2.1 等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次方程，系统涵盖概念、解集、判别式及根与系数关系，通过课前预习（知识点梳理+诊断分析）铺垫基础，课中探究分四个梯度（判别式应用、解集求解、根与系数关系、参数求值）搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“诊断分析”正误判断培养数学眼光（抽象能力），“探究点”例题变式训练数学思维（推理与运算能力），“素养小结”提炼方法强化数学语言（模型意识）。如例4结合判别式求参数，体现严谨思维，助力学生夯实基础提升解题能力，为教师提供结构化资源便于分层教学。

2.1 等式 1 2.1.2 一元二次方程的解集及其 根与系数的关系 2 探究点一 一元二次方程判别式的应用 探究点二 一元二次方程的解集 探究点三 一元二次方程根与系数的关系 探究点四 利用根与系数的关系求字母的 值或范围 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集; 2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用; 3.理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解 决一元二次方程问题. 4 知识点一 一元二次方程的解集 通过配方法将一元二次方程 化为 _______，即 _______. 方程 的解集 _ ______________________ ___ 课 前 预 习 5 一般地，称为一元二次方程 根 的________.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的______ 决定. 注意：运用判别式解题时，特别注意一元二次方程 的隐含条件 . 判别式 系数 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程的解集的情况由 决定.( ) × [解析] 当时,方程解集的情况由 决定，故错误. （2）方程满足 .( ) × [解析] 当时， ，故错误. （3）方程的解集是 .( ) √ [解析] 因为，所以方程的解集是 ，故正确. （4）方程 一定有实数解. ( ) √ [解析] 因为 ，所以方程一定有实数解. 课 前 预 习 7 知识点二 一元二次方程根与系数的关系 1.对于二次项系数为1的一元二次方程 ，常用以下关 系：若，是此方程的两根，则， ，反过来 可得， ，前者是已知系数确定根的相关问题， 后者是已知两根确定方程中未知系数. 2.对于二次项系数不为1的一元二次方程，若， 是此方程的两根，则， ，反过来也成立，即 ， . 课 前 预 习 8 3.常用根与系数的关系解决以下问题： （1）不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根. （2）已知含参数的方程及方程的一个根，求另一个根及方程中的参数. （3）不解方程求关于根的式子的值. （4）判断两根的符号. （5）求作新方程. （6）由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合， 解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑， 这两 个前提条件. 课 前 预 习 9 给出下列几种变形： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ . 课 前 预 习 10 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程的解分别为，，则 .( ) × [解析] ,故错误. 课 前 预 习 11 （2）若一元二次方程满足, ,则 该方程有一个正实数根，一个负实数根，且负实数根的绝对值大于 正实数根的绝对值.( ) √ [解析] 因为 ，所以该方程有两个不等的实数根. 因为,所以 , 即该方程有一个正实数根，一个负实数根， 又因为,所以 ， 所以该方程的负实数根的绝对值大于正实数根的绝对值. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 12 （3）给定方程，若， ，则 ， 是该方程的根.( ) × [解析] 对于， ， 故该方程无解. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 13 探究点一 一元二次方程判别式的应用 例1（1）下列四个结论中正确的是( ) A.方程 有两个不相等的实数根 B.方程 有两个不相等的实数根 C.方程 有两个不相等的实数根 D.方程（其中为常数，且 ）有两个不相等的实数根 √ 课 中 探 究 14 [解析] 对于A，由，得，， 原方程有两个相等的实数根，故A错误； 对于B，由 ，得，， 原方程没有实数根，故B错误； 对于C，由，得，， 原方程有两个相等的实数根，故C错误； 对于D，由，得，， 原方程有两个不相等的实数根，故D正确.故选D. 课 中 探 究 15 （2）若关于的一元二次方程 有两个不相等 的实数根，则实数 的取值范围是_______________． [解析] 因为关于的一元二次方程 有两个不 相等的实数根，所以解得且 ，故 实数的取值范围为 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 一元二次方程的解的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有 两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系． 课 中 探 究 17 探究点二 一元二次方程的解集 ［探索］ 如何求一元二次方程,,为常数, 的解? 解：判断的符号. 若 ,则方程无解; 若 ,则方程有解,求解方法有: ①应用求根公式 求解; 课 中 探 究 18 ②配方法,由 , 得 ,然后进行开平方运算; ③因式分解法,由十字相乘法得 , 则原方程可化为,故方程的解为或 . 课 中 探 究 19 例2 求下列方程的解集. （1） ； 解：因为 ， 所以原方程有两个不相等的实数根. 由求根公式可得， ， 故该方程的解集为 . 课 中 探 究 20 （2） ； 解：设，则原方程为 ， 因为,且 ， 所以（舍去）或，即,解得或 ， 故该方程的解集为 . （3） . 解：原方程可化为， 解得 或，所以原方程的解集为, . 例2 求下列方程的解集. 课 中 探 究 21 变式 求下列方程的解集. （1） ； 解：原方程可化为 , , 由求根公式得, ，故该方程的解集为 . 课 中 探 究 22 （2） ； 解：设，则,原方程等价于 ， ， 由求根公式得, （舍去）, 则,故该方程的解集为 . 变式 求下列方程的解集. 课 中 探 究 （3）x2-4|x|-12=0. 解：x2-4|x|-12=|x|2-4|x|-12=|x|2-4|x|+4-16=(|x|-2)2-16=0, 可得|x|=6或|x|=-2(舍去),所以该方程的解集为{-6,6}. 变式 求下列方程的解集. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ （1）求一元二次方程的解集时要注意，当<m></m>时,可应用因式分解 法、配方法或求根公式法求出方程的解集. （2）若方程能够进行因式分解，则其必满足<m></m>，故此时可不用 判断<m></m>与0的大小关系，可直接根据因式写出解集. 课 中 探 究 25 探究点三 一元二次方程根与系数的关系 例3 (1)[2026·浙江嘉兴高一期中] 已知一元二次方程x2-mx+n=0的 两个实根为-2和3,则m+n=( ) A.7 B.-4 C.-5 D.-6 [解析] ∵-2和3是一元二次方程x2-mx+n=0的两个实根, ∴解得∴m+n=1-6=-5.故选C. √ 课 中 探 究 26 (2)已知一元二次方程x2-2x-1=0的两个根为x1,x2,则+的值为　　.  [解析]由根与系数的关系,得x1,x2满足x1+x2=-=2,x1x2==-1, 又+=(x1+x2)2-2x1x2,所以+=22-2×(-1)=4+2=6. 6 课 中 探 究 27 变式（1）［2025·河北邯郸高一期中］甲、乙两位同学解关于 的方 程，甲同学写错了常数，得到的根为 或 ，乙同学写错了常数，得到的根为或，则 的 值为( ) A.17 B.7 C. D. [解析] 由题意知，则，由题意知 ， 则,所以 .故选D. √ 课 中 探 究 28 （2）已知实数,满足条件, ， 则 ___. [解析] 实数,满足条件, , 且， 可把,看成是方程 的两个根， ,, . 课 中 探 究 29 ［素养小结］ 一元二次方程根与系数的关系的应用需满足根存在，常见的转化关 系有<m></m>， <m></m>，<m></m>， <m></m>. 课 中 探 究 30 探究点四 利用根与系数的关系求字母的值或范围 例4（1）［2025·江西赣州高一期中］若关于 的方程 的解为,，且 ，则实数 的值为( ) A. B. C.1 D.4 [解析] 因为关于的方程的解为, ， 所以,，因为 ， 所以，可得 .故选B. √ 课 中 探 究 31 （2）已知关于x的方程x2+2(p-1)x+p2-p=0的两个实根为x1,x2, 若+=12,则p= ( ) A.4 B.-1 C.-1或4 D.1 [解析]因为关于x的方程x2+2(p-1)x+p2-p=0的两个实根为x1,x2, 所以x1+x2=-2(p-1),x1x2=p2-p,则+=(x1+x2)2-2x1x2=4(p-1)2-2(p2-p)=12, 整理得p2-3p-4=0,解得p=-1或p=4, 又方程x2+2(p-1)x+p2-p=0有两个实数根,所以Δ=4(p-1)2-4(p2-p)≥0, 解得p≤1,所以p=-1.故选B. √ 课 中 探 究 32 变式 已知关于的方程 有两个不相等 的实数根. （1）求实数 的取值范围； 解：因为关于的方程 有两个不相等的 实数根,所以，即 ， 解得，故实数的取值范围为 . 课 中 探 究 33 （2）设方程的两个实数根为, ，且 ，求实数 的值. 解：由（1）知，由方程 的两个实数根为,，可得 ， 因为 ， 所以， 解得或 （舍去），所以实数 的值为1. 变式 已知关于的方程 有两个不相等 的实数根. 课 中 探 究 34 ［素养小结］ （1）利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注 意根与系数的关系应用的前提条件，即<m></m>. （2）利用根与系数关系<m></m>,<m></m>能够建立根与系数的 方程，进而求解有关参数问题. 课 中 探 究 35 1.用配方法解一元二次方程 时，方程变形正确的是 ( ) A. B. C. D. √ [解析] ，移项得 ， 两边都加上1得，即 .故选B. 课 堂 评 价 36 2.已知，是方程的两个根，则 的值为 ( ) A. B.2 C. D. [解析] 因为，是方程 的两个根， 所以，，所以 故选D. √ 课 堂 评 价 37 3.若关于的方程中 为实数，则该方程 ( ) A.没有实根 B.有两相等实根 C.有两不等实根 D.无法判断 [解析] 因为 ，所以该方程有两不等实根.故选C. √ 课 堂 评 价 38 4.［2026·浙江嘉兴高一期中］已知，若关于 的方程 有两个不相等的实数根，，则 的取值 范围是( ) A. B. C. D. [解析] 关于的方程 有两个不相等的实数根， 解得 ， .故选C. √ 课 堂 评 价 39 5.一元二次方程 有一个正根和一个负根的一 个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. [解析] 设方程的两个根分别为， ， 若一元二次方程 有一个正根和一个负根， 则解得 . 结合选项知，一元二次方程 有一个正根 和一个负根的一个充分不必要条件是 .故选C． √ 课 堂 评 价 40 课后习题 41 1. [2026·上海青浦区高一期中] “x2+4x-5=0”是“x=1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由x2+4x-5=0,得x=1或x=-5,不能推出x=1,充分性不成立; 若x=1,则x2+4x-5=0,必要性成立. 综上,“x2+4x-5=0”是“x=1”的必要不充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 2.已知关于的方程 的一个根为2，则另一个根是 ( ) A. B. C.3 D.6 [解析] 关于的方程的一个根为2， 设方程的另一个根为 ，可得，解得 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 3.若关于的方程的两根分别是,，则 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 √ [解析] 因为,是方程的两根，所以, ,所以 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 4. [2026·吉林长春高一月考] “-1<a<1”是“关于x的方程x2+(a+1)x+a-1=0 的两个实数根异号”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 由关于x的方程x2+(a+1)x+a-1=0的两个实数根异号, 可得解得a<1,又{a|-1<a<1}⫋{a|a<1}, 所以“-1<a<1”是“关于x的方程x2+(a+1)x+a-1=0的两个实数根异号”的 充分不必要条件.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 5. [2025·浙江嘉兴高一期中] 设m>0,若mx2-4x+2=0有两个不相等的 实数根x1,x2,则x1+x2的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] ∵关于x的方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根, ∴解得0<m<2,则x1+x2=∈(2,+∞).故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.［2025·贵州遵义高一期中］若,是一元二次方程 的两个实数根，且，则 的值为( ) A. B.3 C.2 D.1 [解析] 因为,是一元二次方程 的两个实数根， 所以，解得， 由根与系数的关系得 ，， 因为 ， 所以，解得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 7. [2026·辽宁沈阳高一期中] 已知x2+x-3=0,则x3-4x+2= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 √ [解析]由x2+x-3=0,得x2=3-x,则x3=x·x2=x(3-x)=-x2+3x=-(3-x)+3x=4x-3, 所以x3-4x+2=4x-3-4x+2=-1.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 8.（多选题）已知等腰三角形的三边长分别为,,3，且,是关于 的方程的两根，则 的值可能为( ) A.15 B.16 C.17 D.18 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 若3为等腰三角形的底边长，则，因为,是关于 的 方程的两根，所以，解得 ， 此时三角形的三边长分别为3，4，4，这样的三角形存在， 所以，解得. 若3为等腰三角形的腰长，则, 中有一个为3，不妨设， 因为,是关于 的方程的两根， 所以，所以 ， 此时三角形的三边长分别为3，3，5，这样的三角形存在， 所以，解得.综上，或.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 9.若关于x的二次三项式x2-kx-3因式分解为(x-1)(x+b),则k+b的值为　　. 1 [解析] 因为x2-kx-3=(x-1)(x+b)=x2+(b-1)x-b,所以b-1=-k,b=3,所以k=-2, 所以k+b=-2+3=1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 10.（13分）若,是方程 的两个根，试求下列 各式的值： 解：由题意得, . . （1） ； （2） ； 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 （3） ； 解： . （4） . 解： . 10.（13分）若,是方程 的两个根，试求下列 各式的值： 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 11.设实数,分别满足, 且 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 易知,由，得 , 因为,, 所以, 是方程的两个根, 所以,,所以 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 12. 若关于x的方程x2-(a+1)x+a=0的两个不等实根都在(0,2)内, 则实数a的取值范围为　　　　　　.  (0,1)∪(1,2) [解析] 由x2-(a+1)x+a=0可得(x-1)(x-a)=0,解得x=1或x=a, 由题意得故a的取值范围为(0,1)∪(1,2). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 13.已知,,,是关于的方程 的两个实根， ,是关于的方程的两个实根，则 ___. 3 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 [解析] 因为,,,是关于的方程 的两个实根， 所以由根与系数的关系得,， 因为, 是关于的方程 的两个实根， 所以,， 即 ，， 所以解得 经验证可得 所以所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 14.（15分）已知 ，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个 不等实根分别为和，且满足 （1）直接写出该一元二次方程； 解：因为 所以 ， 所以 ，所以这个一元二次方程为 ， 即，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 （2）若，求 的取值范围. 14.（15分）已知 ，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个 不等实根分别为和，且满足 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 解：由 ,可得 , 由,可得,则 , 对于方程 ,, 可得 ,所以,解得或 , 因此实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 15.［2025·辽宁大连高一期中］“实数 ”是“集合 中恰有一个元素”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 [解析] 方程等价于且， . 对于方程，当， 即时，解得 ，符合题意； 当，即时， 若其中一个根为 ，由根与系数的关系可知另一根为， 有 ，符合方程只有一个实数根； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若其中一个根为 ，由根与系数的关系可知另一根为， 有，符合方程 只有一个实数根. 所以“实数”是“集合 中恰有一个元 素”的充分不必要条件.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（17分）已知，是关于 的一元二次方程 的两个实数根. （1）若，求实数 的值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 解：因为，是关于的一元二次方程 的两个实数根，所以解得， 则 ， . 因为，所以，即 ， 即 ，即，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 （2）是否存在实数，使 成立？若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由. 16.（17分）已知，是关于 的一元二次方程 的两个实数根. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 解：由（1）知，，， 假设存在实数 ，使 成立， 则 成立， 解得，因为，所以不存在实数 ， 使 成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 （3）若，求整数 的值. 解：由（1）知，， ， 则 ， 因为，所以，又为整数， 所以 ，，，又，所以或或 . 16.（17分）已知，是关于 的一元二次方程 的两个实数根. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 $