5.3 函数的单调性（讲义，知识点&9大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

第五章 函数概念与性质 5.3 函数的单调性 课标要点 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用和实际意义. 3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 4.在函数单调性的应用过程中，培养学生的逻辑推理和数学运算素养 学习重难点 重点：函数单调性的概念、利用定义证明或判断函数的单调性以及利用定义求函数的单调区间 难点：函数单调性的应用 知识点 函数的单调性（重点） 1、增函数与减函数 （1）增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). （2）减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 特别提醒 1）函数的单调性要讲明在哪个区间上单调，不能忽略区间而只讲单调递增或单调递减 随学随练 1．（25-26高二·全国·暑假作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 知识点 函数单调性判断与证明（重点） 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法（用于判断函数单调性） 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法（用于判断函数单调性） （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 特别提醒 1）证明函数单调性书写要规范①取值②作差③变形④定号⑤下结论 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 2．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）证明：函数，是严格增函数. 3．（24-25高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 知识点函数的最大（小）值 （重点） 设函数的定义域为， 如果存在，使得对于任意的，都有 那么称为函数的最大值，记为 如果存在，使得对于任意的，都有 那么称为函数的最小值，记为 教材延伸 求函数最值的三种基本方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 随学随练 1．（25-26高二下·天津静海·期中）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 拓展 复合函数的单调性（重点） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 活学活用 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 拓展变量分离法求函数不等式恒成立（能成立）问题（难点） 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③，使得能成立； ，使得能成立 ④求最值. 活学活用 1．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 2．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为． (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 题型定义法证明函数的单调性（重点） 解题贴士 ①取值：任取，，且 ②作差：计算 ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数 ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数 ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 ▌例1 （26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. ▌例2 （25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. ▌对点练1-1．（25-26高一上·云南普洱·期末）已知函数是一次函数，且． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明． ▌对点练1-2．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，且. (1)求解析式； (2)证明：函数在区间单调递增. 题型求函数的单调区间 解题贴士 1、数形结合利用图象判断函数单调区间 2、关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关 3、当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”； ▌例1（23-24高一上·北京·期中）函数，的单调递减区间为______． ▌例2（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是______ ▌对点练2-1（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． ▌对点练2-2（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是________. ▌对点练2-3（23-24高三下·全国·自主招生）函数的单调递减区间为 ______． 题型求复合函数单调区间 解题贴士简记为“定义域优先，同增异减” ①先求函数的定义域 ②再将复合函数分解为内、外层函数 ③利用已知函数的单调性解决 ④再根据同增异减求复合函数单调区间。 ▌例1（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． ▌例2（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）函数的单调递减区间为__________. ▌对点练3-1（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递减区间为_____________． 题型根据函数单调性求参数（重点） ▌例1（24-25高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数，且时，都有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________. ▌对点练4-1（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ ▌对点练4-2（25-26高一上·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. ▌对点练4-3（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 题型根据分段函数单调性求参数（重点） 解题贴士 先确保各段在其对应区间内单调（利用一次/二次函数性质得参数范围），再保证分段点处函数值满足整体单调趋势——增函数需左段最大值≤右段最小值，减函数则相反。最终取各段参数范围的交集，并验证分段点处开闭区间对取值条件的影响。若含参数同时影响区间和解析式，需分类讨论 ▌例1（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·山西太原·期末）函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-3（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型根据函数的单调性解不等式（重点） ▌例1（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. ▌例2（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． ▌对点练6-1（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. ▌对点练6-2（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． ▌对点练6-3（25-26高一上·贵州·期中）已知函数的定义域为，且. (1)求m的值； (2)证明：在是增函数； (3)解关于x的不等式； 题型利用函数单调性求最值或值域（重点） ▌例1（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. ▌对点练7-1（26-27高一上·全国·课后作业）若定义运算，则函数的值域为________. ▌对点练7-2（25-26高一上·天津南开·期中）设则函数的最大值为______. ▌对点练7-3（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）已知二次函数的图象经过三点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值. 题型根据函数最值求参数（重点） ▌例1（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是_________. ▌对点练8-1（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 ▌对点练8-2（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-3（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 题型函数不等式恒成立（有解）问题 （难点） 解题贴士 ①判别法 ②变量分离法（高频） ▌例1（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． ▌例2（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)解关于的不等式； (3)若函数的值域为，存在，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． ▌对点练9-1（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. ▌对点练9-2（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． ▌对点练9-3（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数在区间上的最大值是（　　） A．－ B．－1 C． D．3 3．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 8．（多选）（25-26高一上·湖北襄阳·期中）函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 10．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 素养提升 1．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 3．（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 迁移创新 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知函数的定义域为D，且，，使得恒成立，则称是D上的受约束函数，为的约束值． (1)判断是否是受约束函数，若是，求出约束值的最小值，若不是，请说明理由； (2)若在区间上是受约束函数，且存在约束值，求实数a的取值范围． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 4．（25-26高一上·河南·期末）已知函数的定义域为，对任意的正实数，都有，且当时，，. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 函数概念与性质 5.3 函数的单调性 课标要点 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用和实际意义. 3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 4.在函数单调性的应用过程中，培养学生的逻辑推理和数学运算素养 学习重难点 重点：函数单调性的概念、利用定义证明或判断函数的单调性以及利用定义求函数的单调区间 难点：函数单调性的应用 知识点 函数的单调性（重点） 1、增函数与减函数 （1）增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). （2）减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 特别提醒 1）函数的单调性要讲明在哪个区间上单调，不能忽略区间而只讲单调递增或单调递减 随学随练 1．（25-26高二·全国·暑假作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，在R上单调递减，故A错误； 对于B，易知开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故D错误． 2．（多选）（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 【答案】 【详解】，故其对称轴为，结合函数图象知其单调递减区间是，单调递增区间是. 知识点 函数单调性判断与证明（重点） 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法（用于判断函数单调性） 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法（用于判断函数单调性） （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 特别提醒 1）证明函数单调性书写要规范①取值②作差③变形④定号⑤下结论 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 2．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）证明：函数，是严格增函数. 【答案】证明见详解 【分析】根据函数单调性的定义证明. 【详解】设，， 任取，且， 则， ，，， 所以，即， 所以函数在上是严格增函数. 3．（24-25高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【答案】设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 【详解】略 知识点函数的最大（小）值 （重点） 设函数的定义域为， 如果存在，使得对于任意的，都有 那么称为函数的最大值，记为 如果存在，使得对于任意的，都有 那么称为函数的最小值，记为 教材延伸 求函数最值的三种基本方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 随学随练 1．（25-26高二下·天津静海·期中）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 【答案】D 【详解】因为，由，得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在取到极小值，也是最小值，即. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 3．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意利用配方法求二次函数最值即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值是2. 故选：B. 拓展 复合函数的单调性（重点） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 活学活用 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 2．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 【点睛】 拓展变量分离法求函数不等式恒成立（能成立）问题（难点） 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③，使得能成立； ，使得能成立 ④求最值. 活学活用 1．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据对勾函数的单调性，结合存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）. .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以， 所以，，即. 2．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为． (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，2，3为方程的两根，根据根与系数的关系，列出方程，即可求得答案. （2）由（1）可知，且满足，恒成立，等价于，根据二次函数的性质，即可求出在上的最小值，分析即可得答案. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，，所以，. （2）由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于， 当时，函数图象的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减， 所以当时，有最小值0， 所以，实数的取值范围为. 题型定义法证明函数的单调性（重点） 解题贴士 ①取值：任取，，且 ②作差：计算 ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数 ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数 ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 ▌例1 （26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）略 ▌例2 （25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数,证明略. ▌对点练1-1．（25-26高一上·云南普洱·期末）已知函数是一次函数，且． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明． 【答案】(1) (2) 由题意：，在上单调递增，证明如下： 设， 则 . 因为，所以，， 所以，所以，即. 所以函数在上单调递增. 【分析】（1）利用“待定系数法”求函数的解析式. （2）先判断函数在给定区间上的单调性，再利用单调性的定义证明. 【详解】（1）因为函数为一次函数，可设，. 由， 由. 所以. （2）略 ▌对点练1-2．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，且. (1)求解析式； (2)证明：函数在区间单调递增. 【答案】(1) (2) 任取，且， .    所以，所以， 所以函数在单调递增. 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）按单调性定义法去证明即可. 【详解】（1）， 且，解得. 所以函数的解析式为. （2）略 题型求函数的单调区间 解题贴士 1、数形结合利用图象判断函数单调区间 2、关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关 3、当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”； ▌例1（23-24高一上·北京·期中）函数，的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性直接计算即可. 【详解】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 故答案为：. ▌例2（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是______ 【答案】和 【分析】作出的函数图象，根据图象可判断出单调递减区间. 【详解】因为，作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递减区间是和， 故答案为：和. ▌对点练2-1（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. ▌对点练2-2（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是________. 【答案】 【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间. 【详解】由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： ▌对点练2-3（23-24高三下·全国·自主招生）函数的单调递减区间为 ______． 【答案】（或） 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以函数的图象开口向下， 所以函数的单调递减区间为（或）. 故答案为：（或） 题型求复合函数单调区间 解题贴士简记为“定义域优先，同增异减” ①先求函数的定义域 ②再将复合函数分解为内、外层函数 ③利用已知函数的单调性解决 ④再根据同增异减求复合函数单调区间。 ▌例1（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. ▌例2（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案. 【详解】令，解得，故函数定义域为， 其中， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的单调递减区间为. 故答案为： ▌对点练3-1（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 故选：B ▌对点练3-2（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递减区间为_____________． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，求函数的单调区间，再根据复合函数的单调性，求函数的单调性. 【详解】，即，解得：， 函数的对称轴是， 当时，单调递增，当时，单调递减， 根据复合函数的单调性可知，的单调递减区间是. 故答案为： 题型根据函数单调性求参数（重点） ▌例1（24-25高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数，且时，都有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由其在上单调递减，分类讨论即可求出. 【详解】时，都有恒成立. 不妨设，则. 设函数，则且，即， 则函数在上单调递减. （1）当时，在上单调递减，符合题意. （2）当时，函数在上单调递增，不合题意舍去. （3）当时，若使函数在上单调递减，只需，. 综上所述，. 故选：D ▌例2（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将表示为分段函数的形式，画出的图象，结合图象以及单调性求得的取值范围. 【详解】由，解得或. 所以， 画出的大致图象如下图所示， 依题意，函数在上单调递增， 则或， 解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： ▌对点练4-1（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 ▌对点练4-2（25-26高一上·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用二次函数的图像求解. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故答案：. ▌对点练4-3（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用单调性定义及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】因为在区间内任意实数，都有， 设，则， 所以函数 在 上单调递减， 令， 根据复合函数的单调性即外层函数单调递增， 则需满足：（1） 在 上恒成立； （2） 在 上单调递减. 二次函数 开口向下，对称轴为 ， 为使 在 上单调递减，只需； 同时， 在 上恒成立， 由于 时 在 上递减，最小值在 处取得， 故需 ，解得 ， 综上， 的取值范围为 . 故答案为： 题型根据分段函数单调性求参数（重点） 解题贴士 先确保各段在其对应区间内单调（利用一次/二次函数性质得参数范围），再保证分段点处函数值满足整体单调趋势——增函数需左段最大值≤右段最小值，减函数则相反。最终取各段参数范围的交集，并验证分段点处开闭区间对取值条件的影响。若含参数同时影响区间和解析式，需分类讨论 ▌例1（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. ▌例2（25-26高一上·山西太原·期末）函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合函数单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数满足对且，都有， 可得函数在上单调递增，因此， 解得，则实数的取值范围是. 故选：D ▌对点练5-1（24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． ▌对点练5-2（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. ▌对点练5-3（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可． 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A. 题型根据函数的单调性解不等式（重点） ▌例1（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. ▌例2（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. ▌对点练6-1（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 ▌对点练6-2（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 【答案】(1)单调递减，证明如下： 令，，，且， 则， 因为，所以，，即，， 所以在上单调递减． (2)． 【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可； （2）由转化为，然后根据单调性求解. 【详解】（1）在上单调递减，证明略； （2），即， 即为，即为， 即为. 因为在上单调递减， 所以，即， 则，解得， 所以不等式的解集为． ▌对点练6-3（25-26高一上·贵州·期中）已知函数的定义域为，且. (1)求m的值； (2)证明：在是增函数； (3)解关于x的不等式； 【答案】(1)1 (2) 由（1）得， 在内任取，且， 则 ， 因为，则， 所以， 所以，即， 所以在是增函数. (3) 【分析】（1）将条件代入解析式，即可求得m值. （2）利用单调性的定义证明即可. （3）将所求变形为，根据的单调性及定义域，即可求得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得. （2）略 （3）因为， 所以， 因为在是增函数， 所以，解得，则解集为 题型利用函数单调性求最值或值域（重点） ▌例1（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，令，再结合对勾函数的性质，即可得解. 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. ▌例2（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 【答案】(1) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为； (2). 【分析】（1）应用分类讨论解含参一元二次不等式即可； （2）由题设，结合二次函数的性质，讨论对称轴与已知区间的位置关系求最小值. 【详解】（1）由题设， 当时，，则解集为， 当时，无解，则解集为， 当时，，则解集为； （2）由题设，其图象开口向上且对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，则最小值. 综上，. ▌对点练7-1（26-27高一上·全国·课后作业）若定义运算，则函数的值域为________. 【答案】 【分析】根据函数的新定义，结合函数的单调性求解即可. 【详解】由，得， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以，故函数的值域是：. ▌对点练7-2（25-26高一上·天津南开·期中）设则函数的最大值为______. 【答案】2 【分析】把表示为分段函数，结合函数的单调性求出的最大值. 【详解】，则或， 即或，解得或， 所以， 所以当时，单调递增，所以的最大值为; 当时，在上单调递减， 在上单调递增，又，， 所以此时，无最大值； 当时，单调递减，所以的最大值为. 综上可知：的最大值为2，当时取“”. 故答案为：2 ▌对点练7-3（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）已知二次函数的图象经过三点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设函数解析式，用待定系数法求解； （2）将不等式转化为，令，将不等式恒成立转化为，求的最小值即可； （3）分析区间与对称轴的位置关系，分三种情况讨论. 【详解】（1）设函数解析式为， 因为二次函数的图象经过三点， 则，解得， 所以的解析式为. （2），即，可化为， 当时，恒成立，即，其中， 令， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （3）的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，则， 当，即时，， 当时，函数在区间上单调递增，则， 综上. 题型根据函数最值求参数（重点） ▌例1（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D ▌例2（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 故答案为： ▌对点练8-1（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. ▌对点练8-2（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最小值为，可得，进而对进行讨论即可求解. 【详解】由题意知的最小值为，故，即． 当时，，不合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为全局最小值，还需在上， 此时的下确界为3，故需， 解得， 综上，实数的取值范围为 故选：D． ▌对点练8-3（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入，根据二次函数的性质即可得到值域； （2）根据题意转化为，代入计算即可. 【详解】（1）当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在区间上的值域为. （2）因为，，开口向上， 则的最大值为和两个中的较大者， 而，要使在区间上的最大值为4，则， ， 故的取值范围为. 题型函数不等式恒成立（有解）问题 （难点） 解题贴士 ①判别法 ②变量分离法（高频） ▌例1（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法设一次函数，复合展开后对比系数列方程，再用单调性筛根. （2）整理不等式，再分类讨论，时，直接验证，时，用基本不等式求分离后函数的最小值，得到参数范围. 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 又在上单调递减，所以， 因此． （2）由（1）得， 则题干可转化为不等式在时恒成立． 当时，，为任意值时都满足题意. 当时，不等式可化为在时恒成立， ，当且仅当，即时，等号成立， 因此，     所以，即实数的取值范围为． ▌例2（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)解关于的不等式； (3)若函数的值域为，存在，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （2）运用因式分解法，结合一元二次方程根的情况分类讨论进行求解即可； （3）根据一元二次不等式解集的性质，结合存在性和任意性的定义、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意得和4为方程的两实数根， 则. （2）将原不等式代入得， 整理后得：，即， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为：， ③当时，不等式的解集为：， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， （3）因为函数的值域为， 所以， 所以由不等式，对于任意的恒成立， 设， 该二次函数的对称轴为， 因为，所以， 所以当时，函数单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 又存在使得上式成立，所以， 所以实数的取值范围为. ▌对点练9-1（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出解析式，根据条件得到方程组，求出解析式； （2）转化为，分，和三种情况，得到不等式，求出答案 【详解】（1）设， 由，得， 即， 所以，解得， 所以，当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得. 所以. （2）由（1）知，所以不等式， 即. 当时，二次函数开口向下， 不等式不可能对恒成立； 当时，不等式，即，其对恒成立； 当时，不等式，即， 因为对，不等式恒成立， 所以，即， 化简可得，所以且，解得或， 又，所以或. 综上所述，或，即实数的取值范围是. ▌对点练9-2（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． ▌对点练9-3（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为函数在上具有单调性， 所以或，即或， 所以实数的取值范围为． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数在区间上的最大值是（　　） A．－ B．－1 C． D．3 【答案】C 【详解】由函数，其中， 故函数在区间上单调递减，当时，函数取最大值为. 3．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 4．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值． 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． 5．（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得m的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 由在上单调递增，可得， 所以“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可 【详解】依题意，解得， 故选：B 7．（多选）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 8．（多选）（25-26高一上·湖北襄阳·期中）函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分三种情况讨论即可. 【详解】若，，此时A满足； 若，当时，为增函数； 当时，， 其中为对勾函数的一部分，此时D满足； 若，当时，为对勾函数的一部分； 当时，为减函数，此时B满足； 故选：ABD 9．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 10．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 素养提升 1．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 3．（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出解析式，根据条件得到方程组，求出解析式； （2）转化为，分，和三种情况，得到不等式，求出答案 【详解】（1）设， 由，得， 即， 所以，解得， 所以，当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得. 所以. （2）由（1）知，所以不等式， 即. 当时，二次函数开口向下， 不等式不可能对恒成立； 当时，不等式，即，其对恒成立； 当时，不等式，即， 因为对，不等式恒成立， 所以，即， 化简可得，所以且，解得或， 又，所以或. 综上所述，或，即实数的取值范围是. 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】(1)对进行分类讨论求解不等式； (2)利用分离参数法求k的取值范围； (3)把看作自变量，构造函数，求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 迁移创新 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知函数的定义域为D，且，，使得恒成立，则称是D上的受约束函数，为的约束值． (1)判断是否是受约束函数，若是，求出约束值的最小值，若不是，请说明理由； (2)若在区间上是受约束函数，且存在约束值，求实数a的取值范围． 【答案】(1)是，3 (2) 【分析】（1）求得函数值域，即可判断； （2）由题意得到在上恒成立，通过参变分离，基本不等式求最值，即可求解． 【详解】（1）由题意可得，解得． 当时，，所以， 所以，即， 所以是上的受约束函数，且的约束值满足， 故的约束值的最小值为3． （2）因为在上是受约束函数，且存在约束值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立． 因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以，即的取值范围为． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2) 函数不存在“优美区间”，理由如下： 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. (3) 【分析】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. （2）略 （3），定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 【答案】(1)单调递减，证明如下： 令，，，且， 则， 因为，所以，，即，， 所以在上单调递减． (2)． 【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可； （2）由转化为，然后根据单调性求解. 【详解】（1）在上单调递减，证明略； （2），即， 即为，即为， 即为. 因为在上单调递减， 所以，即， 则，解得， 所以不等式的解集为． 4．（25-26高一上·河南·期末）已知函数的定义域为，对任意的正实数，都有，且当时，，. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 设，，且，则， 由题意得，则， 所以，即， 所以在上单调递增． (3) 【分析】（1）通过分别令和，即可求解； （2）由单调性的定义即可求解； （3）由，将不等式转换成，再结合单调性，得到，进而可求解. 【详解】（1）令，得，解得． 令，得， 所以， 所以． （2）略 （3）由，， 可得． 因为在上单调递增，且， 所以，即． 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 其值域为，所以实数的取值范围为． 5．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的定义求出解析式； （2），数形结合求出最小值； （3）令，求出，根据两段函数在上的最值即可求解. 【详解】（1）根据已知， 可得. （2）由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； （3）令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $