2.1.3 方程组的解集课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦“方程组的解集”，系统讲解二元一次、三元一次及二元二次方程组的解法，通过“鸡兔同笼”情境导入，从实际问题引导建立方程，过渡到方程组定义与解集概念，衔接方程知识与新知，构建学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，分题型精研析提升数学思维（运算能力），结合实际应用与《九章算术》文化渗透数学语言表达。例如“鸡兔同笼”引导发现数量关系，代入消元法步骤明确培养运算能力，助力学生提升解题与应用能力，为教师提供系统教学资源，便于实施有效教学。

2.1.3　方程组的解集 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 新课程标准解读 核心素养 1.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程 组 数学运算 2.能运用合适的方法求解二元二次方程组 数学运算 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在一个笼子里有若干只鸡和兔，从笼子上看有30个头，从笼子下 数有70只脚. 【问题】　这个笼子里共有多少只兔多少只鸡？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点　方程组的解集 1. 方程组 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 方程组的解集 方程组中，每个方程的解集的 ⁠称为这个方程组 的解集. 提醒　当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集 可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那 么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 交集　 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 方程组的解集是（　　） A. { x ＝0， y ＝1} B. {0，1} C. {（0，1）} D. { x ＝0或 y ＝1} 解析：　由 ∴方程组的解集为{（0，1）}.故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知则 x ∶ y ∶ z ＝（　　） A. （－1）∶13∶5 B. 1∶（－17）∶（－5） C. 1∶5∶13 D. 1∶17∶5 解析：　因为两式相加得5 x ＋ z ＝0，则 z ＝－ 5 x ，则 y ＝－13 x ，所以 x ∶ y ∶ z ＝ x ∶（－13 x ）∶（－5 x ）＝ 1∶（－13）∶（－5）＝（－1）∶13∶5.故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 若｜ x ＋ y －5｜＋（ x － y －9）2＝0，则 x ， y 的值分别为 ⁠. 解析：由题意知 ①＋②得2 x －14＝0，即 x ＝7， ①－②得2 y ＋4＝0，即 y ＝－2. 7，－2　 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求二元一次方程组的解集 角度1　用代入消元法求二元一次方程组的解集 【例1】　求方程组的解集. 解：法一　由②，得 y ＝4 x －5， ③ 把③代入①，得2 x ＋3（4 x －5）＝－1， 解这个一元一次方程，得 x ＝1， 把 x ＝1代入③，得 y ＝－1. 所以这个方程组的解集为{（ x ， y ）｜（1，－1）}. 目录 数学·必修第一册（B版） 法二　由①，得3 y ＝－2 x －1， 即 y ＝ ， ③ 把③代入②，得4 x － ＝5， 解这个一元一次方程，得 x ＝1， 把 x ＝1代入③，得 y ＝－1. 所以这个方程组的解集为{（ x ， y ）｜（1，－1）}. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 代入消元法解二元一次方程组的步骤 （1） 变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为 y ＝ ax ＋ b （或 x ＝ ay ＋ b ）（ a ， b 是常数， a ≠0）的形式 （2） 代入 把 y ＝ ax ＋ b （或 x ＝ ay ＋ b ）代入另一个没有变形的方程， 消去一个未知数，得到一个一元一次方程 （3） 求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 目录 数学·必修第一册（B版） （4） 回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程，求出另一个未知数 （5） 写解集 用集合表示为{（ x ， y ）｜（…，…）}的形式 目录 数学·必修第一册（B版） 角度2　用加减消元法求二元一次方程组的解集 【例2】　求下列方程组的解集： （1） 目录 数学·必修第一册（B版） 解：法一（加法消元）　①＋②，得6 x ＝12， 解得 x ＝2， 把 x ＝2代入②，得3×2＋7 y ＝13，解得 y ＝1. 所以方程组的解集为{（ x ， y ）｜（2，1）}. 法二（减法消元）　①－②，得－14 y ＝－14， 解得 y ＝1， 把 y ＝1代入①，得3 x －7×1＝－1，解得 x ＝2. 所以方程组的解集为{（ x ， y ）｜（2，1）}. 法三（加减法消元）　①＋②，得6 x ＝12，解得 x ＝2. ①－②，得－14 y ＝－14，解得 y ＝1. 所以方程组的解集为{（ x ， y ）｜（2，1）}. 目录 数学·必修第一册（B版） （2） 解：①×5－②×2，得7 y ＝21，解得 y ＝3， 把 y ＝3代入①，整理得2 x ＝4，解得 x ＝2. 所以方程组的解集为{（ x ， y ）｜（2，3）}. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 加减消元法解二元一次方程组的步骤 （1） 变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两 边都乘适当的数 （2） 加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程 相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 （3） 求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 目录 数学·必修第一册（B版） （4） 回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值 （5） 写解集 用集合表示为{（ x ， y ）｜（…，…）}的形式 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 设 A ＝{（ x ， y ）｜ y ＝－4 x ＋6}， B ＝{（ x ， y ）｜ y ＝5 x －3}， 则 A ∩ B ＝（　　） A. {（2，1）} B. （1，2） C. x ＝1， y ＝2 D. {（1，2）} 解析：　由题意得，集合 A 、 B 均为点集，所以，所求 A ∩ B 即求 两直线的交点即可， 因为解得交点为（1，2）.故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 若（3，－2）∈，则 a ＋ b 的值为 ⁠. 解析：∵（3，－2）∈， ∴两式相加可得： a ＋ b ＝－1. －1　 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 求三元一次方程组的解集 【例3】　求下列方程组的解集： （1） 目录 数学·必修第一册（B版） ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把 x ＝3， y ＝－1代入①，得3＋3×（－1）＋2 z ＝2，所以 z ＝1. 所以这个三元一次方程组的解集为{（ x ， y ， z ）｜（3，－1，1）}. 解：法一　①×2＋②，得5 x ＋8 y ＝7， ④ 目录 数学·必修第一册（B版） 法二　由③，得 y ＝2 x －7， ④ 把④代入①，整理得7 x ＋2 z ＝23， ⑤ 把④代入②，整理得7 x －4 z ＝17， ⑥ ⑤与⑥组成二元一次方程组 解这个方程组，得把 x ＝3代入④，得 y ＝－1. 所以这个三元一次方程组的解集为{（ x ， y ， z ）｜（3，－1，1）}. 目录 数学·必修第一册（B版） 解：法一　由①和②，得 x ∶ y ∶ z ＝3∶2∶5. 设 x ＝3 k ， y ＝2 k ， z ＝5 k （ k ≠0），并代入③， 得5 k ＋3 k ＋2 k ＝20， 解得 k ＝2.所以 x ＝3 k ＝6， y ＝2 k ＝4， z ＝5 k ＝10. 所以这个三元一次方程组的解集为{（ x ， y ， z ）｜（6，4，10）}. （2） 目录 数学·必修第一册（B版） 法二　由①，得 x ＝ y ， ④ 由②，得 z ＝ y . ⑤ 把④和⑤代入③，得 y ＋ y ＋ y ＝20，解得 y ＝4. 把 y ＝4分别代入④和⑤， 得 x ＝6， z ＝10.所以这个三元一次方程组的解集为{（ x ， y ， z ）｜ （6，4，10）}. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 解三元一次方程组的一般步骤 　　解三元一次方程组类似于解二元一次方程组，关键是消元转化.通 过加减消元或代入消元逐渐将三元一次方程组转化为一元一次方程求 解，然后再逐个代入求另外两个未知数.最后组成三元一次方程组的一 组解. 目录 数学·必修第一册（B版） 提醒　解特殊的三元一次方程组时，应具体问题具体分析，观察方程 组的特点及未知数系数之间的关系，灵活消元.对于一些特殊的方程 组，有特殊的解法，例如：若一个方程组由两个方程构成，其中一个 方程是 x ∶ y ∶ z ＝ a ∶ b ∶ c （ a ， b ， c 为常数，且都不为0），另一 个方程是关于 x ， y ， z 的三元一次方程，解这种方程组时，可引入 k （ k ≠0），用含 k 的式子表示 x ， y ， z ，再代入三元一次方程中，化 “三元”为“一元”，求出 k 的值，进而可求出 x ， y ， z 的值. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知｜ x － z ＋4｜＋｜ z －2 y ＋1｜＋｜ x ＋ y － z ＋1｜＝0，则 x ＋ y ＋ z ＝（　　） A. 9 B. 10 C. 5 D. 3 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　 由题意，得 ③－①，得 y ＝3. 把 y ＝3代入②，得 z ＝5. 把 z ＝5代入①，得 x ＝1.所以 x ＋ y ＋ z ＝1＋3＋5＝9.故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知方程组则代数式 x － y －5 z ＝ ⁠. 解析：对于方程组下式－上式得 x － y －5 z ＝9 －6＝3. 3 目录 数学·必修第一册（B版） 题型三 二元二次方程组的解集 【例4】　求下列方程组的解集： （1） 解：（1）由①得 y ＝8－ x ， ③ 把③代入②，整理得 x2－8 x ＋12＝0. 解得 x1＝2， x2＝6. 把 x1＝2代入③，得 y1＝6. 把 x2＝6代入③，得 y2＝2. 所以原方程组的解集为{（2，6），（6，2）}. 目录 数学·必修第一册（B版） （2） 目录 数学·必修第一册（B版） 解：由①得（ x －2 y ）2＋（ x －2 y ）－2＝0， 解得 x －2 y ＝1或 x －2 y ＝－2， 由 由 所以原方程组的解集为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 　　求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是 化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和 降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚 至一元一次方程. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 方程组的解集是（　　） A. （4，5） B. （5，－4） C. {（5，－4）} D. {（－4，5）} 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　由 的解集是{（－4，5）}，故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 若则 xyz ＝（　　） A. 2 D. 3 解析：　法一　由方程组 目录 数学·必修第一册（B版） ①÷②得 ＝ ， z ＝2 x ，代入③得 x ＝± ， z ＝± ， 再代入①得 y ＝± ，即原方程组的解为： 所以 xyz ＝± .故选C. 法二　①×②×③得（ xyz ）2＝6， ∴ xyz ＝± .故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型四 方程组的实际应用 【例5】　某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡 度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h.假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡 路的长度各是多少？ 目录 数学·必修第一册（B版） 解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是 x km， y km和 z km. 由题意得 解得 故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是 4 km. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 列方程组解应用题的一般步骤 （1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间 的等量关系； （2）设：恰当地设未知数； （3）列：依据题中的等量关系列出方程组； （4）解：解方程组，求出未知数的值； （5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义； （6）答：写出结论. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧 克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带 的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱 （　　） A. 8元 B. 16元 C. 24元 D. 32元 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　设方形巧克力每块 x 元，圆形巧克力每块 y 元，小明带了 a 元钱， 则两式相加得8 x ＋8 y ＝2 a ， ∴ x ＋ y ＝ a ， ∵5 x ＋3 y ＝ a －8，∴2 x ＋（3 x ＋3 y ）＝ a －8， ∴2 x ＋3× a ＝ a －8，∴2 x ＝ a －8，∴8 x ＝ a －32， 即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 　数学文化与方程组问题   ​ 7　 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：根据题意知，上、中、下禾实一秉分别为 x ， y ， z 斗，则有 解得 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ，则 y ＋ z ＝ ＋ ＝7. 目录 数学·必修第一册（B版） 【问题探究】 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246 个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就. 代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程 组，本例就是其中的第一个问题.《九章算术》给出了解这个问题的 “方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长 方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下： 目录 数学·必修第一册（B版） 其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第 一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似. 不难看出， “遍乘直除”的目的在于消元.按照我国著名数学史学家 李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗 明珠. 《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程 术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算 术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则. 目录 数学·必修第一册（B版） 另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是 给出了一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的数值求解步骤.而 且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开.这是意识到 了无理数的存在. 你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅 有关书籍或网络进行了解吧！ 目录 数学·必修第一册（B版） 【迁移应用】 《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算 法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的 盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种 解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位.高中 数学教科书中就引用了这样一道题“今有人共买羊，人出五，不足四 十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？“译文如下：“今有人 合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱，问合伙人数、 羊价各是多少？（　　） A. 21、105 B. 21、150 C. 24、165 D. 24、171 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，则 故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 方程组的解集为（　　） A. {（2，1）} B. ∅ C. {1，2} D. {（1，2）} 解析：　∵∴的解 集为{（1，2）}故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知集合 A ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x2}， B ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x }，则 集合 A ∩ B 中元素的个数为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析：　联立所以 A ∩ B ＝ {（0，0），（1，1）}.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 下列四个集合中为方程组的解集的是（　　） A. {（0，1，－2）} B. {（1，0，1）} C. {（0，－1，0）} D. {（1，－2，3）} 目录 数学·必修第一册（B版） ③－②得 x ＝1，将 x ＝1代入④得 y ＝－2， 将 x ＝1， y ＝－2代入②得 z ＝3. 所以方程组的解集为{（1，－2，3）}.故选D. 解析：　 ①＋②得3 x ＋ y ＝1， ④ 目录 数学·必修第一册（B版） 4. 设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是 和试写出符合要求的方程组 　（答 ⁠. 解析：由于这两组解都有： xy ＝2×3＝6， x － y ＝－1， 故可组成方程组为 （答 案不唯一）　 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ $