精品解析：陕西西安市周至县第六中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

周至六中2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题（卷） （试卷共150分，时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 方向相同的向量叫相等向量 B. 零向量是没有方向的向量 C. 共线向量不一定相等 D. 平行向量方向相同 【答案】C 【解析】 【分析】由相等向量、零向量、共线向量的概念逐项判断即可. 【详解】长度相等，方向相同的向量叫相等向量，A错； 零向量的方向是任意的，B错； 共线向量即方向相同或相反的向量，故不一定相等，C正确； 平行向量方向相同或相反，D错. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限． 故选：D 3. 如图，直角梯形的上、下两底分别为和，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出直角梯形的斜二测直观图，计算出直观图的面积，即可得解. 【详解】作出直角梯形的斜二测直观图如下图所示： 其中轴，且，，， 所以，梯形的高为， 因此，直观图的面积为. 故选：B. 4. 在中，若 ，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以， 故是等边三角形. 5. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，∥，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可. 【详解】对于A，如图当，，∥时，与相交，所以A错误， 对于B，如图，当，时，∥，所以B错误， 对于C，如图当，，时，∥，所以C错误， 对于D，设，在平面内作，因为，所以， 因为∥，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 6. 诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 【答案】C 【解析】 【分析】由极差、中位数、平均数和标准差的概念判断即可. 【详解】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分， 得到6个有效评分， 6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变， 而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化， 因此一定不变的数字特征是中位数. 故选：C. 7. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 8. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若则球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，所以，由球的表面积公式得，故选C． 【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列各式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 10. 连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件A与事件B独立 D. 事件A与事件C互斥 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，，事件与事件相互独立， 则，A正确； 选项B，为第二次向上点数为1或2或3或5，则，B正确； 选项C，事件与事件相互不影响，所以事件与事件相互独立，C正确； 选项D，“第一次向上点数为5”，则，即可以同时发生，不互斥，D错误. 11. 设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. 若，则的最大值为5 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】依题设，利用复数的四则运算可逐一判断A，B；对于C，由设，计算化简后，借助于和角公式与三角函数的值域即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合计算即得. 【详解】对于A，设，则， 而，当时必定不成立，故A错误； 对于B，设且，由 ， 可得，解得，即，故B正确； 对于C，因，可设， 则， 则， 故当 时，取得最大值9，故的最大值为3，即C错误； 对于D，由可知，点的集合构成以点为圆心，半径为1和的两同心圆所夹的圆环， 其面积为，故D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示，向量数量积的运算律求解作答. 【详解】因为，，因此，即，即， 所以. 故答案为： 13. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由圆锥侧面展开图求出圆锥底面半径，然后可得高． 【详解】设圆锥底面半径为，则，，又圆锥母线长为，∴高为． 故答案为：． 14. 在锐角三角形中，分别为角所对的边.若，，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦边角关系及三角形内角性质得，平方关系求，结合已知并应用余弦定理求即可. 【详解】由，则，且，故， 因为△为锐角三角形，所以，又，， 所以，则. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数z=m(m-1)+( m2+2m-3)i当实数m取什么值时，复数z是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i 【答案】⑴m=1⑵m=0⑶ m=2 【解析】 【分析】对于复数，（1）当且仅当时，复数；（2）当且仅当，时，复数是纯虚数；（3）当且仅当，时，复数． 【详解】（1）当且仅当 解得m=1， 即m=1时，复数z=0． （2）当且仅当解得m=0， 即m=0时，复数z=﹣3i为纯虚数． （3）当且仅当 解得m=2， 即m=2时，复数z=2+5i． 【点睛】本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键． 16. 已知的三个内角、、所对的边分别为、、，. （1）求的大小； （2）若，试判断的形状. 【答案】（1） （2）等边三角形 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，进而求得，从而判断出的形状. 【小问1详解】 因为，则，整理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. 【小问2详解】 因为，则， 由余弦定可得， 即，则， 所以，解得，故为等边三角形. 17. 一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. （1）当时，求考生填空题得分的概率； （2）若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法原理，将得分相关独立事件概率相乘，即. （2）先分别按概率乘法与加法原理算出，再由建立方程求解. 【小问1详解】 设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，， 考生填空题得20分的概率 【小问2详解】 由题意可得：， ， 由，得 18. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面，且 （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求该几何体的体积. 【答案】（1）已知，且，因此且， 又因为四边形是正方形，所以， 因为、， 且平面，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面， 又因为平面，根据面面平行的性质，因此平面 （2）证明：平面，， 平面，平面，，四边形是正方形， ，，，平面，平面 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，，再利用面面平行判定定理证平面平面，最后依据面面平行性质定理得出平面. （2）由平面，，可得平面，进而得到，结合，进而得证. （3）连接，将几何体分割成三棱锥和四棱锥，再利用棱锥体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，所以，AB是四棱锥的高，PD是三棱锥的高， 则， ，  . 19. 去年5月，中央开始鼓励“地摊经济”，随即地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名摊主了解他们每月的收入情况，并按收入单位：千元将摊主分成六个组，，，，，得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名摊主收入的中位数和平均数单位：千元； （2）已知从收入在的摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽出的2 人收入都来自的概率. 【答案】（1），中位数为26.875千元，平均数25.75千元 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为求得，根据由频率分布直方图求中位数、平均数的方法求得中位数和平均数. （2）利用古典概型概率计算方法，计算出所求概率. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可得：， 解得：； ，， 则中位数为千元， 平均数为：（千元）． 【小问2详解】 由分层抽样可知应抽取2人记为 ， 应抽取3人记为， 则从这5人中抽取2人的所有情况有： ， 共10种情况，记其中2人收入都来自为事件A ， 情况有共3种，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周至六中2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题（卷） （试卷共150分，时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 方向相同的向量叫相等向量 B. 零向量是没有方向的向量 C. 共线向量不一定相等 D. 平行向量方向相同 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，直角梯形的上、下两底分别为和，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若 ，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，∥，则 6. 诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 7. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若则球的表面积为 A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列各式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件A与事件B独立 D. 事件A与事件C互斥 11. 设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. 若，则的最大值为5 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则__________． 13. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为___________. 14. 在锐角三角形中，分别为角所对的边.若，，，则____. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数z=m(m-1)+( m2+2m-3)i当实数m取什么值时，复数z是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i 16. 已知的三个内角、、所对的边分别为、、，. （1）求的大小； （2）若，试判断的形状. 17. 一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. （1）当时，求考生填空题得分的概率； （2）若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 18. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面，且 （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求该几何体的体积. 19. 去年5月，中央开始鼓励“地摊经济”，随即地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名摊主了解他们每月的收入情况，并按收入单位：千元将摊主分成六个组，，，，，得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名摊主收入的中位数和平均数单位：千元； （2）已知从收入在的摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽出的2 人收入都来自的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $