2.1 等式 2.1.3 方程组的解集(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦方程组的解集，涵盖定义、分类及一次、二元二次方程组的解法与应用。课前通过诊断分析判断正误，衔接等式旧知，搭建学习支架，自然导入新课。 其亮点是课中探究采用多解法和“整体代换”策略，培养数学思维的运算与推理能力。结合《九章算术》问题，引导学生用数学眼光抽象数量关系，发展模型意识。助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

2.1 等式 1 2.1.3 方程组的解集 2 探究点一 一次方程组的解法 探究点二 二元二次方程组的解法 探究点三 一元方程组的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.会解二元一次方程组和三元一次方程组; 2.掌握二元二次方程组的解法. 4 知识点一 方程组解集的定义 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的 解集的______称为这个方程组的解集. 注意：①方程组的解集是集合，要用集合的表示方法来表示. ②方程组的解一定是方程组中每一个方程的解,但方程组中每一个方 程的解不一定是这个方程组的解，因此,要检验一组未知数的值是否 为一个方程组的解时，必须将这组未知数的值分别代入方程组中的 每一个方程进行检验.若满足每一个方程,则这组未知数的值就是这个 方程组的解;若只满足其中的一个方程,则这组未知数的值就不是这个 方程组的解. 交集 课 前 预 习 5 知识点二 方程组解集的分类 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含 有__________元素，解集为无限集.此时，如果将其中一些未知数看 成常数，那么其他未知数往往能用____________表示出来. 无穷多个 这些未知数 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程组的解集是 .( ) × （2）方程组的解集是 .( ) √ （3）三元一次方程组的解集是 .( ) × 课 前 预 习 7 （4）方程组的解集是， .( ) √ （5）方程组的解集是, ， }.( ) √ 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 8 探究点一 一次方程组的解法 ［探索］ 如何求解多元一次方程组？ 解：多元一次方程组的解法主要是应用加、减法进行减元运算. 课 中 探 究 9 例1（1）若关于，的方程组的解集为 ，则 ( ) A.4 B. C.6 D. [解析] 关于，的方程组的解集为 ， 解得 .故选D. √ 课 中 探 究 （2）已知，，且则 ____________. [解析] 两式相加得， 即 ，代入①式可得 ， 所以 . 课 中 探 究 11 变式（1）关于，的方程组 的解集，下列说法错误的 是( ) A.可能是空集 B.可能是无限集 C.可能是单元素集 D.可能是 [解析] 由得可得 ,即. 若，则 可取任意实数，此时解有无数个，故B中说法正确； 若,则, ，故C，D中说法正确； 解集不可能是空集，故A中说法错误.故选A. √ 课 中 探 究 12 （2）若关于, 的方程组与的解集相等， 则___， ____. 4 [解析] 因为方程组与 的解集相等， 所以的解集也是它们的解集. 由得 所以解得 课 中 探 究 13 ［素养小结］ （1）解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法. （2）解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑， 一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数. 课 中 探 究 14 探究点二 二元二次方程组的解法 例2 求下列方程组的解集： （1） 课 中 探 究 15 解： 方法一： 已知 由②得 , 将③代入①得, 整理得 ,解得，. 把代入③，得；把 代入③，得. 所以原方程组的解是或 所以方程组的解集为 . 课 中 探 究 方法二 ： 已知 由①得，即或 . 原方程组可转化为或 解得 或所以方程组的解集为 . 课 中 探 究 17 （2） 例2 求下列方程组的解集： 课 中 探 究 18 解：已知 由①得 ， 即，则或 . 由得或 由得或 所以原方程组的解集为，，， . 课 中 探 究 19 变式（1）若两相异实数，满足 则 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 [解析] 两式相减得， 因为 ，所以，所以，， 故， 是方程的两根，由根与系数的关系得 则 .故选D. √ 课 中 探 究 20 （2）某人在解方程组 时，采用了 “整体代换”的方 法：将方程②变形为，即 ， 将方程①代入③得，解得，将 代入①得 ，所以方程组的解为 请据此解决以下问题： （i）应用 “整体代换”法解方程组 课 中 探 究 21 解：由题知方程组为 将方程②变形为，即 ， 将方程①代入③得，解得, 将 代入①得，所以方程组的解为 课 中 探 究 22 （2）某人在解方程组 时，采用了 “整体代换”的方 法：将方程②变形为，即 ， 将方程①代入③得，解得，将 代入①得 ，所以方程组的解为 请据此解决以下问题： （ii）已知，满足方程组 求 的值. 课 中 探 究 23 解：由题知方程组为 由①得 ,即， 把③代入②得 ,解得， 将代入③得 , . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 求解高次、多元方程组,重点在“减元、降次”,不断的应用等式的性质, 最终获得只包含一元或一次的方程组,并进行求解. 课 中 探 究 25 探究点三 一元方程组的实际应用 例3 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题： “今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三两. 问金、银一枚各重几何？”意思是：现在有黄金9枚（每枚黄金重量 相同），白银11枚（每枚白银重量相同），称重量恰好相等，互相 交换1枚后，黄金多的部分轻了13两，问黄金、白银每枚各重多少两？ 设每枚黄金重两，每枚白银重 两，根据题意可列方程组为 _ _________________________. 课 中 探 究 26 [解析] 由题意得 课 中 探 究 27 变式 我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其 解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱）， 盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价 各几何？”请你回答本题中的人数是___，物价是____（钱）. 7 53 [解析] 设人数为，物价是（钱），则解得 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 列方程组解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目 中的相等关系，一般来说有几个未知量就必须列出几个方程.所列方 程需满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边所表示的数量要相等. 课 中 探 究 29 1.方程组的解有 ( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 [解析] ∵∴即方程组的解有2组.故选B. √ 课 堂 评 价 30 2.方程组 的解集是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 31 3.我国古代数学著作有如下问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一 托.折回索子来量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一 条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量 竿，就比竿短5尺.设绳索长尺，竿长 尺，则符合题意的方程组是 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 32 [解析] 绳索长尺，竿长尺，由绳索比竿长5尺可得 ； 由绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得 . 由此可得方程组 故选A. 课 堂 评 价 33 4.若，且，则 ____. 26 [解析] 由已知得由①得 ④，由②得 ，把④⑤代入③并化简，得，解得 . 课 堂 评 价 34 5.方程组 的解集是______________. [解析] 由②得 ， 代入①得，整理得 ， 即，解得或. 当时， ；当时，. 所以方程组的解集为 . 课 堂 评 价 35 课后习题 36 1.已知集合是关于,的方程组 的解集， 则 的值是( ) A.3 B.5 C. D. √ [解析] 将代入方程组，得解得 所以 故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 2.［2026·山东日照高一期中］关于，的方程组 的解 集为，则 ( ) A.1 B.5 C.6 D.7 [解析] 将,代入方程组得 则, ，所以 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 3.已知关于,的方程组和 有相同 的解，则 的值为( ) A.8 B. C. D. [解析] 由解得 代入方程组得解得 所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 4.我国明代程大位的《算法统宗》是一本流传很广的著作，书中许多 题目都用诗歌体叙述，读起来朗朗上口，下面这个问题便是其中有 名的一个：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千．四文钱买苦果七， 十一文钱九个甜，甜苦两果各几个?请君布算莫迟延!”则所买甜果的 个数为( ) A.343 B.345 C.567 D.657 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析] 设甜果、苦果的个数分别是，, 则 解得 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.方程组 的解集可表示为( ) A. B. C.,, } D.,, } √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 由得 ， 即，即，将代入得 ， 所以 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,则2a2-3ab的值是 ( ) A.14 B.2 C.-2 D.-4 [解析]∵|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0, ∴解得则2a2-3ab=2-6=-4.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 7.若方程组的解集为 ，则方程组 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得即 则方程组 的解集为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 8.已知关于，的方程组甲因看错了 ，求得解集为 ，则___，甲把 错看成了___. 1 8 [解析] 甲看错了， 满足方程②， 代入得,解得 . 再把代入方程①,得,解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 9.（13分）求下列方程组的解集. （1） 解：由得，即 ， 代入②得，所以原方程组的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 （2） 解：由得,即 , 由得,即，把， 代入①， 得，即.所以原方程组的解集为 . 9.（13分）求下列方程组的解集. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 （3） 解：由①得 , 将③代入②得,解得或 . 把代入③得;把代入③得 . 所以原方程组的解集是, . 9.（13分）求下列方程组的解集. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.下列关于方程组的解的说法中正确的是 ( ) A.该方程组一定有唯一解 B.该方程组没有解 C.当k=0时,方程组有无数解 D.当k≠0时,方程组有唯一解 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 由题意得,kx+1=2kx+3,即kx=-2. 当k=0时,0=-2不成立,方程组无解; 当k≠0时,x=-,方程组有唯一解.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 由题可知 则，则， 所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 12.（多选题）已知集合， ， 其中，，则整数 的值可能为( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 已知①，， 由 得，解得， 把 代入①得，解得， ，或 或，解得或0或， 当或0时，为整数， 的值为1或0.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 13.［2025·贵州遵义高一期中］已知 是方程组 的解，则方程组 的解是 _ ________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 将代入方程组 可得 将 代入方程组可得 所以方程组的解是 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）某商店欲购进A，B两种商品，若购进A种商品5件，B种商 品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元. （1）购进A，B两种商品每件各需多少元？ 解：设购进A种商品每件需元，B种商品每件需 元， 则由题意得解得 故购进A种商品每件需60元，B种商品每件需50元. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 （2）该商店购进足够多的A，B两种商品，在销售中发现，A种商品 售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80 元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，且该商店对A 种商品降价销售后每天销量超过200件 种商品销售状况良好，每天 可获利7000元.为使销售A，B两种商品每天总获利为10 000元，A种 商品每件应降价多少元？ 14.（15分）某商店欲购进A，B两种商品，若购进A种商品5件，B种商 品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 解：设A种商品每件降价 元， 则由题意得 化简得可得 ,故A种商品每件应降价10元. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.（多选题）已知方程组的解集为 , ，若 ，则( ) A.或 B.或 C.或 D.或 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 [解析] 由得 ， 代入方程可得 ， 则,解得或 ,故A正确； ， 当 时,,当时,,故B错误,C正确； 因为,所以 ， 当时,,当时， ,故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 16.（17分）已知关于，的方程组其中 . （1）当 时，求该方程组的解. 解：当时，消去得 ， 解得或 ，因此方程组的解为和 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 （2）证明：无论 为何值，该方程组总有两组不同的解. 证明：由消去整理得 ， 显然，且 ，故方程组总有两组不同的解. 16.（17分）已知关于，的方程组其中 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （3）记该方程组的两组不同的解分别为和 判断 是否为定值？若是定值，请求出该值；若不是定 值，请说明理由. 16.（17分）已知关于，的方程组其中 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 解：由根与系数的关系得， ， 所以 ， ， 所以， 所以 是定值，且定值为4. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 $