5.3 第2课时 函数的最值-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数最值的定义及求法，通过沙漠气温变化曲线情境导入，结合函数单调性基础，引导学生从实际问题抽象出最值概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过含参数二次函数分类讨论发展数学思维，用表格定义和分段函数表达强化数学语言。典例研析总结通性通法，帮助学生掌握图象法、单调性法等求最值技巧，教师可利用分层作业提升教学效率。

5.3　函数的单调性 第2课时　函数的最值 第五章　函数概念与性质 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 3 　　科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候 进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线. 【问题】　（1）该天的最高气温和最低气温分别是多少？ （2）设该天某时刻的气温为f（x），则f（x）在哪个范围内变化？ （3）从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点　函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设y＝f（x）的定义域为A. 如果存在x0∈A，使得对 于任意的x∈A，都有 f（x） f（x0） f（x） f（x0） 结论 那么称f（x0）为y＝f（x） 的最大值，记为ymax＝f （x0） 那么称f（x0）为y＝f（x）的最 小值，记为ymin＝f（x0） 几何 意义 f（x）图象上最高点的 ⁠ ⁠ f（x）图象上最低点的 ⁠ ≤　 ≥　 纵 坐标　 纵坐标 数学·必修第一册（SJ） 目录 提醒：（1）并不是所有的函数都有最大（小）值，比如y＝x，x∈R； （2）一个函数至多有一个最大（小）值；（3）研究函数最值需先研究函 数的定义域和单调性；（4）对于定义域内的任意x都满足f（x）≤M（f （x）≥M）成立，那么M不一定是函数f（x）的最大（小）值，只有定 义域内存在一点x0，使f（x0）＝M时，M才是函数的最大（小）值，否 则不是.比如f（x）＝－x2≤3成立，但3不是f（x）的最大值，0才是它的 最大值. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 函数y＝f（x）（－2≤x≤2）的图象如图所示，则函数的最大值、最 小值分别为（　　） A. f（2），f（－2） B. f（ ），f（－1） C. f（ ），f（－ ） D. f（ ），f（0） √ 解析： 　根据函数最值的定义，结合函数图象可知，当x＝－ 时，有最 小值f（－ ）；当x＝ 时，有最大值f（ ）.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 如果函数的值域是确定的，则它一定有最值 B. 如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素 C. 函数的最大值一定比最小值大 D. 如果函数有最值，则至多有一个最大（小）值 √ √ √ 解析： 　A中，值域确定，但不一定有最值，故A错误；B中，由最值 的定义知B正确；C中，由最值的定义知C正确；D中，函数至多有一个最 大（小）值，故D正确.故选B、C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ， ⁠. 解析：由函数图象知，当x＝－2时，f（x）有最小值 －1，当x＝1时，f（x）有最大值2. －1 2　 4. 求函数y＝ 在[2，3]上的最大值. 解：∵y＝ 在[2，3]上单调递减，∴ymax＝ ＝1. 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 10 题型一　利用函数的图象求最值 （链接教科书第119页例3）函数y＝f（x），x∈[－2，5]的图象如 图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（　　） A. －2，f（2） B. 2，f（2） C. －2，f（5） D. 2，f（5） √ 解析： 由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有 最大值f（5）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 用图象法求最值的3个步骤 数学·必修第一册（SJ） 目录 　已知函数f（x）＝ 求f（x）的最大值、最小值. 解：作出函数f（x）的图象，如图. 由图象可知，当x＝±1时，f（x）取最大值为f（1）＝f （－1）＝1. 当x＝0时，f（x）取最小值为f（0）＝0， 故f（x）的最大值为1，最小值为0. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　含参数的二次函数的最值 （链接教科书第120页例4（1））已知函数f（x）＝x2－ax. （1）当a＝2时，求f（x）的最小值； 解： 当a＝2时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，且当x＝1 时，f（1）＝－1. 所以函数在x＝1时取得最小值－1，即f（x）min＝f（1）＝－1. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）当a＝2时，求f（x）在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值g （t）； 解：当a＝2时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，其图象的对称轴为x ＝1. ①当t≥1时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，所以f（x）min＝f（t）＝ t2－2t； ②当t＋1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t＋1]上单调递减，所以f（x）min ＝f（t＋1）＝t2－1； 数学·必修第一册（SJ） 目录 ③当t＜1＜t＋1，即0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]上单调递减，在 [1，t＋1]上单调递增， 所以f（x）min＝f（1）＝－1. 综上，g（t）＝ 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）求f（x）在[0，1]上的最大值h（a）. 解：因为函数f（x）＝x2－ax的图象开口向上，其对称轴为x＝ ， 所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值， 当 ≤ ，即a≤1时，f（x）max＝f（1）＝1－a； 当 ＞ ，即a＞1时，f（x）max＝f（0）＝0. 综上，h（a）＝ 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 1. 含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题： （1）将二次函数化为y＝a（x＋h）2＋k的形式； （2）根据a的符号确定抛物线的开口方向； （3）由对称轴x＝－h得出顶点的位置； （4）根据所给定区间结合二次函数大致图象确定最大或最小值. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 含参数的二次函数的最值问题有如下几种类型 （1）区间固定，对称轴变动（含参数），求最值； （2）对称轴固定，区间变动（含参数），求最值； （3）区间变动，对称轴变动，求最值. 通常是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 数学·必修第一册（SJ） 目录 　已知函数f（x）＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是（　　） A. （－∞，－1） B. （－1，2] C. [－1，2] D. [2，5） √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　由于f（x）＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4， 所以当x＝2时，f （x）取得最大值f（2）＝4，当x＝5时，f（5）＝－5.由f（x）＝－x2 ＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，所以当－1≤x≤5时，函数的值域为[－ 5，4]，且f（－1）＝f（5）＝－5，f（2）＝4，因为二次函数f（x）＝ －x2＋4x的图象开口向下，所以要使函数在[m，5]上的值域为[－5，4]， 只需－1≤m≤2.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　利用函数的单调性求最值 （链接教科书第120页例4（2））求下列函数的最小值： （1）y＝ ，x∈[1，2]； 解： 因为函数y＝ 在x∈[1，2]上单调递减，所以其最小值在x＝2 时取得，即ymin＝ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）y＝2x＋ . 解： 函数y＝2x＋ 的定义域为[1，＋∞）， 因为函数y＝2x与y＝ 在[1，＋∞）上均单调递增， 故y＝2x＋ 在[1，＋∞）上是增函数， 所以当x＝1时取得最小值2＋ ＝2，即ymin＝2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 函数最值与单调性的关系 （1）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上单调递增，在区间（b，c） 上单调递减，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最大值f （b）； （2）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上单调递减，在区间（b，c） 上单调递增，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最小值f （b）； （3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），则在区间 [a，b]的左、右端点处分别取得最小（大）值、最大（小）值. 数学·必修第一册（SJ） 目录 　函数f（x）＝ 在区间[2，6]上的最大值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. √ 解析： 　因为f（x）＝ ＝ ＝1＋ ，所以f（x）＝ 在 区间[2，6]上单调递减，所以f（x）在[2，6]上的最大值为f（2）＝3.故 选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. （2026·扬州月考）已知函数f（x）＝ 的定义域是A，则函 数g（x）＝x2＋x（x∈A）的最大值是（　　） A. 0 B. 1 C. 4 D. 6 √ 解析： 　由－x2＋2x≥0，解得0≤x≤2，所以A＝[0，2]，函数g（x） ＝x2＋x的对称轴为直线x＝－ ，所以g（x）在[0，2]上单调递增，故g （x）max＝g（2）＝6.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2kx－8在区间（5，10）上既没有最大 值也没有最小值，则实数k的取值可能是（　　） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 √ √ √ 解析： 　由题意得，函数f（x）＝x2－2kx－8在区间（5，10）上是 单调函数.二次函数f（x）＝x2－2kx－8图象的对称轴方程为x＝k，因此 k≤5或k≥10.故选A、B、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值 为 ⁠. 解析：由题意知a≠0，当a＞0时，有（2a＋1）－（a＋1）＝2，解得a ＝2；当a＜0时，有（a＋1）－（2a＋1）＝2，解得a＝－2，综上知a＝ ±2. ±2 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知函数f（x）＝ 求函数f（x）的最大值、最 小值. 解：作出f（x）的图象如图. 由图象可知，当x＝2时，f（x）取最大值为2； 当x＝ 时，f（x）取最小值为－ . 所以f（x）的最大值为2，最小值为－ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 30 1. 下列函数在[1，4]上最大值为3的是（　　） A. y＝ ＋2 B. y＝3x－2 C. y＝x2 D. y＝1－x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　因B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调递 减，代入端点值，即可求得最值.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知函数y＝ （k≠0）在[3，8]上的最大值为1，则k的值为 （　　） A. 1 B. －6 C. －1 D. 6 √ 解析： 　当k＞0时，函数y＝ 在[3，8]上单调递减，∵函数在[3，8] 上的最大值为1，∴ ＝1，∴k＝1；当k＜0时，函数y＝ 在[3，8]上 单调递增，∵函数在[3，8]上的最大值为1，∴ ＝1，∴k＝6（舍去）. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）的最小值为－ 2，则f（x）的最大值为（　　） A. 1 B. 0 C. －1 D. 2 √ 解析： ∵f（x）＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，∴其最小值为f （0）＝a＝－2，∴其最大值为f（1）＝3＋a＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A. （－∞，1] B. （－∞，0] C. （－∞，0） D. （0，＋∞） √ 解析： 　令f（x）＝－x2＋2x（0≤x≤2），则f（x）＝ －（x2－2x＋1）＋1＝－（x－1）2＋1（0≤x≤2），a＜ －x2＋2x恒成立等价于a＜f（x）min，f（x）的图象如图 所示，f（x）的最小值为f（0）＝f（2）＝0，故a＜0.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕记min{a，b}＝ 若函数f（x）＝min{2－x2，x} （x∈R），则f（x）（　　） A. 有最大值为2 B. 有最大值为1 C. 有最小值为－1 D. 无最小值 √ √ 解析： 　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－ x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分 即为函数f（x）的图象.当x＝1时，f（x）取得最大 值，且f（x）max＝1，由图象知f（x）无最小值，故 选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1]上单调递 减，则函数g（x）＝ 在区间（0，1]上一定（　　） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 单调递增 D. 单调递减 √ √ 解析： 　二次函数f（x）＝x2－2ax＋a图象的对称轴为直线x＝a， 因为函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1]上单调递减，所以 a≥1.g（x）＝x＋ －2a，该函数在（0， ）上单调递减，而a≥1， 所以当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递减，且有最小值，为g（1）＝1 －a.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 已知函数f（x）＝ 在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A －B＝ ⁠. 解析：因为f（x）＝ 在[1，2]上单调递减，所以A＝f（1）＝1，B＝f （2）＝ ，则A－B＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌电动汽车，利润（单位：万元） 分别为y1＝－x2＋21x和y2＝2x（其中销售量单位：辆）.若该公司在两地 共销售15辆，则能获得的最大利润为 万元. 解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售（15－x）辆，且x∈N*，15 －x∈N*，公司获利为y＝－x2＋21x＋2（15－x）＝－x2＋19x＋30＝－ ＋30＋ ，∴当x＝9或10时，y最大值为120，即能获得的最大 利润为120万元. 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则 实数a的值为 ⁠. 解析：当4a－2＞0时，f（x）在[－2，1]上单调递增，∴ ∴ 则a＝2；当4a－2＜0时，f（x）在[－2，1]上单调递减， ∴ ∴ 则a＝－ .综上所述，a＝2或 a＝－ . 2或－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 求下列函数的最值： （1）f（x）＝ ，x∈[1，4]； 解： ∵f（x）＝ ＝ ＝2－ ，x∈[1，4]， ∴f（x）在[1，4]上单调递增， ∴函数的最小值为f（1）＝ ，最大值为f（4）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）f（x）＝2x2－ . 解： 令 ＝t，t≥1，则x2＝t2－1， ∴y＝2（t2－1）－t＝2t2－t－2（t≥1）. ∵y＝2t2－t－2的图象的对称轴为直线t＝ ， ∴当t≥1时，y＝2t2－t－2单调递增， ∴ymin＝2×12－1－2＝－1， ∴函数f（x）的最小值为－1，无最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 若a，b∈R，记max{a，b}＝ 则函数f（x）＝max{｜ 3x｜，－x2＋4}的最小值为（　　） A. 0 B. 1 C. 3 D. 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　若｜3x｜≤－x2＋4，则x2－4≤3x≤－x2＋ 4，解得－1≤x≤1，此时max{｜3x｜，－x2＋4}＝－x2 ＋4；若｜3x｜＞－x2＋4，则3x＞－x2＋4或3x＜x2－ 4，解得x＞1或x＜－1，此时max{｜3x｜，－x2＋4}＝ ｜3x｜，故f（x）＝max{｜3x｜，－x2＋4}＝ 则f（x）＝max{｜3x｜，－x2＋4}的图象如图.∴当x＝－1或x＝1时，有最小值3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 设f（x）＝ 若f（0）是f（x）的最小值，则a 的取值范围为（　　） A. [－1，2] B. [－1，0] C. [1，2] D. [0，2] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　当x＞0时，因为f（x）＝x＋ ＋a≥2＋a，f（0）＝a2，所 以2＋a≥a2，解得－1≤a≤2.当x≤0时，f（x）＝（x－a）2，二次函 数图象的对称轴为直线x＝a，要使得f（0）是f（x）的最小值，则有 a≥0.综上，a的取值范围是[0，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 函数y＝ － 的最大值为 ⁠. 解析：由 可得x≥0，y＝ － ＝ ＝ .因为y＝ ＋ 在[0，＋∞）上 是增函数，所以y＝ 在[0，＋∞）上是减函数，所以当x＝0时， y＝ 取最大值1，故函数y＝ － 的最大值为1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 已知函数f（x）＝x2＋4ax＋a2－1， （1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈（－∞，－5]上的最小值. 解： 当a＝1时，f（x）＝x2＋4x，其图象开口向上，对称轴x＝－ 2∉（－∞，－5]， 可知f（x）min＝f（－5）＝5，所以函数f（x）在x∈（－∞，－5]上的 最小值为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）当－2≤x≤1时，函数f（x）的最大值为12，求实数a的值. 解： 由题意可得f（x）＝x2＋4ax＋a2－1＝（x＋2a）2－3a2－1， 其图象开口向上，对称轴方程为x＝－2a，且－2≤x≤1， 当－2a≤－ ，即a≥ 时，函数在x＝1处取得最大值， 即f（1）＝1＋4a＋a2－1＝12， 解得a＝－6（舍去）或a＝2； 当－2a＞－ ，即a＜ 时，函数在x＝－2处取得最大值， 即f（－2）＝4－8a＋a2－1＝12，解得a＝－1或a＝9（舍去）. 综上所述：a＝－1或a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $