2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法，涵盖概念、因式分解法、配方法及分式不等式转化，通过课前预习诊断基础，课中探究分四个梯度展开，搭建从知识理解到综合应用的学习支架。 其特色在于以问题链驱动思维，如含参数不等式分类讨论培养逻辑推理，解集与方程关系强化数学语言表达。例4用韦达定理关联方程与不等式，助力学生提升数学思维，教师可依托分层习题实施精准教学。

2.2 不等式 1 2.2.3 一元二次不等式的解法 2 探究点一 不含参数的一元二次不等式的解法 探究点二 简单的分式不等式的解法 探究点三 求解含参数的一元二次不等式问题 探究点四 一元二次不等式与一元二次方程的关系 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式 的现实意义； 2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式； 3.会解简单的分式不等式. 4 知识点一 一元二次不等式的概念 一般地，形如________________的不等式称为一元二次不等式，其 中，，是常数，而且 .一元二次不等式中的不等号也可以是 “___”“___”“___”等. 课 前 预 习 5 知识点二 一元二次不等式的解法 1.因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果，则不等式 的解集是 ________，不等式 的解集是__________________. 课 前 预 习 6 2.配方法解一元二次不等式 （1） _________________； （2） ______________； 或 （3）若函数 ，则 _ ________________ _ ___________________ 或_ ______________; __________________ _ _________________________. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）是关于 的一元二次不等式.( ) × [解析] 当 时，该不等式不是一元二次不等式. （2）不等式是关于 的一元二次不等式.( ) × [解析] 因为的最高次数是1，所以不是关于 的一 元二次不等式. 课 前 预 习 8 （3）若，则一元二次不等式 无解.( ) × [解析] 当时，任意实数都能使不等式 成立， 所以不等式的解集是 . （4）不等式的解集为 .( ) √ [解析] 因为 ， 所以不等式的解集为 . 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 9 （5）所有的一元二次不等式都能应用配方法求解.( ) √ [解析] 易知正确. （6）不等式 ( ) × [解析] 或 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 10 知识点三 分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式. 设，均为含 的多项式 （1）;（2） ; （3）（4） 注意：当分式右侧不为0时，可通过移项、通分合并的手段将右侧变 为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 课 前 预 习 11 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） .( ) √ （2） .( ) × 课 前 预 习 12 探究点一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1（1）用因式分解法求下列不等式的解集. ① ； 解：因为 ， 所以原不等式等价于，解得或 ， 所以所求解集为 . ② . 解：原不等式等价于，即 ， 解得,所以所求解集为 . 课 中 探 究 13 （2）用配方法求解下列不等式的解集. ① ； 解：原不等式可化为 ,因为， 所以原不等式等价于 ，即， 解得 ，所以不等式的解集为 . 课 中 探 究 14 ② . 解： 原不等式可化为 ，因为 ,所以原不等式等价于 ， 显然恒成立，所以不等式的解集为 . （2）用配方法求解下列不等式的解集. 课 中 探 究 15 变式 求下列不等式的解集. （1） ； 解：因为 ， 所以原不等式等价于 ， 所以原不等式的解集为 . （2） . 解：原不等式可化为 ， 所以原不等式的解集为 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 解不含参数的一元二次不等式的方法： （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几 个代数式的乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号 方向得到不等式的解集. （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何 值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得. （3）若上述两种方法均不易解决，则应采用求一元二次不等式的解 集的通法，即判别式法. 课 中 探 究 17 探究点二 简单的分式不等式的解法 例2 求下列不等式的解集. （1） ； 解：不等式等价于解得或 . 故原不等式的解集为或 ． （2） . 解：由题意知,则，不等式 两边同时乘 ，整理可得且 ， 解得.故原不等式的解集为 . 课 中 探 究 18 变式（1） 不等式 的解集为___________________. [解析] 因为 ， 所以原不等式可化为，即， 解得或 ，所以不等式的解集为 . 课 中 探 究 19 （2）不等式≤0的解集为　　　　　　　　　　　　.  {x|0<x<1或1<x≤2或x≥3} [解析] ∵(x-1)2>0,∴原不等式等价于≤0且x≠1, ∴解得0<x<1或1<x≤2或x≥3, ∴原不等式的解集为{x|0<x<1或1<x≤2或x≥3}. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 求解分式不等式时，应首先判断分母的符号，然后考虑是否直接去 分母；若分母符号无法直接判断，则要移项后通分，最终都要转化 为整式不等式进行求解. 课 中 探 究 21 探究点三 求解含参数的一元二次不等式问题 例3 若关于的不等式在上恒成立，求实数 的 取值范围. 解：当时，原不等式可化为， 其解集不为 ，故不满足题意； 当时，要使原不等式的解集为 ， 只需解得 . 综上，实数的取值范围为 . 课 中 探 究 22 变式 ［2025·江苏扬州高一期中］ 已知非空集合 ，.若，则 的值为____. [解析] 由为非空集合可知 ， 故. 因为 ，所以,即， 且,是关于 的方程的两个不相等的实数根， 所以 且， 解得,或, （舍去），所以 . 课 中 探 究 23 ［素养小结］ （1）如果二次项系数含参，则要对其与0的大小关系进行比较，其 正负值决定了解集的形式是封闭型还是开放型的，常常也可以根据 解集的形式判断二次项系数的正负. （2）如果一次项系数或常数项含参数，要对两个根的大小或<m></m> 与0 的关系进行分类讨论. （3）明确一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系. 课 中 探 究 24 探究点四 一元二次不等式与一元二次方程的关系 例4 已知关于的不等式的解集为, . （1）求, 的值； 解：由题意知，一元二次方程的解为 ， ，由根与系数的关系得解得 课 中 探 究 25 （2）当时，求关于 的一元二次不等式 的解集. 解：由（1）知， ， 则原不等式可化为. 即 ，即 ， 因为，所以 . 例4 已知关于的不等式的解集为, . 课 中 探 究 26 当时，，解得或 ； 当时，不等式可化为，解得 ； 当时，，解得或 . 综上，当时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为 . 课 中 探 究 变式 （1） （多选题）已知不等式 的解集为 ，其中 ，则以下结论正确的有( ) A. B. C.的解集为 D.的解集为 √ √ 课 中 探 究 28 [解析] 因为不等式的解集为 ， 所以,是方程的两个根，且 ，故A正确； 由得,，因为， 所以 ，所以，故B错误； 不等式 可化为， 即 ，即， 因为，所以 ，所以该不等式的解集为 ，故C错误，D正确.故选 . 课 中 探 究 29 （2）若关于的不等式的解集是 ， 则关于的不等式 的解集是( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题意可得 ， 即，，则 ， 即， 解得 或， 即关于的不等式的解集是 .故选B. 课 中 探 究 30 ［素养小结］ （1）已知一元二次不等式的解集求另一个一元二次不等式的解集的 方法：将已知不等式的解集转化为一元二次方程的两根，从而由根 与系数的关系，找出系数<m></m>，<m></m>，<m></m>之间的关系，写出不等式的解集. （2）不等式在<m></m>上恒成立问题的解决方法: <m></m>在<m></m>上恒成立<m></m>或<m></m> <m></m>在<m></m>上恒成立<m></m>或<m></m> 课 中 探 究 31 1.不等式 的解集为( ) A.或 B.或 C. D. [解析] 不等式可以化为 ， 即，解得或 .故选A. √ 课 堂 评 价 32 2. 已知关于的不等式的解集为 ，则关 于的不等式 的解集为( ) A.或 B.或 C.或 D.或 [解析] 因为关于的不等式的解集为 ， 所以则， 则 ，则 ， 所以所求不等式的解集为或 .故选A. √ 课 堂 评 价 33 3.已知关于的不等式对任意 恒成立， 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 当时,不等式可化为 ,恒成立； 当时,要使关于的不等式 对任意 恒成立，只需 解得. 综上，的取值范围是 .故选A. √ 课 堂 评 价 34 4.不等式 的解集是________. [解析] 原不等式等价于且 , 解得,故原不等式的解集为 . 课 堂 评 价 35 课后习题 36 1.“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由，解得，由，解得 . 因为是的真子集， 所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 2.若集合，， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] ， ， 则，由题知，2，3，4， ， .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 3.已知当时，恒成立，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 [解析] 设的解集为，因为当时， 恒成立，所以. 由，可得 ，即. 当时，，可得 ； 当时，，不符合题意； 当 时，无解，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 4.［2026· 福建福州高一期末］已知关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有4个正整数，则 的取值范围 是( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，因为关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有4个正整数， 所以，所以不等式的解为，所以 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 ★5.已知关于的一元二次不等式的解集为 ， 则关于的不等式 的解集是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 关于的一元二次不等式 的解集为， ，且，3是一元二次方程 的两个实数根， ，，， 不等式可化为， 即 ，解得， 关于的不等式的解集为 . 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ［点睛］ 解决此类参数问题的思路：首先根据所给解集判断二次项 系数的符号，再由根与系数的关系求出， ，将所求不等式中的参 数消去，求不等式即可. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 6.若不等式对任意的 恒成立， 则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 当，即时， 不等式为 ，恒成立，满足题意； 当，即 时， 若不等式对任意的 恒成立， 则， 即 ，解得； 当，即 时，显然不满足题意. 综上所述，实数的取值范围是 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 7.（多选题）已知关于的不等式 的解集为 或 ，则( ) A. B.关于的不等式的解集为 C. D.关于的不等式的解集为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 因为关于的不等式的解集为 或，所以，故A选项正确； 由题知和4是关于 的方程的两根， 由根与系数的关系，得 则 所以 ，故C选项错误； 不等式即，解得 ，故B选项正确； 不等式，即， 即 ，解得或，故D选项正确．故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 8. [2026·陕西渭南高一期末] 若不等式x2-2ax+a2-1≥0对任意x∈[0,2]恒 成立,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  (-∞,-1]∪[3,+∞) [解析] x2-2ax+a2-1≥0,即(x-a)2≥1,解得x≤a-1或x≥a+1. 要使不等式x2-2ax+a2-1≥0对任意x∈[0,2]恒成立,则2≤a-1或a+1≤0, 解得a≥3或a≤-1,故a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 9.（13分）［2025·江苏淮安高一期中］ 解下列不等式. （1） ; 解：， 解得 ，所以不等式的解集为 . （2） ; 解：， 解得 ，所以不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 （3）≥2. 解：不等式可化为-2≥0,即≤0, 所以x(x+1)≤0且x+1≠0,解得-1<x≤0, 所以不等式的解集为{x|-1<x≤0}. 9.（13分）［2025·江苏淮安高一期中］ 解下列不等式. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 10.若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1>0的解集为∅,则m的取值范围为 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 当m=-1时,不等式为x-2>0,解得x>2,此时解集不为空集,不符合题意; 当m<-1时,若解集为空集,则Δ=m2-4(m+1)(m-1)≤0,解得m≤-; 当m>-1时,不等式的解集一定不为空集,不符合题意. 综上,m的取值范围为m≤-.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 11.(多选题)[2026·广东梅州高一期末] 设a为实数,则关于x的不等式 (ax-1)(x+2)>0的解集可能是 ( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)∪ C.∪(-2,+∞) D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 当a=0时,原不等式可化为-(x+2)>0,即x+2<0, 所以x<-2,此时不等式的解集为(-∞,-2). 当a≠0时,方程(ax-1)(x+2)=0的两个根为,-2. 当a>0时,>-2,此时不等式的解集为(-∞,-2)∪; 当-<a<0时,<-2,此时不等式的解集为; 当a=-时,=-2,此时不等式的解集为∅; 当a<-时,>-2,此时不等式的解集为.故选ABD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 12.已知是不等式的一个解，则 的 取值范围是_______________________. [解析] 由已知得， 即 ，解得或， 又，所以 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 13.不等式 的解集为___________________________. 或 [解析] 原不等式可化为 , 此不等式等价于或 解得 或 即或， 故原不等式的解集为 或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 14.（15分）已知关于的不等式 的解集为 . （1）求, 的值； 解： 关于的不等式的解集为， 和是关于的方程 的两个根， 根据根与系数的关系可知解得 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 （2）求关于的不等式 的解集. 解：由（1）可知, ， 即, . ①当，即时， 的解集为且 ; ②当，即时， 的解集为或 ; 14.（15分）已知关于的不等式 的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 ③当，即时， 的解集为或 . 综上,当时，原不等式的解集为且; 当 时,原不等式的解集为或; 当 时,原不等式的解集为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 15.已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数 的取值范围是______． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 由可得 当时， ，原不等式组无解，不符合题意； 当时， ，原不等式组的解集为 ，没有两个整数解，不符合题意； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当时， ，原不等式组的解集为 ，没有两个整数解，不符合题意； 当 时，，原不等式组的解集为 ，因为原不等式组的解集中恰好有两个整数解， 所以这两个整数解为0,1，所以解得. 综上所述，实数 的取值范围是. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分） 已知一元二次不等式的解集为， 关于 的不等式的解集为（其中 ）. （1）求集合 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 解：，即 . ①当时，解得 ；②当时，解得或 ； ③当时，解得 ；④当 时，不等式无解； ⑤当时，解得 . 综上所述，当时，；当 时， ；当时， ； 当时， ；当时， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 （2）是否存在实数，使得 ？若存在，求 的取值范围； 若不存在，请说明理由. 16.（15分） 已知一元二次不等式的解集为， 关于 的不等式的解集为（其中 ）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 解：由，得或， 所以 或 . 由（1）可知，当，，时，都满足 ， 当时，， 若 ，则 ，所以 . 综上，实数的取值范围是或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 $