5.3 第1课时 函数的单调性-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数单调性，通过艾宾浩斯记忆遗忘曲线情境导入，衔接函数概念与性质，构建“定义辨析—判断证明—应用拓展”学习支架，助力学生理解增（减）函数定义及单调区间。 其亮点在于以数学抽象提炼定义关键点，通过图象法与定义法培养直观想象和逻辑推理，母题探究与分层作业设计，既助学生提升解题能力，又为教师提供系统教学资源，有效落实核心素养。

5.3　函数的单调性 第五章　函数概念与性质 1 课标 要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小） 值（数学抽象）. 2.理解单调性、最大（小）值的作用和实际意义（逻辑推理、数 学运算）. 3.能用代数运算和函数图象揭示函数的单调性及函数的最值（直 观想象、数学运算）. 第1课时　函数的单调性 第五章　函数概念与性质 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 　　德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量 进行了系统的实验研究，得到了有趣的数据. 数据表明，记忆保持量y是时间间隔x的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾 浩斯记忆遗忘曲线”，如果我们以x表示时间 间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：％），则不难看出，y是x的函数，记这个函数为y＝f（x）. 【问题】　这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　增函数、减函数的定义 条 件 设函数y＝f（x）的定义域为A，区间I⊆A. 如果对于区间I内的任 意两个值x1，x2，当x1＜x2时 都有 ⁠ 都有 ⁠ 结 论 称y＝f（x）在区间 ⁠上单 调递增， 称为y＝f（x） 的增区间.特别地，当函数f （x）在它的定义域上单调递增 时，称f（x）是 ⁠ 称y＝f（x）在区间 ⁠上单调 递减， 称为y＝f（x）的减 区间.特别地，当函数f（x）在它 的定义域上单调递减时，称f（x） 是 ⁠ f（x1）＜f（x2）　 f（x1）＞f（x2）　 I　 I　 增函数　 I　 I　 减函数　 数学·必修第一册（SJ） 目录 图 示 提醒：对函数单调性的再理解：①并非所有的函数都具有单调性；②函数 的单调递增（单调递减）是针对定义域A内的某个区间I而言的，显然 I⊆A；③定义中x1，x2有三个特征：（ⅰ）x1，x2属于同一个区间；（ⅱ） 任意性：x1与x2不能用I上的特殊值代替；（ⅲ）有序性：通常规定x1＜ x2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f（x）在区间I上 ，那么称函数y＝ f（x）在区间I上具有单调性. 和 统称为单调区间. 单调递增或单调递减　 增区间　 减区间　 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列四个函数在区间（－1，1）上单调递增的是（　　） √ 解析： 　由四个选项中的函数图象可知，y＝f（x）在（－1，1）上单 调递减；y＝g（x）在（－1，1）上单调递增；因为（－1，1）不是函数 y＝h（x）定义域中的子集，故y＝h（x）在（－1，1）上不具有单调 性；y＝R（x）在（－1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，故y ＝R（x）在（－1，1）上不单调. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 若函数f（x）在R上是减函数，则有（　　） A. f（3）＜f（5） B. f（3）≤f（5） C. f（3）＞f（5） D. f（3）≥f（5） √ 解析： 　由f（x）是R上的减函数，又3＜5，所以f（3）＞f（5），故 选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A. 定义在（a，b）上的函数f（x），如果∃x1，x2∈（a，b），当x1＜ x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上是增函数 B. ∀x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当 ＜0时，f（x）在 （a，b）上单调递减 C. ∀x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）] ＞0时，f（x）在（a，b）上单调递增 D. ∃x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，f（x1）≥f（x2）成立，则函数f （x）在（a，b）上不是单调递增的 √ √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　A中，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”， 故A是假命题；B中，∵ ＜0等价于[f（x1）－f （x2）]·（x1－x2）＜0，而此式又等价于 或 即 或 ∴f （x）在（a，b）上单调递减，B是真命题，同理可得C也是真命题；D 中，若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该 区间上找到两个值x1，x2，证明当x1＜x2时，f（x1）≥f（x2）（f（x1） ≤f（x2））成立即可，故D是真命题.故选B、C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 函数y＝｜x＋1｜的单调增区间是 ⁠. 解析：y＝｜x＋1｜＝ 所以f（x）的单调递增区间是 （－1，＋∞）. （－1，＋∞） 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　求函数的单调区间 （链接教科书第118页例1）画出下列函数图象，并写出单调区间： （1）f（x）＝－x2＋2x＋3；（2）f（x）＝－ （x≠0）. 解：（1）函数图象如图①所示，增区间为（－∞，1]，减区间为[1，＋ ∞）. （2）函数图象如图②所示，（－∞， 0）和（0，＋∞）是函数的两个增区 间. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 1. （变条件）若将本例（1）中“f（x）＝－x2＋2x＋3”改为“f（x） ＝－x2＋2｜x｜＋3”，如何求解？ 解：f（x）＝－x2＋2｜x｜＋3＝ 作出函数的图象如图所示， 由图象可知，函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[0， 1]，减区间为[－1，0]，[1，＋∞）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （变条件）若将本例（1）中“f（x）＝－x2＋2x＋3”改为“f（x） ＝｜－x2＋2x＋3｜”，如何求解？ 解：函数y＝｜－x2＋2x＋3｜的图象如图所示. 由图象知其增区间为[－1，1]，[3，＋∞）；减区间为 （－∞，－1），（1，3）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 求函数单调区间的2种方法 （1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； （2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间. 提醒：（1）如果函数f（x）在其定义域内的两个区间A，B上单调性相 同，则两个区间用“，”或“和”连接，一般不能用“∪”连接；（2） 书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间 均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间. 数学·必修第一册（SJ） 目录 求函数f（x）＝｜x2－1｜＋x的增区间. 解：当x≥1或x≤－1时，f（x）＝x2＋x－1＝（x＋ ）2－ ； 当－1＜x＜1时，f（x）＝－x2＋x＋1＝－（x－ ） 2＋ . 作出函数f（x）的图象（如图实线部分）.由图象知函数f（x）的增区间为 ，[1，＋∞）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　函数单调性的判断与证明 （链接教科书第118页例2）证明：函数f（x）＝x＋ 在区间（0， 1）上单调递减. 证明：设x1，x2是区间（0，1）上的任意两个值，且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝（x1＋ ）－（x2＋ ） ＝（x1－x2）＋（ － ）＝（x1－x2）＋ ＝ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 ∵0＜x1＜x2＜1， ∴x1－x2＜0，0＜x1x2＜1， 则x1x2－1＜0， ∴ ＞0，即f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）＝x＋ 在区间（0，1）上单调递减. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 （变设问）若把本例中“在区间（0，1）上单调递减”改为“在区间[1， ＋∞）上单调递增”，如何证明？ 证明：设x1，x2为区间[1，＋∞）上的任意两个值，且x1＜x2，则f（x1） －f（x2）＝（x1＋ ）－（x2＋ ）＝ . ∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，∴x1x2－1＞0， ∴ ＜0，即f（x1）＜f（x2）.∴f（x）＝x＋ 在区间 [1，＋∞）上单调递增. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 数学·必修第一册（SJ） 目录 判断函数f（x）＝ 在（1，＋∞）上的单调性，并用定义加以证明. 解：函数f（x）＝ 在（1，＋∞）上单调递减. 证明：∀x1，x2∈（1，＋∞），设x1＜x2， 则f（x2）－f（x1）＝ － ＝ ， 由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1， 所以 －1＞0， －1＞0，x1＋x2＞0. 数学·必修第一册（SJ） 目录 又x1＜x2，所以x1－x2＜0，于是 ＜0， 即f（x1）＞f（x2），因此，函数f（x）＝ 在（1，＋∞）上单调递减. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　函数单调性的应用 角度1　已知函数的单调性求参数 〔一题多解〕（链接教科书第134页6题）若函数f（x）＝－x2－2ax ＋3在区间（－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：法一　因为f（x）＝－x2－2ax＋3的图象开口向下，对称轴为x＝ －a，要使f（x）在（－∞，3]上单调递增，只需－a≥3，即a≤－3.所 以实数a的取值范围为（－∞，－3]. （－∞，－ 3] 法二　f（x）＝－x2－2ax＋3＝－（x＋a）2＋a2＋3，函数f（x）的单 调递增区间是（－∞，－a]，由题意得，（－∞，3]⊆（－∞，－a]，所 以－a≥3，即a≤－3.所以实数a的取值范围为（－∞，－3]. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 1. （变条件、变设问）若本例中的函数f（x）的增区间为（－∞，3]， 求a的值. 解：由题意得－a＝3，即a＝－3. 2. （变条件）若本例中的函数f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取 值范围. 解：由题意得－a≤1或－a≥2，即a≤－2或a≥－1. 所以a的取值范围为（－∞，－2]∪[－1，＋∞）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 已知函数的单调性求参数范围的一般思路 （1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比 较，求出参数的范围； （2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式 （组）求出参数的范围. 提醒：注意函数f（x）的单调区间与f（x）在某区间上单调的区别与联系. 数学·必修第一册（SJ） 目录 角度2　利用函数单调性解不等式 已知函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3） ＞f（5x－6），则实数x的取值范围为 ⁠. 解析：∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f（2x－3）＞f（5x－ 6），∴2x－3＞5x－6，即x＜1.∴实数x的取值范围为（－∞，1）. （－∞，1） 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 1. （变条件）若将本例中的条件改为“已知y＝f（x）是定义在[－2，2] 上的增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6）”，求实数x的取值范围. 解：由题意得， 解得 ≤x＜1，所以实数x的取值范 围为［ ，1）. 2. （变条件、变设问）若本例中的函数f（x）是定义在R上的减函数，试 比较f（－1）与f（a2＋1）的大小. 解：由f（x）是定义在R上的减函数，又a2＋1＞－1，所以f（－1）＞f （a2＋1）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 利用单调性比较大小或解不等式的方法 （1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；在解决比较函 数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上； （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将 “f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定 义域. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 设a∈R，已知函数y＝f（x）是定义在[－4，4]上的减函数，且f（a ＋1）＞f（2a），则a的取值范围是（　　） A. [－4，1） B. （1，4] C. （1，2] D. [－5，2] √ 解析： 　由题意得－4≤a＋1＜2a≤4，解得1＜a≤2.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·淮安期中）如果函数f（x）＝ 在R上 是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A. [2，4] B. [2，＋∞） C. [2，8] D. （－∞，－2] √ 解析： 　当x≤1时，f（x）＝x2－ax＋5＝（x－ ）2＋5－ ，由题 意， 解得 故实数a的取值范围是[2，4].故 选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 函数y＝ 的单调递增区间是（　　） A. （－∞，－3] B. ［ ，＋∞） C. （－∞，1） D. [－1，＋∞） √ 解析： 　由2x－3≥0，得x≥ .又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上是 增函数，y＝ 在定义域上是增函数，所以y＝ 的单调递增区间 是［ ，＋∞）.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 函数y＝｜x｜－1的单调递减区间为（　　） A. （－∞，0） B. （－∞，－1） C. （0，＋∞） D. （1，＋∞） √ 解析： 　当x＞0时，y＝｜x｜－1＝x－1，此时函数单调递增，当x＜0 时，y＝｜x｜－1＝－x－1，此时函数单调递减，即函数的单调递减区间 为（－∞，0）.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 〔多选〕已知函数f（x）＝－2x2＋ax在区间（－1，2）上不具有单调 性，则a的值可以是（　　） A. 9 B. －1 C. －3 D. 0 √ √ √ 解析： 　因为二次函数f（x）＝－2x2＋ax在区间（－1，2）上不具 有单调性，所以－1＜－ ＜2，－4＜a＜8，故A错误，B、C、D 正确.故选B、C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知函数f（x）＝ . （1）求f（x）的定义域； 解： 由题意知x＋1≠0，即x≠－1.∴f（x）的定义域为（－∞，－ 1）∪（－1，＋∞）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）证明函数f（x）＝ 在[1，＋∞）上单调递增. 解： 证明：任取x1，x2∈[1，＋∞），且x1＜x2， f（x）＝ ＝2－ ， ∴f（x2）－f（x1）＝ － ＝ . ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 又∵x1，x2∈[1，＋∞），∴x2＋1＞0，x1＋1＞0. ∴f（x2）－f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）. ∴函数f（x）＝ 在[1，＋∞）上单调递增. 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 40 1. 下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（　　） A. y＝｜x｜ B. y＝3－x C. y＝ D. y＝－x2＋4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　当x∈（0，1）时，y＝｜x｜＝x，所以y＝｜x｜在（0，1） 上单调递增；y＝3－x，y＝ 在（0，1）上均单调递减；y＝－x2＋4的 图象是以直线x＝0为对称轴的开口向下的抛物线，所以y＝－x2＋4在 （0，1）上单调递减.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 函数f（x）＝｜x2－1｜的增区间为（　　） A. （－1，0） B. （1，＋∞） C. （－1，0），（1，＋∞） D. （－1，0）∪（1，＋∞） √ 解析： 　画出f（x）＝｜x2－1｜的图象，如图所示， 所以函数f（x）的增区间为（－1，0），（1，＋∞）. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 已知定义在[0，＋∞）上的减函数f（x），若f（2a－1）＞f（ ）， 则实数a的取值范围是（　　） A. （－∞， ） B. （ ， ） C. （ ，＋∞） D. ［ ， ） √ 解析： 　根据题意，f（x）是定义在[0，＋∞）上的减函数，f（2a－ 1）＞f（ ），则有0≤2a－1＜ ，解得 ≤a＜ ，即a的取值范围为 ［ ， ），故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，那么f（a2－a＋1）与f （ ）的大小关系是（　　） A. f（a2－a＋1）＞f（ ） B. f（a2－a＋1）≤f（ ） C. f（a2－a＋1）≥f（ ） D. f（a2－a＋1）＜f（ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　a2－a＋1＝（a－ ）2＋ ≥ ，∵f（x）在（0，＋∞）上单 调递减，∴f（a2－a＋1）≤f（ ）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 下列说法正确的是（　　） A. 所有的函数在其定义域上都具有单调性 B. 若函数y＝f（x）在区间[1，3]上单调递减，则函数y＝f（x）的单调 递减区间是[1，3] C. 若函数f（x）为R上的减函数，则f（－3）＞f（3） D. 若函数y＝f（x）在定义域上有f（1）＜f（2），则函数y＝f（x） 是增函数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，函数y＝ 在其定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上不 具有单调性，故A错误；对于B，函数f（x）＝－x2在区间[1，3]上单调 递减，但f（x）的单调递减区间是[0，＋∞），故B错误；对于C，函数f （x）为R上的减函数，因为－3＜3，所以f（－3）＞f（3），故C正确； 对于D，函数f（x）＝－（x－2）2，f（1）＝－1，f（2）＝0，满足f （1）＜f（2），但f（x）＝－（x－2）2在（－∞，2]上单调递增，在 [2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在其定义域R上不是增函数，故D错 误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕（2026·苏州期中）下列函数f（x）满足对∀x1，x2∈（0，＋ ∞）且x1≠x2，有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0恒成立的是（　　） A. f（x）＝－x＋ B. f（x）＝－x2－2x＋3 C. f（x）＝x＋ D. f（x）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　由题意，（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0恒成立，即当x1 ＜x2时，f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，对 于A，f（x）＝－x＋ ，y＝－x和y＝ 在（0，＋∞）上都是减函数， 所以函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，故A正确；对于B，f（x）＝ －x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，在（0，＋∞）上是减函数，故B正确； 对于C，f（x）＝x＋ 在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递 增，故C错误；对于D，f（x）＝ 在（0，＋∞）上是减函数，故D正 确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. （2026·江阴期中）若函数f（x）＝x2－2ax在区间[0，2]上具有单调 性，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：由题意f（x）＝x2－2ax，易知其开口向上，对称轴为x＝a，因 为f（x）在区间[0，2]上具有单调性，所以a≥2或a≤0，则实数a的取 值范围是（－∞，0]∪[2，＋∞）. （－∞，0]∪[2，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. （2026·南京金陵中学期中）函数f（x）＝ 的单调递减区间 为 ⁠. 解析：由题意得定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（x）＝ ＝1 ＋ ，由反比例函数的单调性可知，函数f（x）＝ 的单调递减区间为 （－∞，0），（0，＋∞）. （－∞，0），（0，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. （2026·常熟期中）函数f（x）＝ 在区间[0，＋∞）上不是单调 递减函数，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：∵f（x）＝ ＝a＋ 在[0，＋∞）上不是单调递减 函数，∴2－a≤0，解得a≥2.故实数a的取值范围是[2，＋∞）. [2，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 已知函数f（x）＝ （1）画出函数f（x）的大致图象； 解： 函数f（x）的大致图象如图所示. （2）写出函数f（x）的单调递减区间. 解： 由函数f（x）的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 已知函数f（x）＝ － ，则不等式f（x＋1）＞f（2x） 的解集为（　　） A. （－∞，1） B. （－∞，1] C. ［－ ，0］ D. ［－ ，1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　函数f（x）＝ － ，由 解得－ 1≤x≤1，则f（x）的定义域为[－1，1].因为y＝ 是增函数，y＝ － 也是增函数，所以f（x）＝ － 是[－1，1]上的增 函数，由不等式f（x＋1）＞f（2x）得 解得－ ≤x≤0，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝2ax2＋4（a－3）x＋5，下列关于函数f （x）单调性的说法正确的是（　　） A. 函数f（x）在R上不具有单调性 B. 当a＝1时，f（x）在（－∞，0）上单调递减 C. 若f（x）的单调递减区间是（－∞，－4]，则a的值为－1 D. 若f（x）在区间（－∞，3）上单调递减，则a的取值范围是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　当a＝0时，f（x）＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误； 当a＝1时，f（x）＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是（－∞，2]，因此f （x）在（－∞，0）上单调递减，B正确；由f（x）的单调递减区间是 （－∞，－4]得 a的值不存在，C错误；在D中，当a ＝0时，f（x）＝－12x＋5，在（－∞，3）上单调递减；当a≠0时，由 得0＜a≤ ，所以a的取值范围是 ，D正确. 故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. （2026·扬州质检）已知函数f（x）＝ 在（m， m＋1）上单调递增，则实数m的取值范围是 ⁠ ⁠. （－∞，－2]∪[1，＋ ∞） 解析：画出分段函数f（x）＝ 的 图象，如图所示， 所以要使函数f（x）在（m，m＋1）上单调递增， 则m≥1或m＋1≤－1，解得m≥1或m≤－2，所以 实数m的取值范围是（－∞，－2]∪[1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 已知函数f（x）＝ . （1）判断并证明函数f（x）在（－2，＋∞）上的单调性； 解： f（x）＝ ＝3＋ ，f（x）在（－2，＋∞）上单调递 减，证明如下： 设x1＞x2＞－2， 则f（x1）－f（x2）＝ － ＝ ，因为x1＞x2＞－2， 所以x1＋2＞0，x2＋2＞0，x2－x1＜0， 所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－2，＋∞）上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若函数f（x）的定义域为（－2，2），且满足f（－2m＋3）＞f （m2），求m的取值范围. 解： 由（1）可知，当x∈（－2，2）时，函数f（x）是减函数，所 以由f（－2m＋3）＞f（m2）得， 解得1＜m＜ ， 所以m的取值范围为（1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $