 即时，等号成立，故 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥2成立 的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b. 课 中 探 究 16 探究点二 均值不等式的应用 例2 当时， 的最大值为___． [解析] 因为，所以， ， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为 . 课 中 探 究 17 变式 已知，则 的最大值为___. [解析] ， ， , 当且仅当，即时，等号成立. 故当时， 取得最大值 . 课 中 探 究 18 例3 设a>b>0,求证:>>. 证明:由a>b>0,得>,则<,即<=. 综上可得,>>. 课 中 探 究 19 变式 已知a>1,证明:<<. 证明:当a,b均是正数时,由均值不等式得≤≤, 当且仅当a=b时取等号. 令b=1,得≤≤,又a>1,所以a≠b, 故等号不能取到,故<<. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 在利用均值不等式求最值时要注意三点: 一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值, 求积式最大值时应使和为定值;三是考虑等号成立的条件是否具备. 课 中 探 究 21 1.下列不等式中恒成立的个数是( ) （1）；（2） ； （3）；（4） . A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 对于（3）,，（当且仅当 时， 等号成立），故（3）恒成立.其余3个不等式都不恒成立.故选A. √ 课 堂 评 价 22 2.下列式子的最小值为4的是( ) A. B. C. D. [解析] 在A中，当时，； 在B中，当 时，； 在C中， ，当且仅当时，等号成立； 在D中，当时， .故选C. √ 课 堂 评 价 23 3.（多选题）若,，且 ，则下列不等式恒成立的 是( ) A. B. C. D. [解析] 由，当且仅当时取等号， 得 ，则，故D中不等式不恒成立； ,故A中不等式恒成立； 由，可得 ，故B中不等式恒成立； 由,可得 ,故C中不等式恒成立.故选 . √ √ √ 课 堂 评 价 24 4.已知，，且，则 的最小值为___，此时 ___. 4 3 [解析] ,，且， ， 当且仅当,时取等号， 的最小值为4,此时 . 课 堂 评 价 25 课后习题 26 1. [2026·浙江杭州高一期中] 已知x>0,则2x+的最小值为( ) A. B.2 C.2 D.4 [解析]因为x>0,所以2x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立, 所以2x+的最小值为2.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 2.在不等式中，, 需满足( ) A., B., C. D. [解析] 在均值不等式中，我们规定,, 但当, 时也满足 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 3. [2025·福建宁德高一期中] 已知a,b>0且ab=1,则(a+2)(b+2)的最小值为 ( ) A.9 B.10 C.2 D.8 [解析]∵a,b>0且ab=1,∴(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4=5+2(a+b)≥5+4=9, 当且仅当a=b=1时,等号成立.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 4.已知，均为正数，且满足，则 的最大值为( ) A. B.2 C. D. [解析] ,均为正数,, （当且仅当 时等号成立）.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 5. [2026·广东深圳高一期中] 已知x>2,则x+的最小值为 ( ) A.6 B. C. D.7 [解析] x+=x-2++2≥2+2=6,当且仅当x-2=, 即x=4时,等号成立,所以最小值为6.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 6.下列函数中，最小值是 的是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 [解析] 对于A，当时， ，故A不符合题意; 对于B，当时,，故B不符合题意; 对于C，当 时, ，故C不符合题意; 对于D，由均值不等式知 （当且仅当 时取等号），故D符合题意.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. (多选题)[2026·湖南永州高一月考] 下列代数式中,最小值为2的是 ( ) A.当ab=1时,a+b B.当ab=1时,+ C.a2-2a+3 D.+ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 选项A中,当a=b=-1时,满足ab=1,但此时a+b=-2,故a+b的最小值 不为2,故A错误; 选项B中,因为ab=1,所以a,b同号,则>0,>0,所以+≥2=2,当且 仅当=,即a=b=±1时,等号成立,所以+的最小值为2,故B正确; 选项C中,a2-2a+3=(a-1)2+2,所以当a=1时,a2-2a+3取得最小值2,故C正确; 选项D中,因为≥,所以+≥2=2, 当且仅当=,即a2=-1时取等号,但此时显然不成立, 所以+的最小值不为2,故D错误.故选BC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. (多选题)[2026·重庆北碚区高一期中] 已知a,b均为正数,则下列 不等式中恒成立的是 ( ) A.≥1 B.a+b≥+ C.+≥ D.≥a2+b2 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 [解析] ∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号),a,b均为正数,ab>0, ∴≥1,故A正确; 当a=b=时,a+b=,+=1,此时a+b<+,故B错误; ∵a,b均为正数,∴(a+b)=2++≥2+2=4(当且仅当a=b时 取等号),又a+b>0,∴+≥,故C正确; 当a=2,b=1时,=,a2+b2=5,此时<a2+b2,故D错误.故选AC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知正数，满足，则 的最小值为__. [解析] 因为，为正数，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 10. (13分)(1)已知a,b是实数,证明a2+b2≥2ab,并说明等号成立的条件. 解:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab, 当且仅当(a-b)2=0,即a=b时,等号成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10. (13分) (2)不等式a2+b2≥2ab和均值不等式≤成立的条件 有什么不同? 解:不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,均值不等式≤中 要求a,b都是非负实数. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 11.已知，，且，则 的最大值为 ( ) A.36 B.4 C.16 D.9 [解析] 由题意得，,, , 所以，当且仅当 ， 即， 时取等号.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 12.（多选题）以下结论中正确的是( ) A. 的最小值为2 B.当,时， C.,的最大值为 D.当且仅当，均为正数时， 恒成立 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 对于A,当时，，故A错误； 对于B,当, 时, ,当且仅当 时取等号,故B正确； 对于C，, 当且仅当 时取等号，故的最大值为，故C正确； 对于D，当， 同号时，， 当且仅当时取等号，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 13. [2025·广西桂林高一期中] 若对于任意的x>0,不等式mx≤x2-2x+4恒 成立,则实数m的取值范围为　　　　.  (-∞,2] [解析] 对于任意的x>0,不等式mx≤x2-2x+4恒成立,即m≤x+-2恒成立. 当x>0时,x+-2≥2-2=2,当且仅当x=2时取等号,所以m≤2, 即实数m的取值范围为(-∞,2]. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 14.（15分）已知,，且 . （1）求 的取值范围; 解：因为,,且 ， 所以，当且仅当 时取等号， 可得，所以 ，故的取值范围是 . （2）求 的取值范围. 解：因为，当且仅当 时取等号， 所以 ，故的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 15.规定，为正实数.若，则 的值 为___，此时 的最小值为___． 1 3 [解析] 由题意得，即 ， 可得，则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 综上可得，， 的最小值为3. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 16.[2026·山东青岛高一期中] 已知x>0,y>0,2x+3y+6xy=,则2x+3y的 最小值为　　.  [解析] 由x>0,y>0,2x+3y+6xy=,得6xy=-(2x+3y), 又6xy=2x·3y≤,当且仅当2x=3y时,等号成立, 所以-(2x+3y)≤. 令t=2x+3y>0,则上式可化为t2+4t-5≥0,解得t≥1或t≤-5(舍去), 所以t≥1,即2x+3y≥1,所以2x+3y的最小值为1. 1 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 $