第2章 2.1.3 方程组的解集（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦方程组的解集，涵盖一次（二元、三元）及二元二次方程组的解法与应用。以《张丘建算经》百鸡问题导入，衔接方程基础，通过消元、降次等方法构建从简单到复杂的学习支架。 其亮点在于用古代数学问题培养数学眼光，例题详解与反思感悟发展数学思维，实际应用案例强化数学语言表达。帮助学生提升运算与推理能力，教师可直接利用丰富例题和训练资源提升教学效率。

2.1.3 方程组的解集 第二章　 §2.1　等式 <<< 1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组. 2.掌握二元二次方程组的解法. 3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题. 学习目标 我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”如果设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y， z，且x，y，z为自然数，则当z=81时，我们如何 求x，y的值呢？这节课我们一起研究方程组的解集问题. 导 语 一、一次方程组的解集 二、二元二次方程组的解集 课时对点练 三、二元一次方程组的应用 随堂演练 内容索引 一次方程组的解集 一 提示　均适合，并且{(x，y)|x=8，y=11}为两方程解集的交集. 如果有一方程组为 那么适合方程①吗？适合方程②吗？ 问题1 提示　可以通过消元法求解.三元一次方程组也可以通过消元法求解. 如何求方程组的解集呢？三元一次方程 组呢？ 问题2 方程组的解集的概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的解集的 称为这个方程组的解集 方程组的解集的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是_______ 消元法 交集 知识梳理 (1)消元法包括加减消元法和代入消元法. (2)解多元方程组关键是“消元”，解高次方程组关键是“降次”. (3)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 注 意 点 <<< 9 求下列方程组的解集： (1)　 例 1 10 已知 由①得x=2y+1， ③ 把③代入②，得2y+1+3y=6， 解得y=1. 把y=1代入③得x=3， 所以原方程组的解为 所以原方程组的解集为{(3，1)}. 解 ① ② 11 (2) 12 已知方程组 ①+②，得5x-z=14. ①+③，得4x+3z=15. 解方程组 把x=3，z=1代入③，得y=8. 所以原方程组的解集为{(3，8，1)}. 解 ① ② ③ 13 (1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法. (2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数. 反 思 感 悟 14 求方程组的解集. 跟踪训练 1 15 已知方程组 ①-②×2，得5y-3z=8， ④ ③-②，得3y-3z=6， ⑤ 由④⑤组成二元一次方程组 解这个二元一次方程组，得 把y=1，z=-1代入②，得x=2，所以原方程组的解集为{(2，1，-1)}. 解 ① ② ③ 16 二 二元二次方程组的解集 (课本例1)求方程组的解集. 例 2 角度1　“二·一”型的二元二次方程组 将②代入①，整理得x2+x-2=0， 解得x=1或x=-2. 利用②可知，x=1时，y=2；x=-2时，y=-1. 所以原方程组的解集为{(1，2)，(-2，-1)}. 解 18 解方程组 例 2 19 已知方程组 方法一　由②得x=2y+5， ③ 将③代入①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4. 整理，得3y2+10y+7=0.解得y1=-y2=-1. 把y1=-代入③，得x1= 把y2=-1代入③，得x2=3. 所以原方程组的解是 解 ① ② 20 所以原方程组的解集为. 方法二　由①得(x+y)2=4， 即x+y=2或x+y=-2. 原方程组转化为 解得 所以原方程组的解集为. 解 21 这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”.如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解. 反 思 感 悟 22 解方程组 跟踪训练 2 23 已知 由方程②，得y=1-x， ③ 把方程③代入方程①，得x2+(1-x)2=1. 整理，得x2-x=0.解得x1=0，x2=1. 把x1=0代入方程③，得y1=1； 把x2=1代入方程③，得y2=0. 原方程组的解是 即其解集为{(0，1)，(1，0)}. 解 ① ② 24 (课本例2)求方程组的解集. 例 3 角度2　“二·二”型的二元二次方程组 由①-②，整理得x+2y-3=0. ③ 由③解得x=3-2y. 代入①，并整理，得5y2-12y+7=0，解得y=1或y=. 利用③可知，y=1时，x=1；y=时，x=. 因此，原方程组的解集为. 解 25 求方程组的解集. 例 3 26 已知方程组 由①得x2-y2-5(x+y)=0⇒(x+y)(x-y)-5(x+y)=0⇒(x+y)(x-y-5)=0， ∴x+y=0或x-y-5=0， ∴原方程组可化为两个方程组 解这两个方程组， 得原方程组的解集是{(-1，-6)，(6，1)，(-)，(-)}. 解 ① ② 27 解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”. (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组. (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组. 反 思 感 悟 28 解方程组 跟踪训练 3 29 方程组可化为 即为 或 解得 所以原方程组的解集为. 解 30 二元一次方程组的应用 三 某商场开展促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元. (1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ 例 4 32 设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得 所以打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元. 解 33 (2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少元？ 80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3 640(元). 所以打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元. 解 34 用二元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意和题目中的数量关系. (2)设元：用字母表示题目中的未知数. (3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组. (4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值. (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 反 思 感 悟 35 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载) 跟踪训练 4 车型 甲 乙 丙 汽车运载量(吨/辆) 5 8 10 汽车运费(元/辆) 400 500 600 (1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 36 设需甲车型x辆，乙车型y辆，得 所以需甲车型8辆，乙车型10辆. 解 37 (2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？ 车型 甲 乙 丙 汽车运载量(吨/辆) 5 8 10 汽车运费(元/辆) 400 500 600 38 设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得 消去z得5x+2y=40，x=8-y， 因为x，y是正整数，且不大于16，得y=5，10， 由z是正整数，解得 有两种运送方案： ①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆. 解 39 1.知识清单： (1)求一次方程组的解集. (2)求二元二次方程组的解集. (3)一次方程组的实际应用. 2.方法归纳：代入消元法、加减消元法. 3.常见误区：消元不恰当造成运算烦琐. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.方程组的解集是 A. B. C.{(3，-2)} D.{(-2，3)} √ 1 2 3 4 已知 由②-①，得3x=9，解得x=3，把x=3代入①，得3+y=1，解得y=-2， 所以原方程组的解为即其解集为{(3，-2)}. 解析 ① ② 1 2 3 4 2.三元一次方程组的解集为 A.{(-2，4，3)} B.{(1，3，2)} C.{(-1，4，3)} D.{(1，2，3)} √ 1 2 3 4 已知 由①+②得x-z=-2， ④ 由③和④组成一个二元一次方程组把x=1代入① 得1-y=-1，解得y=2，所以原方程组的解是即其解集为{(1，2，3)}. 解析 ① ② ③ 1 2 3 4 3.方程组的解集为　　　 　.  ∵∴-x2+3=x+1， ∴x2+x-2=0，∴(x+2)(x-1)=0， ∴x=1或x=-2，分别代入y=x+1可得 ∴方程组的解集为{(-2，-1)，(1，2)}. 解析 {(-2，-1)，(1，2)} 1 2 3 4 4.已知方程x+3y=5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成 的方程组的解为这个方程可以是　　　 　.  设所写出的二元一次方程为y=kx+b(k≠0). 把(4，1)代入y=kx+b，得1=4k+b， 令b=0，则k= ∴这个方程可以是y=x，即x-4y=0. 解析 x-4y=0(答案不唯一) 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B C A AC D {(1，-1，-2)} 题号 8 11 12 13 14 15 答案 {(2，0)，(0，-1)} A A B AB 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把代入二元一次方程组 得解得 所以原式===4. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题知方程组为 将方程②变形为9x-6y+2y=19， 即3(3x-2y)+2y=19， ③ 将方程①代入③得3×5+2y=19，解得y=2； 将y=2代入①得x=3， ∴方程组的解为 ① ② 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由题知方程组为 由①得3(x2+4y2)=47+2xy， 即x2+4y2= ③ 把方程③代入②得2×+xy=36， 解得xy=2，将xy=2代入③得x2+4y2=17， ∴x2+4y2+xy=17+2=19. ① ② 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将①代入②， 整理得k2x2+(2k-4)x+1=0， 当k≠0时，Δ=(2k-4)2-4×k2×1=-16(k-1). (1)当k=0时，y=2，则-4x+1=0，解得x= 方程组的解为当 即k=1时，原方程组有一组实数解， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将k=1代入原方程组得 解得 所以当k=0或k=1时，此方程组有一组实数解， 且此解为或 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当即k<1且k≠0时， 原方程组有两组不相等的实数解， 所以当k<1且k≠0时， 原方程组有两组不相等的实数解. (3)当时， 即当k>1时，方程组无实数解. 基础巩固 1.若方程组的解集是{(1，-1)}，则a，b为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将x=1，y=-1代入方程组，可解得a=1，b=0. 解析 2.求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应 选取 A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据系数特点，先消去y最简便. 解析 3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据组数×每组7人=总人数-3人，得方程7y=x-3； 根据组数×每组8人=总人数+5人，得方程8y=x+5. 列方程组为 解析 4.已知方程组有无数多个解，则a，b的值分别为 A.a=-3，b=-14 B.a=3，b=-7 C.a=-1，b=9 D.a=-3，b=14 √ 检验满足==的只有a=-3，b=-14. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)方程组的解集的子集有 A.{(3，5)，(-1，-3)} B.{(2，6)} C.{(-1，-3)} D.{2，6} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由①得y=2x-1，代入②得 3x2-2x-(2x-1)2=-4，整理得x2-2x-3=0， 解得 故方程组的解集为{(3，5)，(-1，-3)}. 解析 ① ② 6.若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，则k的取值为 A.3 B.-3 C.-4 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 代入y=kx-9得-1=2k-9，解得k=4. 解析 7.三元一次方程组的解集是　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {(1，-1，-2)} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知 由①+②，得2x+4y=-2，即x+2y=-1， ④ 由②×3+③，得3x+11y=-8， ⑤ ④⑤组成二元一次方程组得 解得把y=-1代入②中，得z=-2. 解析 ① ② ③ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故方程组的解是 解析 8.已知A={(x，y)|x2+4y2-4=0}，B={(x，y)|x-2y-2=0}，则A∩B= 　　　　　 　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {(2，0)，(0，-1)} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知 由②得x=2y+2， ③ 把③代入①，整理得8y2+8y=0， 即y(y+1)=0，解得y1=0，y2=-1， 把y1=0代入③，得x1=2， 把y2=-1代入③，得x2=0， 解析 ① ② 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以原方程组的解是 即其解集是{(2，0)，(0，-1)}. 即A∩B={(2，0)，(0，-1)}. 解析 9.已知是二元一次方程组的解，求的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把 得 所以原式===4. 解 10.善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”方法：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5③，将方程①代入③得2×3+y=5，∴y=-1，将y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题知方程组为 将方程②变形为9x-6y+2y=19， 即3(3x-2y)+2y=19， ③ 将方程①代入③得3×5+2y=19，解得y=2； 将y=2代入①得x=3，∴方程组的解为 解 ① ② (2)已知x，y满足方程组求整式x2+4y2+xy的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题知方程组为 由①得3(x2+4y2)=47+2xy， 即x2+4y2= ③ 把方程③代入②得2×+xy=36， 解得xy=2，将xy=2代入③得x2+4y2=17， ∴x2+4y2+xy=17+2=19. 解 ① ② 11.读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧.我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇.由此可推算，学生人数为 A.120 B.130 C.150 D.180 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设毛诗有x本，春秋有y本，周易有z本，学生人数为m， 则 解析 12.已知|x-z+4|+|z-2y+1|+|x+y-z+1|=0，则x+y+z等于 A.9 B.10 C.5 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得 ③-①，得y=3. 把y=3代入②，得z=5.把z=5代入①，得x=1. 所以x+y+z=1+3+5=9. 解析 ① ② ③ 13.学校举行足球联赛，共赛17轮(即每队均需参赛17场)，记分办法是：胜1场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有 A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场， 依题意得 把③代入①②，得 解得z=(k∈N+). 又因为z为正整数，所以当k=1时，z=7；当k=2时，z=5；当k=16时，z=1. 综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种. 解析 ① ② ③ 14.关于x，y的方程3kx+2y=6k-3，对于任意k的值都有相同的解，则方程 的解集为　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方程可化为k(3x-6)+2y+3=0， 由题意得 解析 15.(多选)已知关于x，y的方程组 给出下列结论，其中正确的是 A.是方程组的一组解 B.当k=时，x，y的值互为相反数 C.若方程组的解也是方程x+y=4-k的解，则k=-1 D.是方程组的解 拓广探究 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方程组 A项是方程组的一组解，故A正确； B项，当k=时，x=3k-2=-2=-y=1-k=1-=x，y的值互为相反数，故B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C项也是方程x+y=4-k的解， ∴x+y=3k-2+1-k=-1+2k=4-k，∴3k=5，k=故C错误； D项，由知D错误. 解析 16.当k为何值时，方程组 (1)有一组实数解，并求出此解； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ① ② 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将①代入②，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0， 当k≠0时，Δ=(2k-4)2-4×k2×1=-16(k-1). (1)当k=0时，y=2，则-4x+1=0， 解得x=方程组的解为 即k=1时，原方程组有一组实数解， 将k=1代入原方程组得 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当k=0或k=1时，此方程组有一组实数解，且此解为 解 (2)有两组不相等的实数解； 当 即k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解， 所以当k<1且k≠0时， 原方程组有两组不相等的实数解. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)没有实数解. 当时， 即当k>1时，方程组无实数解. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第二章　 §2.1　等式 <<< $