6.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象与性质，通过细菌分裂的情境问题导入，衔接幂函数知识，为后续对数函数学习搭建支架，引导学生从具体实例中抽象出数学概念。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象与数学运算核心素养，以“想一想”问题深化底数取值范围等概念理解，典例研析分题型系统讲解图象应用、性质应用等，帮助学生形成逻辑思维，教师可借助此资料提升教学效率，学生能增强知识应用能力。

6.2　指数函数 第六章　幂函数、指数函数和对数函数 1 课标 要求 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概 念（数学抽象）. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并 理解指数函数的单调性与特殊点（直观想象、数学运算）. 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 　　某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次（1个分裂成2个）. 【问题】　（1）经过3小时，这种细菌由1个可分裂为几个？ （2）经过x小时，这种细菌由1个可分裂为几个？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　指数函数的概念 一般地，函数y＝ （a＞0，a≠1）叫作指数函数，它的定义域 是 ⁠. 提醒：指数函数的结构特征 ax　 R　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 　为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1？ 提示：①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0 时，ax无意义； ②如果a＜0，例如y＝（－4）x，这时对于x＝ ， ，…，该函数无意 义； ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 数学·必修第一册（SJ） 目录 a＞1 0＜a＜1 性 质 定义域： ⁠ 值域： ⁠ 图象过定点： ，图象在x轴的 ⁠ 在（－∞，＋∞）上是 函数； 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 在（－∞，＋∞）上是 ⁠函数； 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 R　 （0，＋∞）　 （0，1）　 上方　 增　 减　 提醒：（1）当0＜a＜1时，底数越小，图象在y轴的左侧越靠近y轴； （2）当a＞1时，底数越大，图象在y轴的右侧越靠近y轴. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）具有奇偶性吗？ 提示：指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）不具有奇偶性，因此它既不是奇函 数也不是偶函数. 2. 在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ 提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四 象限. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象与底数a有什么关系？ 提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”“降”.当a＞1 时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是 “下降”的. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 函数y＝2－x的图象是（　　） 解析：　y＝2－x＝（ ）x，此函数是指数函数，且为减函数.故选B. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 指数函数y＝ax中，a可以为负数 B. y＝2x＋1是指数函数 C. 已知函数f（x）＝3x，若m＞n，则f（m）＞f（n） D. 指数函数y＝ax与y＝（ ）x的图象关于y轴对称 解析： 　在A中，底数a为大于0且不等于1的常数，故A错误；在B中， y＝2x＋1不是指数函数，故B错误；在C中，函数f（x）＝3x为增函数，若 m＞n，则f（m）＞f（n），故C正确；易知D正确.故选C、D. √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 如果函数f（x）＝2a·3x是指数函数，则a＝ ⁠. 解析：根据题意，得2a＝1，解得a＝ . 4. 若函数f（x）是指数函数，且f（2）＝2，求f（x）的解析式. 解：设f（x）＝ax（a＞0，a≠1），∵f（2）＝2，∴a2＝2，∴a＝ ，即f（x）＝（ ）x. ​ 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 16 题型一　指数函数的概念 （1）下列函数中是指数函数的是（　　） A. y＝（－8）x B. y＝πx C. y＝3·2x D. y＝ax B 解析： 在A中，底数－8＜0，所以不是指数函数，故A错误；在B 中，y＝πx是指数函数，故B正确；在C中，y＝3·2x中指数式2x的系数是 3，所以不是指数函数，故C错误；在D中，只有规定a＞0且a≠1时，y＝ ax才是指数函数，故D错误.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若函数f（x）＝（ a－3）·ax是指数函数，则f（ ）＝（　　） A. 2 B. －2 C. －2 D. 2 D 解析：因为函数f（x）是指数函数，所以 所以a＝8， 所以f（x）＝8x，f（ ）＝ ＝2 . 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 1. 判断一个函数是指数函数的方法 （1）看形式：判断其解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构 特征； （2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特 征不具备，该函数就不是指数函数. 2. 求指数函数解析式的方法 一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件求出解 析式中的未知参数，从而得到函数的解析式. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 若函数y＝（k＋2）ax＋2－b（a＞0，且a≠1）是指数函数，则k ＝ ，b＝ ⁠. 解析：根据指数函数的定义，得 解得 2. 若指数函数f（x）的图象经过点（2，9），则f（－1）＝ ⁠. 解析：设f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），将点（2，9）代入，得a2＝9， 解得a＝3或a＝－3（舍去）.所以f（x）＝3x.所以f（－1）＝3－1＝ . ​ ​ 　 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　指数函数的图象及应用 （1）如图所示是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx 的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（　B　） B A. a＜b＜1＜c＜d B. b＜a＜1＜d＜c C. 1＜a＜b＜c＜d D. a＜b＜1＜d＜c 解析： 在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指 数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1，所以b＜a＜1＜d＜c. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1， 4），则m＋n＝（　C　） A. 3 B. 1 C. －1 D. －2 解析： 由函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1， 4），得m－1＝0，2－n＝4，解得m＝1，n＝－2，∴m＋n＝－1. C 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 1. 解决指数函数图象问题的注意点 （1）熟记当底数a＞1和0＜a＜1时，图象的大体形状； （2）在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 2. 解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象过定点（0，1），据此可解决形如 y＝k·ax＋c＋b（k≠0，a＞0，a≠1）的函数图象过定点的问题，即令 指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点（－c，k＋b）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx；②y＝nx的图象为（　　） √ 解析：　由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除 A、B；作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图 象，故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　由0＜a＜1得y＝ax＋b是减函数，函数恒过点（0，1＋b）， 因为b＜－1，所以点（0，1＋b）在y轴负半轴上.故图象不经过第一象 限. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　指数函数的性质及应用 角度1　指数式的大小比较 （链接教科书第144页例1）比较下列各组数中两个数的大小： （1）2.42.5，2.43.2； 解： 因为函数y＝2.4x在R上是增函数，又2.5＜3.2， 所以2.42.5＜2.43.2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 解： 因为函数y＝（ ）x在R上是减函数，又－ ＞－ ，所以（ ＜（ . （2）（ ，（ ； （3）1.80.3，0.51.2. 解： 由指数函数的性质知1.80.3＞1.80＝1，而0.51.2＜0.50＝1， 所以1.80.3＞0.51.2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 比较指数式大小的2种类型及处理方法 数学·必修第一册（SJ） 目录 角度2　求解指数不等式 （链接教科书第145页例2）（1）已知7x≥（ ，求实数x的取值 范围； 解： 因为（ ＝ ， 所以由7x≥（ 可得7x≥ ， 因为y＝7x为增函数，故x≥ . 所以实数x的取值范围为区间［ ，＋∞）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）已知0. ＜52x＋2，求实数x的取值范围. 解：由0. ＜52x＋2得，（5－1 ＜52x＋2，即 ＜52x＋2， 因为函数y＝5x在R上是增函数，所以x2－1＜2x＋2， 即x2－2x－3＜0， 解得－1＜x＜3， 所以实数x的取值范围为区间（－1，3）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 解指数不等式的方法 （1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相 同的指数式； （2）解不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，a≠1）的依据是指数型函数的单调 性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨 论，即af（x）＞ag（x）⇒f（x）＞g（x）（a＞1）或f（x）＜g（x）（0 ＜a＜1）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. （2026·无锡期中）若a＝1.60.3，b＝1.62.1，c＝0.72.1，则（　　） A. a＞b＞c B. c＞a＞b C. b＞c＞a D. b＞a＞c 解析：　因为函数y＝1.6x在R上单调递增，且2.1＞0.3＞0，所以1.62.1 ＞1.60.3＞1.60＝1，即b＞a＞1；又因为函数y＝0.7x在R上单调递减，且 2.1＞0，所以0.72.1＜0.70＝1，即c＜1.故b＞a＞c.故选D. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 若a－5x＞ （a＞0且a≠1），求x的取值范围. 解：（1）当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ 可得－ 5x＜x＋7，解得x＞－ ； （2）当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ 可得－5x＞x＋ 7，解得x＜－ . 综上，当0＜a＜1时，x的取值范围为（－ ，＋∞）； 当a＞1时，x的取值范围为（－∞，－ ）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列函数中是指数函数的是（　　） A. y＝（ ）x－1 B. y＝ax（a＞0，且a≠1） C. y＝1x D. y＝（ ）2x－1 解析：　由指数函数的定义可判定，只有B选项中的函数是指数函数.故 选B. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为（　　） A. m＞n B. m＜n C. m＝n D. 不能确定 解析：因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜n. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 〔多选〕（2026·苏州月考）若函数f（x）＝（a－3）·ax（a＞0， 且a≠1）是指数函数，则下列说法正确的是（　　） A. a＝3 B. a＝4 C. f（ ）＝2 D. f（0）＝－3 解析： 　因为函数f（x）是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝4，所 以f（x）＝4x，所以f（0）＝1，f（ ）＝ ＝2.故选B、C. √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知函数f（x）＝ ＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点 P的坐标为 ⁠. 解析：因为y＝ax的图象过定点（0，1），所以令x－1＝0，即x＝1时，f （1）＝1＋2＝3，所以函数图象恒过定点（1，3）. （1，3） 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 38 1. （2026·苏州期中）若函数f ＝ 为指数函数，则实数k的 取值范围是（　　） A. ∪ B. （0， ）∪（ ，＋∞） C. ∪（0， ） D. （－∞，－ ）∪（0， ） 解析：　依题意得2k＋1＞0且2k＋1≠1，解得k∈（－ ，0） ∪ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为（　　） A. m＞n B. m＜n C. m＝n D. 不能确定 解析：　因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜ n.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 已知两个指数函数y＝ax，y＝bx的部分图象如图所示，则（　　） A. 0＜b＜a＜1 B. 0＜a＜b＜1 C. a＞b＞1 D. b＞a＞1 解析：　由题图可知函数y＝ax，y＝bx均单调递增，则a＞1，b＞1.当 x＝－1时，a－1＝ ＞b－1＝ ，得a＜b，所以b＞a＞1.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 函数f（x）＝ax与g（x）＝－x＋a的图象大致是（　　） 解析：　当a＞1时，函数f（x）＝ax为增函数，当x＝0时，g（0）＝ a＞1，此时两函数的图象大致为选项A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. （2026·扬州新华中学期中）已知a＝20.3，b＝40.1，c＝ ， 则a，b，c的大小关系是（　　） A. c＞a＞b B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. a＞b＞c 解析：　由b＝40.1＝ ＝20.2，又y＝2x在R上单调递增，又0.3＞ 0.2＞0，所以20.3＞20.2＞20＝1，即a＞b＞1；又y＝ 在R上单调递 减，0.3＞0，c＝ ＜ ＝1，所以a＞b＞1＞c.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则下列等式中正 确的是（　　） A. f（x＋y）＝f（x）f（y） B. f（x－y）＝ C. f（ ）＝f（x）－f（y） D. f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　f（x＋y）＝ ＝axay＝f（x）·f（y），故A中的等 式正确；f（x－y）＝ ＝ax ＝ ＝ ，故B中的等式正确； f（ ）＝ ＝（ax ，f（x）－f（y）＝ax－ay≠（ax ，故C中的 等式错误；f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故D中的等式正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 已知函数f（x）为指数函数，且f ＝ ，则f（－2）＝ 　​ 　. 解析：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），由f ＝ 得， ＝ ，所 以a＝3，又f（－2）＝a－2，所以f（－2）＝3－2＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 若函数y＝（ ）x在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋ n＝ ⁠. 解析：由指数函数y＝（ ）x的图象可知函数在x＝－1处取最小值2，在x ＝－2处取最大值4.所以m＋n＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在[－1，1]上恒有f（x）＜ 2，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：当a＞1时，f（x）在[－1，1]上单调递增.因为函数f（x）在[－ 1，1]上恒有f（x）＜2，所以f（1）＜2，所以a＜2，所以1＜a＜2.当0 ＜a＜1时，f（x）在[－1，1]上单调递减.因为函数f（x）在[－1，1]上 恒有f（x）＜2，所以f（－1）＜2，所以 ＜2，即a＞ ，所以 ＜a＜1. 综上所述，实数a的取值范围是（ ，1）∪（1，2）. （ ，1）∪（1，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 已知函数f（x）＝（a2＋a－5）ax是指数函数. （1）求f（x）的表达式； 解： 由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1， 可得a＝2或a＝－3（舍去），所以f（x）＝2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）判断F（x）＝ 的奇偶性，并加以证明. 解： F（x）＝ 是奇函数. 证明如下：F（x）的定义域是R，关于原点对称，且F（x）＝f（x）－ ＝2x－ ＝2x－2－x， 又因F（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－F（x）， 所以F（x）是奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. （2026·无锡期中）已知f 是R上的奇函数，当x≥0时，f ＝2x ＋4x－1，则不等式f ＋5＜0的解集是（　　） A. B. C. D. 解析：　由于y＝2x，y＝4x－1均为 上的单调递增函数，故 f 在 上单调递增，由于f 是R上的奇函数，故f 在R上单 调递增，又f ＝5，故f ＝－5，由f ＋5＜0得f（x＋1）＜－ 5，等价于f ＜f ，所以x＋1＜－1，解得x＜－2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为 （　　） A. a＝b＝0 B. 0＜b＜a C. a＜b＜0 D. 0＜a＜b √ √ √ 解析： 　由题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x 和y＝6x的图象，如图所示.由图象知，当a＝b＝0时，3a ＝6b＝1，所以选项A正确；作出直线y＝k，当k＞1时，若 3a＝6b＝k，则0＜b＜a，所以选项B正确；当0＜k＜1 时，若3a＝6b＝k，则a＜b＜0，所以选项C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 不等式（ ≤2x的解集为 ⁠. 解析：因为（ ＝（ ＝ ，所以原不等式等价于 ≤2x.因为y＝2x是R上的增函数，所以－x2＋2≤x，所以x2＋x－ 2≥0，即x≤－2或x≥1，所以原不等式的解集是{x｜x≥1或x≤－2}. {x｜x≥1或x≤－2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 设f（x）＝3x，g（x）＝（ ）x. （1）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象； 解： 函数f（x），g（x）的图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）计算f（1）与g（－1），f（π）与g（－π），f（m）与g（－m） 的值，从中你能得到什么结论？ 解： f（1）＝31＝3，g（－1）＝（ ）－1＝3， f（π）＝3π，g（－π）＝（ ）－π＝3π， f（m）＝3m，g（－m）＝（ ）－m＝3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相 等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $