2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次方程的定义、解集（配方法、公式法）及根与系数关系，通过《九章算术》“邑方问题”情境导入，复习初中解法后，以x²=t、(x-k)²=t为基础支架，逐步过渡到一般式的配方与求根公式推导。 其亮点在于融合数学文化与分层教学，用《九章算术》问题培养数学眼光，配方法推导公式发展逻辑推理（数学思维），韦达定理应用中的代数式变形训练数学语言。典型例题覆盖多种解法及含参问题，小结归纳方法与易错点，助力学生提升运算能力，为教师提供系统教学资源。

第二章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2.1等式 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程的定义（标准形式 a+bx+c=0，a≠0），能用配方法求一元二次方程的解集； 掌握一元二次方程的求根公式，并能熟练应用；理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能利用关系求关于两根的代数式的值。 结合《九章算术》等数学文化情境，感受数学的历史价值与实际应用； 培养数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养。 《九章算术》情境导入 同学们，我国古代数学名著《九章算术》第九章”勾股”中有一个经典问题—— “今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？” 译文：有一座正方形小城，城墙各边正中都开有一门。出北门走20步有一棵树，出南门走14步，再转向西走1775步，恰好能看见那棵树。求正方形小城的边长。 根据题中的描述可画出示意图如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB=20，CD=14，DE为多少？ 如果设正方形边长为 x 步，根据相似三角形关系可列出方程：+34x-71000=0 这个方程你会解吗？上节课我们用因式分解法求解，但这个方程并不容易因式分解，该怎么办呢？ 复习回顾 知识讲解 互动探究 新课引入 初中我们学过一元二次方程的解法有哪些？ （直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 问题：对于方程 -8x-20=0，除了因式分解，还有别的方法吗？ 能否通过配方，将其化为 的形式？ -8x-20=0⇒-8x=20⇒-8x+16=36⇒=36 今天我们就系统学习用配方法求一元二次方程的解集，并探究根与系数之间的深层关系。 4 目标一：=t的解集 最简一元二次方程 知识讲解 互动探究 新课引入 你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明. 不难知道，如果一个一元二次方程可以化为=t的形式，其中t为常数 那么这个方程的解集是容易获得的. 例如：方程=3的解集为{-, }，方程=0的解集为{0}，方程=-2的解集为⌀. 6 方程=t的解集 当t>0时，解集为{-}； 当t=0时，解集为{0}； 当t<0时，解集为⌀. 目标二：的解集 =𝒕 知识讲解 互动探究 新课引入 更进一步，形如(其中k, t是常数) 特例 它的一元二次方程的解集也容易得到. 例如：由 =2可知x-1=-或x-1=， 从而x=1-或x=1+， 因此解集为{1- 1+}. 9 方程的解集 t>0时，解集为{k-, k+}； 当t=0时，解集为{k}； 当t<0时，解集为⌀. 当因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为=t的形式， 就可得到方程的解集. 方程的解 集为 （ ） A. {-1,1} B. {-2,2} C. {0,2} D. {0,-2} 对点体验 解析 :移项,得=1,所以 x+1=±1,所以x=0或x=-2. 目标三：从一般式到 配方为 知识讲解 互动探究 新课引入 怎样将+2x+3=0化为的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集. 我们知道，利用配方法可得 +2x+3=+2x+1+2+2, 因此，+2x+3=0可以化为=-2，从而可知解集为⌀. 13 a+bx+c=0(a≠0)化为=t的形式 因为a≠0，所以a+bx+c=a(+ x)+c= =a[+ x+- ]+c =a-+c=a+ 因此， a+bx+c=0(a≠0)可以化为= 用配方法得方程 -2x+5=0 的解集 为________. 对点体验 解析 -2x+5=+4,由+4=0,得=-4,所以方程无实数解,方程的解集为⌀. 目标四：公式法 一元二次方程 a+bx+c=0 (a≠0) 的解集的几种情况: 判别式与根 的符号 方程的解集 一般地,Δ=-4ac 称为一元二次方程 a+bx+c=0 (a≠0)根的判别式. 由此可知,一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定. 求根公式 当 Δ≥0 时,方程 a+bx+c=0 (a≠0) 的实数根可写为 x的形式,这个式子称为一元二次方程 a+bx+c=0 (a≠0) 的求根公式. 用公式法求下列方程的解集: (1)-2x+3=0; (2)+9x-2=-+4x+10; (3)3+1=2 x; (4)x--6=0. 对点体验 解析 (1)由题意知,所以. 故方程的解集为. (2)原方程化为, 则, 所以 ,故方程有两个不相等的实数根, ,即,故方程的解集为. 用公式法求下列方程的解集: (1)-2x+3=0; (2)+9x-2=-+4x+10; (3)3+1=2 x; (4)x--6=0. 对点体验 (3)原方程化为 , 则 , 所以 , 故方程有两个相等的实数根, , 即 , 故方程的解集为 . (4)设 , 则 , 且原方程可变为 , 则 , 所以 , 故 有两个不相等的实数根, , 即 (舍), 从而 , 即 . 故原方程的解集为 . 目标五： 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程 a+bx+c=0 (a≠0) 的两根是 ，那么 +=-,=. 这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系. 根与系数的关系 重要推论 如果方程 +px+q=0 的两个根为 ，那么 =-p,=q. 以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 -( )x+=0. 已知方程 3-5x-7=0 的两个根为 ,则下 列各式中正确的是 （ ） A. ,B=-=-7 C. =,=- D. =-,=- 对点体验 解析 : 已知方程 的两个 根为 ,根据一元二次方程根与系数 的关系知 . 目标六： 典型例题 一般类型的一元二次方程解集的求解 例1 用适当的方法求下列方程的解集. ; (2) ; ; (4) . 典例分析 牛刀小试 思路点拨 ▶ 根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程. 解析 ▶ (1) 方法1▶(配方法) 移项,得 , 配方,得,由此可得, , 方程的解集为. 方法2(因式分解法) 原方程可化为 ,或, , 方程的解集为. 一般类型的一元二次方程解集的求解 例1 用适当的方法求下列方程的解集. ; (2) ; ; (4) . 典例分析 牛刀小试 思路点拨 ▶ 根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程. (2)方法1(配方法) 移项,得, 即, 配方,得, 由此可得,,, 方程的解集为. 一般类型的一元二次方程解集的求解 例1 用适当的方法求下列方程的解集. ; (2) ; ; (4) . 典例分析 牛刀小试 思路点拨 ▶ 根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程. 方法2(公式法) 方程的解集为. 一般类型的一元二次方程解集的求解 例1 用适当的方法求下列方程的解集. ; (2) ; ; (4) . 典例分析 牛刀小试 思路点拨 ▶ 根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程. (因式分解法) 原方程可化为 一般类型的一元二次方程解集的求解 例1 用适当的方法求下列方程的解集. ; (2) ; ; (4) . 典例分析 牛刀小试 思路点拨 ▶ 根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程. (公式法) 1、一般类型的一元二次方程解集的求解 例1 用适当的方法求下列方程的解集. ; (2) ; ; (4) . 典例分析 牛刀小试 思路点拨 ▶ 根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程. (公式法) 1、一般类型的一元二次方程解集的求解 例1 用适当的方法求下列方程的解集. ; (2) ; ; (4) . 典例分析 牛刀小试 思路点拨 ▶ 根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程. (公式法) 方程的解集为. 1、一般类型的一元二次方程解集的求解 例1 用适当的方法求下列方程的解集. ; (2) ; ; (4) . 典例分析 牛刀小试 思路点拨 ▶ 根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程. (配方法) 配方,得,由此可 得, 方程的解集为. 用公式法求一元二次方程解集的步骤 (1)把方程化为一般形式 , 确定的值(注意符号). (2)求出 的值. (3)根据求根公式求方程的解. (4)写出方程的解集. 2、含参类型的“一元二次”方程解集的求解 例2 求关于 的方程 的解集. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1) 当 时, 方程为 , 显然不成立, (当二次项系数含参时, 要对其是否为0进行讨论) 此时方程的解集为.. 当 时, 由 得 . ( 为非负数, 因此需对 的正负进行讨论) 当 , 即 时, 方程 无解, 即方程 的解集为. 当 , 即 或 时, 方程 的解为 , 所以方程 的解集为 . 2、含参类型的“一元二次”方程解集的求解 例2 求关于 的方程 的解集. 典例分析 牛刀小试 思路点拨 ▶ 两个关键点：二次项系数和判别式。 当,即时,,方程的解集为. 综上所述,当时,方程的解集为; 当或时,方程的解集为; 当时,方程的解集为. 3、判别式的应用 例4 对于任意实数 , 关于 的方程 的根的情况为（） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 所给的一元二次方程中,, ,所以 , 故此方程有两个不相等的实数根. 3、判别式的应用 例5 已知关于 的方程有实数根. 求 的取值范围; 典例分析 牛刀小试 解析 (1) 关于 的方程 有实数根,分两种情况讨论: ①当 , 即 时,原方程是一元一次方程,此时方程为 ,必有实数根; ②当 , 即 时,原方程是一元二次方程, 解得 且 .综上可知, 的取值范围是 . 4、根与系数关系应用 例6 已知集合 ,则 与 的值分别为 （ ） A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 根据方程根与系数的关系， 有 解得 答案 D 思路点拨 易知方程 的两根为 ，利用根与系数的关系即可求解，也可将 代入方程解方程组求解. 4、根与系数关系应用 例7 关于的方程有一根为3,则另一根为（ ） A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 方法1 设方程另一根为,根据根与系数的关系得到,解得. 方法2 把代入方程,得,解得. 原方程为,解得. 答案 ▶ A 方法1(利用根与系数的关系):若已知二次项系数 和一次项系数,利用 =-求出另一个根; 若已知二次项系数和常数项,利用 =求出另 一个根. 方法2(利用根的定义):先把已知的一个根代入一 元二次方程中,求出参数的值,再通过解一元二次 方程,求出另一个根. 4、根与系数关系应用 例8 已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值: (1) 典例分析 牛刀小试 由一元二次方程根与系数的关系，得 由上有   4、根与系数关系应用 例8 已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值： (2). 典例分析 牛刀小试 因为 所以  4、根与系数关系应用 例9 设 是方程 的两个实数根,则 的值是（ ） A. 5 B. C. 1 D.   典例分析 牛刀小试 由 是方程 的两个实数根, 可得 则 常见变形 利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形: 目标七： 针对训练 举一反三 1.设关于 的一元二次方程 有两个实根 ，则 A. B. C. D. 解析: 由题意知 ，故   举一反三 2.设是方程的两个实数根，则的值是() A.15 B.12 C.11 D.9 解析：由一元二次方程根与系数的关系可知，，则 .故选 C.   2.设是方程的两个实数根，则的值是() A.15 B.12 C.11 D.9 举一反三  3.若关于 的一元二次方程 有解，则实数 的取值为() A.正数 B.非负数 C.一切实数 D.零 解析：当 时，关于 的一元二次方程 有解.故选 B.   举一反三 4、若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为(C) A.2 B.4 C.5 D.   解析：，是方程的两个根，，， 则原式. 故选 C. 举一反三 4、若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为() A.2 B.4 C.5 D.   解析：，是方程的两个根，，， 则原式. 故选 C. 举一反三  5.关于 的一元二次方程 有两个不相等的正实数根，则实数 的取值范围是() A. B. C. D. 解析: 因为方程 有两个不相等的正实数根，所以 目标八：小结 学海拾贝 知识点 核心内容 一元二次方程定义 （ 为常数，） 解集（配方法/公式法） 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 根与系数的关系（韦达定理） 若两根为 ，则 ， 判别式应用 两不等实根； 两相等实根； 无实根 学海拾贝 2. 方法归纳 配方法：移项 → 二次项系数化为1 → 配方 → 直接开平方 公式法：确定 a,b,c → 计算 Δ → 代入求根公式 整体代入法：利用 x_1+x_2 和 x_1 x_2 整体求代数式的值，如： 学海拾贝 3. 易错警示 运用判别式时，不要漏掉 a≠0 这一隐含条件； 使用韦达定理时，必须保证 Δ≥0（即方程有实根）； 用公式法前，必须先将方程化为标准形式 a+bx+c=0。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $