5.3 函数的单调性(1)课件-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

高一数学●2024苏教版必修一 第五章 函数概念与性质 本节学习理解函数单调性的概念，掌握增、减函数定义，会用图像判断单调性，能用定义证明简单函数单调性，提升逻辑推理与直观想象的数学核心素养 5.3 函数的单调性 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括141张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 思维导图 3 理知识 新知课 知识解读 知识点1 函数的单调性 1 单调递增、单调递减 条件 设函数的定义域为，区间 . 对于区间内的任意两个值,，当 时，都有 结论 在区间上单调递增， 称为 的增区间 在区间上单调递减， 称为 的减区间 4 图示 _______________________________________________ 图象在区间 上呈上升趋势 _______________________________________________ 图象在区间 上呈下降趋势 续表 5 知识剖析 （1）对定义中的“区间”的要求：①不一定是整个定义域，可能是定义域的子区 间；②一定是连续的. （2）对,的要求：①属于同一个区间；②具有任意性，即, 是定义域中 某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代替；③有大小，即确定的任意两个值 , 必须区分大小，一般令 .#1.1.2 6 2 单调性、单调区间 （1）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，称 为增（减）函数. （2）如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么称函数 在 区间 上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.（单调区间一定是定义域的子 集）#1.2 . . 7 特别提醒 1.并不是所有的函数都具备单调性.如函数它的定义域为 ，但不 具有单调性；再如, ，它的定义域不连续，也不能说它在定义域上具 有单调性． 2.函数在某个区间上单调递增（减），但是在整个定义域上不一定单调递增（减）. 如函数在区间和 上都单调递减，但是在整个定义域上不 具有单调性.#1.3.2 . . 8 3.一个函数出现两个或者两个以上的增（减）区间时，不能用“ ”连接，而应该用 “和”或“，”连接.如函数在区间和 上都单调递减，不能认 为的减区间为 . 4.对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存 在单调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但单调区间 一定不包括使函数式无意义的点.#1.3.4 . . 9 3 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在 上单调递增； 时，在 上单调递减. 反比例函数 时,减区间是和 ; 时,增区间是和 . 二次函数 时,减区间是,增区间是 ; 时,减区间是,增区间是 . 10 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P121 T8]下列说法中正确的是( ) D A.若函数的定义域为，且满足，则函数 在 上是增函数 B.定义在上的函数，若有无穷多对，，当 时，有 ，则在 上为增函数 C.若函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，则在区间 上 就一定单调递减 D.对任意的,,且,当时，在 上单调递减 11 【解析】A不正确，增（减）函数的定义突出了, 的任意性，仅凭区间内有限个 函数值的关系，不能判断函数的单调性. B不正确，“无穷多对”不能代表“所有”“任意”. 以 为例知C不正确. 等价于 , 而此式又等价于 或 即或 故在 上单调递减，D正确. 12 【想一想丨归纳总结】 单调性的等价结论 ,, ,那么 在 上单调递增； 在 上单调递减. 图5.3-2 例1-2 如图5.3-2是函数 的图象，则此函数的单调递减 区间的个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由图象可知函数 的单调递减区间有2个. 13 知识点2 函数的最大（小）值 1 函数的最大（小）值 条件 设的定义域为存在,使得对于任意的 ,都有 结论 为 的最大 值，记为 为的最小值，记为 几何意义 函数 的最大值是图 象最高点的纵坐标 函数 的最小值是图象最低点的纵坐标 14 辨析比较 函数的最值和值域的联系与区别 1.联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域. 2.区别： （1）函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不一定存在. （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素. （3）若函数的值域是开区间（两端点都取不到），则函数无最值；若函数的值 域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 15 2 利用函数单调性求最值的常用结论 图5.3-1 （1）如果函数在区间 上单调递 增，在区间 上单调递减，那么函数 ，在处有最大值 ,如图 5.3-1（1）所示.(最小值为或 ，需比较) （2）如果函数在区间 上单调递 减，在区间 上单调递增，那么函数 ，在处有最小值 ,如图 5.3-1（2）所示.(最大值为或 ，需比较) 16 特别提醒 一般情况下，利用函数的单调性就可以求出函数的最值,但是对于定义域为闭区间的 函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，与所求出的最值进行比较，值最 大（小）者即函数的最大（小）值. 17 学思用·典例详解 例2-3 [教材改编P119例3]图5.3-3为函数, 的图象,请指出函数的最 大值、最小值及单调区间.#1 图5.3-3 18 【解析】观察图象可知，函数的图象上位置最高的点是 ,最低的点 是,所以当时,函数取得最大值,即；当 时,函数取得最小值,即 .根据函数单调性的几何意义，图象从左 到右上升的部分对应的区间是增区间，从左到右下降的部分对应的区间是减区间， 因此，函数,的增区间是,减区间是, . 19 例2-4 （1）若函数在上的最小值为1，则实数 的值为 ( ) B A. B. C. D.1 【解析】因为在上单调递增，且在 上的 最小值为1，所以，即 . （2）函数 的最大值为___. 5 【解析】当时，函数单调递增，且有，无最大值;当 时， 函数单调递减，则在处取得最大值，最大值为5.所以函数 在整 个定义域内的最大值为5. （分段函数的最大（小）值是各段函数最大（小）值中的最大（小）者） 20 释疑惑 重难拓展 知识点3 单调函数的运算性质 若函数,在区间上具有单调性，则在区间 上具有以下性质. （1）与为常数 具有相同的单调性. （2）若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当 时， 与 具有相反的单调性. （3）若恒为正值或恒为负值,为常数，则当时，与 具有相反 的单调性；当时，与 具有相同的单调性. （4）若，则与 具有相同的单调性.#1.4 21 （5）在, 的公共单调区间上，有如下结论：#1.5 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 （6）当，在区间 上都单调递增（减）时，若两者都恒大于零，则 在区间上单调递增（减）；若两者都恒小于零，则在区间 上单 调递减（增）.#1.6 22 学思用·典例详解 例3-5 证明：当恒为正值或恒为负值时，与 具有相反的单调性. 【解析】若函数是增函数，任取定义域内的两个数,，且 ,则 ， 易知 . 由于恒为正值或恒为负值，则，从而 ， 故函数 是减函数. （依据为函数单调性的等价形式） 同理可证，若函数是减函数，则函数 是增函数. 23 知识点4 复合函数单调性的判定 对于复合函数，设在上是单调函数，且 在 或上也是单调函数，那么在 上的单调性如何呢？ 下面我们来探讨一下. （1）若在上单调递增，且在 上也单调递增， 则在 上单调递增. （2）若在上单调递增，在 上单调递减，则 在 上单调递减. 24 类似地，我们不难发现：当在上单调递减，且 在 上单调递增时，在上单调递减；当在 上单调 递减，且在上单调递减时，在 上单调递增. 根据上面的探讨，在 上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”. 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 25 若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函 数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数 个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个 复合函数为减函数. 26 学思用·典例详解 例4-6 已知函数在定义域上单调递减，则 的定义域是________， 单调递减区间是________. 【解析】的定义域为 , ,即,解得 . 故函数的定义域为 . 令,则 . 当时，单调递减，则 单调递增； 当时，单调递增，则 单调递减. 故的单调递减区间为 . 27 点评 （1）把函数通过中间变量分解为两个函数：外函数 和 内函数,则,的值域应为 的定义域的子集. （2）判断复合函数的单调性时，要特别注意在定义域内研究. 28 方法掌握 解题课 能力构建 题型1 函数单调性的判定及求解 1 利用定义证明函数的单调性 例7 根据函数单调性的定义，证明函数在 上是减函数. 【解析】任取, ， 且 ,→规范解答 1.取值. 则 →2.作差. (立方差公式： ) . . 29 （大于0的途径 配方）.→3.变形. ,,而 , 若 ,→4.定号. 则,与 矛盾, 从而恒有 . 于是 ， 即,故在上是减函数 →5.下结论. . . 2 利用定义求函数单调区间 例8 [教材改编P121 T2]已知函数，求函数 的单调区间. 【解析】任取,，且 ,则 . ,,, , ,时,;,时， . 当,时，,即，函数 单调递增; 当,时，,即,函数 单调递减. 综上，函数的增区间是，减区间是 . 31 用定义法判断函数单调性的一般步骤及变形技巧 1.利用定义证明函数在给定的区间 上的单调性的一般步骤： 32 注意：利用定义证明函数的单调性还可以用作商法：①取值，任取, ，且 ;②作商,,;③变形,将 向有利于判断商的值是否大于1的方向 变形;④比较,将与1比较大小;⑤定论,根据与的大小关系及与 的大 小关系，结合单调性的定义得出结论. 2.常用的变形技巧有：①因式分解，当原函数是多项式函数时，通常作差变形后进 行因式分解；②通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子 进行因式分解；③配方，当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断 符号；④分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化. 33 【学会了吗丨变式题】 1.试讨论函数在区间 上的单调性. 【答案】任取,，且 ,（取值要在给定区间内） 则 . ,,, .（最后化成 容易判断正负的形式） 当时,,即,函数在 上单调递减;当 时，,即,函数在 上单调递增. 34 3 抽象函数单调性的判断 例9 (2026·山东省潍坊市期末)设是定义在上的函数，对任意, ，恒有 ,且当时， . （1）求证 ; 【解析】根据题意，令,(让求，那就先凑出来)可得 ,, . . . 35 （2）求证当时，恒有 ; 【解析】由题意知当时， . 当时， , 当时，, . （转化到已知区间上，便于判断范围） ,（【会赋值】根据式子结构合理赋值） . . 故当时，恒有 . . . 36 （3）求证在 上是减函数. 【解析】设,，且 , 则 .（常见的构造技巧） 由（2）知,又, , ,,即 , 在 上是减函数. 思路点拨 （1）可通过赋值求;（2）可通过 证明 ;（3）利用定义可证明函数的单调性. . . 37 解决抽象函数的单调性问题的思路 抽象函数一般由方程（不等式）确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义 来处理，但要注意运用好所给的条件，判断出函数值之间的关系.常见思路是： 先在所证区间上设出任意, ，然后利用题设条件向已知区间上转化，最 后运用函数单调性的定义解决问题. 注意:若给出的是和型 抽象函数，判定符号时的常用变形为 , ; 若给出的是积型 抽象函数，判定符号时的常用变形为 , . 38 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·重庆市开州中学月考)已知定义在上的函数满足 ，且对 任意的实数,均有，当时， ． （1）求 的值； 【答案】令，则 ， 又，所以 . 39 （2）判断在 上的单调性，并证明. 【答案】在 上单调递增，证明如下. ，则 ，（常见的变形形式） 因为，所以， . 又当时，，所以 ， 所以，所以 ， 故在 上的单调递增． . . 40 4 根据函数图象求单调区间 例10（1）求函数 的增区间与减区间. 图5.3-4 【解析】令,作出 的图象， 保留其在轴上及轴上方的部分，将位于 轴下方的部分翻折到 轴上方，得到 的图象（也可以去绝对值，转 化成分段函数），如图5.3-4所示. 由图象得函数的增区间是和 ， 减区间是和 .（单调区间可以包含端点值，也可 以不包含） . . 41 （2）作出函数 的图象，并指出其单调区间. 【解析】函数可化为 图5.3-5 作出函数 的图象如图5.3-5所示. 由图象知函数的单调区间为 .其中，减区 间为，增区间为 . 42 利用函数的图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，再画出它的草 图，观察图象确定函数的单调区间.求解能作出图象的函数的单调性问题均可采用此 种方法.图象法主要应用于常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单 调性的判断，或应用于通过常见函数图象的平移、对称、翻折等变换得到的新图象 对应的函数的单调性的判断. . . 43 5 性质法判断函数的单调性 例11 判断函数 的单调性. 思路点拨 可利用一次函数、反比例函数等常见函数的单调性及单调性的相关性质 判断函数 的单调性. 【解析】因为，且函数的定义域为 ， （求函数的单调性时，优先考虑定义域）而函数和在区间 上均 单调递增，根据单调函数的运算性质可得在区间 上单调递增. 同理可得在区间 上也单调递增. 故函数在区间和 上单调递增. . . 44 6 复合函数单调性的判断 例12 求函数 的单调递增区间. 【解析】由，得且，所以函数 的定义域为 且 . 设，则 ， 故 . 45 由二次函数的性质可知,的单调递增区间为，单调递减区间为 ， 4）， . （二次函数图象的开口向下，不要写错增减区间） 又在和 上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为 ，4）和 ． 46 判断复合函数单调性的注意点 （1）由于函数的单调区间是定义域的子区间，所以一定要注意函数的定义域，否则 容易出错； （2）对于函数,要先确定内层函数 的值域，它是外层函数的定义域， 否则无法确定的单调性，特别是当 的单调区间是由几个区间组成时. 47 题型2 函数单调性的应用 1 利用函数的单调性比较大小 例13 [多选题]已知为区间上的减函数，且 ，则( ) ACD A. B. C. D. 【解析】因为，所以,又为区间 上的减函数，所以 ，故A正确； 因为与0的大小关系不定，所以无法比较与 的大小，故B 错误； 因为（利用作差法比较大小），所以 ,又 为区间上的减函数，所以 ，故C正确； 因为，所以,又为区间 上的减函数，所 以 ，故D正确． . . 48 1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时， 要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上. 2.相关结论. （1）正向结论：若在给定区间上单调递增,则当时, ； 当时, . （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增,则当时, ； 当时, . 当 在给定区间上单调递减时，也有相应的结论. . . 49 【学会了吗丨变式题】 3.函数是上的增函数且 ，则( ) C A. B. C. D., 【解析】设，则, . 是上的增函数，, , , 这与题设 矛盾. . 50 2 利用函数的单调性解不等式 例14 已知是定义在区间上的增函数，且，则 的取值 范围是_ _____. 51 【解析】因为是定义在区间 上的函数， 所以解得 ①. 因为是增函数，且 ， 所以，解得 . 由①②得， . 所以满足题设条件的的取值范围为 . 52 【学会了吗丨变式题】 4.已知函数则关于实数的不等式 的解集 为______． 【解析】当时，单调递增，当时, 单调递增，且函数 的图象在处连续(此处不能少，否则不能判断函数在 上的单调性)， 故函数在上单调递增.由得，解得 ． . . . . 53 3 利用函数的单调性求参数的取值范围 例15 (2026·山东省泰安市期中)若函数在 上是增函数， 则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 54 55 【解析】因为函数在上是增函数，所以在 上单调递增，故 ，即 . 当时，单调递增，所以；当时， 单 调递增，所以 . 又函数在上是增函数,所以 ,（前面一段的最大值不能超过后面一段的 最小值）解得.又,所以 . 故实数的取值范围是 . . . 56 感悟升华 解决此类分段函数的单调性问题时，一般从两个方面思考：一方面每个分段区间上 函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑区间端点处的衔接情 况，由此列出另一相关式子，求解即可. 57 例16 (2026·广东省佛山市禅城实验高级中学段考)若函数 在区间上单调递减，则实数 的取值范围是__________. 【解析】函数的图象的对称轴为直线,若函数在区间 上单调 递减，则,解得 . 58 变式 若函数的单调递减区间是，则实数 的取值 范围是______. 【解析】若函数的单调递减区间为，则，解得 . 易错警示 单调区间是一个整体概念,比如说函数的单调递减区间是 ,指的是函数单 调递减的最大范围为区间 .而函数在某一区间上单调递减（增）,则指此区间是相应 单调递减（增）区间的子区间.因此我们在解决函数的单调性问题时,不能混淆“单调 区间”和“在区间上单调”这两个概念. 59 例17 (2026·河南省禹州市第三高级中学检测)已知 是定义在R上的函 数，若对于任意，都有 ，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C.[-， D.[- ，0） 60 给什么得什么 由 联想到单调性的变形，但不等号右边是2，非0，我 们要怎么处理呢？去分母，移项，转变为 ，由此可得函数在 上单调递减. 求什么想什么 求实数的取值范围，由于为二次项系数，分和 分类讨 论. 差什么找什么 易得时符合；当 时，知道二次函数的单调性，考虑动轴 与定区间 的关系，分类讨论即得. 61 【解析】因为对于任意，都有 ，所以 ， 即 ， 令，则在 上单调递减. 当时， 符合题意， 当时，函数的图象的对称轴方程为 ， 当时，，解得，即 ， 当时，，解得 ， 综上， ． 62 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 1.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区 间比较求参数. 2.依据常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解. 63 【学会了吗丨变式题】 5.已知函数在区间上具有单调性，则实数 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】根据题意，函数 为二次函数，其图象开口向上，对称轴 为直线，若函数在区间上具有单调性，则 或 ，解得或，所以实数的取值范围是 ． 64 6.[多选题](2026·山东省青岛市期中)若函数在 上为 增函数，则实数 的取值可以为( ) BC A. B.1 C.2 D.4 【解析】要使此分段函数为上的增函数，必须使函数 在 上单调递增，函数在 上单调递增，且满足 ，根据一次函数和二次函数的单调性可得，解得 ， 即实数的取值范围是.故选 . 65 题型3 函数的最值问题 1 利用单调性求最值 例18 的最大值是( ) A A. B.2 C. D.4 【解析】由已知可得，解得 ， 故函数的定义域为 ， 令，则，（换元后注意新元范围）且 ，则 ， 故函数的最大值为 ． . . 66 图5.3-6 对勾函数的单调性及最值探究 对勾函数,且为常数 是高考的常考内容，也是 中学阶段比较重要的函数，它的定义域实际分为四个区间，中间 由,0, 三个数隔开，函数在两边区间上单调递增，即在 和, 上单调递增；在中间两个区间上单调递减， 即在和 上单调递减.记住该函数的图象 （如图5.3-6），可以很容易记住该函数的单调区间. 另外，我们也不难得出当时，在处函数取得 最小值2 ;当时，在处函数取得最大值 . 67 下面给出,且为常数 的单调性的相关证明： 任取,,且 , 当,时，, , 所以,故在 上单调递减； 当,时，, , 所以,故在, 上单调递增. 同理可得，在 上单调递减, 在 上单调递增. 68 综上所述，在和,上单调递增，在和 上单调递减. 说明:函数可变形为 ,因此它的单调性同样可用 上述结论求解. 例19 函数 的最小值为_ _______. 【解析】 , 令， ， 则函数可转化为， .（【想一想】为什么不能直接 利用基本不等式求解） 令,则由在 上单调递增可知， ，则 . 故函数的最小值为 . 70 易错警示 很多同学在处理此题时，易犯如下错误： 由，得 ，故 函数的最小值为3.事实上，上述等号成立的条件为 ，即 ，这是不可能成立的，即等号无法取到，最小值为3是不正确的.利用基本 不等式解题时，若定义域或题设条件中的限制条件使等号不能成立，应利用其他方 法解答，如利用函数的单调性解题等. 71 【学会了吗丨变式题】 7.已知,，函数 ． （1）若，求 ； 【答案】由题意知所以解得 所以 ． 72 （2）若，当时，求 的最小值． 【答案】 ， 设，因为，所以 ， 令， ，（不能利用基本不等式求最值） 根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在 上单调递增， (到此处不能单纯以为的最小值为 ,应以区间端点为基准进行分类讨论) 当时在上单调递增，所以 , 当时在上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 73 当时在上单调递减，所以 ， 所以 2 利用图象求最值 例20 (2026·陕西省山阳中学期中)已知函数，， ， 用表示，中的较小者，记为，则函数 的 最大值为____. 【解析】令，解得或，即函数 与 图象的交点坐标为， ， 所以 75 图5.3-7 画出函数 的图象，如图5.3-7所示， 由图可知，所以 ． 76 求函数最值的方法 求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来 求函数最值 .求函数最值的常用方法有： （1）配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的 取值范围； （2）换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围； （3）数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出； （4）利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上 函数的最值. 77 【学会了吗丨变式题】 8.已知表示,,中的最大值，例如 ，若函数 ，则 的最小值为( ) B A.2.5 B.3 C.4 D.5 78 图D 5.3-1 【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数 ，， 的图象，因 为 ，所以 的图象如图D 5.3-1中实线所示： 由，可得 ，由 ，可得 ，由图 知 的最小值为3． 79 3 利用最值求参数 例21 当时,不等式恒成立，则实数 的取值范围为__________. 【解析】 , 由得 .（分离参数法） ,当且仅当，即时等号成立， 的最大值为 , . 故的取值范围为 . . . 80 例22 [多选题](2026·重庆市第十一中学校期中)已知函数 若的最小值为，则实数 的值可以是( ) AB A. B.0 C.1 D.2 【解析】当时， ， 则在上单调递减，所以 ， 当时，，则在上单调递增，所以当 时， ，所以，得.(因为的最小值为 ,所以只需 即可) 81 分离参数法 在求参数的取值范围时，可将参数 单独分离出来求解,我们称此种方法为分离参数法. 若对区间上的任意，恒成立，则 ; 若对区间上的任意,恒成立，则 ; 若在区间上存在使成立，则 ; 若在区间上存在使成立，则 . 其他情形（如 等）类似可得相应结论. 82 【学会了吗丨变式题】 9.(2026·湖南省邵阳市期中)已知函数在上的最大值为3，则实数 的 值为___. 3 【解析】，显然 . 当时，函数在上单调递减，则 ，解得 ； 当时，函数在上单调递增，则 ，解得 （舍去）. 综上， ． 83 10.二次函数满足 ，且不等式的解集为 . （1）求 的解析式； 【答案】由设 . 可化为 . 由题知，方程的两实根分别为 和3，所以 解得故 . 84 （2）在区间上，函数的图象总在一次函数 图象的上方，试确 定实数 的取值范围. 【答案】由题意，得，即 （分离参数），对 恒成立.令， ，则问题可转化为 . 因为在 上单调递减， 所以，故 . . . 85 题型4 二次函数最值问题的探究 1 定轴定区间 例23 已知函数，当自变量 在下列范围内取值时，求函数的最 大值和最小值： （1） ; 【解析】当时，恒成立.故函数的最小值为 ， 无最大值. 86 （2） ; 图5.3-8 【解析】函数 的图象如图5.3-8所示，由图可知， 在上，函数在处取得最大值，最大值为5;在 处取 得最小值，最小值为 . （3） . 【解析】由图5.3-8可知，函数在上单调递减,在 处取得最大值，最 大值为20；在处取得最小值，最小值为 . 【解析】 . 87 思路点拨 求函数的最大值、最小值问题，应先考虑定义域，由于是二次函数，所 以可以采用配方法和图象法求解. 名师点评 （1）函数在区间]上单调递减,在区间 上单调递增,当 时,函数取得最小值； （2）函数在区间]上单调递增,在区间[-, 上 单调递减,当 时,函数取得最大值. 88 2 动轴定区间 例24 已知函数，，求函数 的最小值. 【解析】， .（【会分析】区间固 定，对称轴不确定，结合区间端点分类讨论） 当时，函数的图象如图5.3-9（1）中实线所示,函数在区间 上单 调递减，最小值为 ； 当时，函数 的图象如图5.3-9（2）中实线所示,（【巧解题】注意结 合函数图象，用数形结合方法求解）函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，最小值为 ； . . 89 图5.3-9 当时，函数 的图象如图5.3-9（3） 中实线所示,函数在区间 上单调递增， 最小值为 . 综上所述， 90 3 定轴动区间 例25 已知函数,，的最小值为，试写出 的函数表达式. 【解析】，给定区间为, .（【会分析】 对称轴确定，区间变化，以对称轴是否在给定区间内分类讨论） 图5.3-10 当，即 时，函数图象如图5.3 -10（1）中实线部分所示，函数 在区 间 上单调递减，所以最小值 ； 当，即 时，函数图 象如图5.3-10（2）中实线部分所示，最小值 ； . . . . 91 当时，函数图象如图5.3-10（3）中实线部分所示，函数在区间 上 单调递增，所以最小值 . 综上可得 名师点评 本题为定轴动区间上的最值问题，其中区间是变化的，让区间从左向右沿 轴正方向 移动，分析移动到不同位置时对最值的影响.借助图形，可使问题显得直观、清晰. 4 动轴动区间 例26 设是正数，且函数在上的最大值为 ，求 的表达式. 93 【解析】, , . 将区间看作不动的，对称轴变化，可得如下讨论： （其本质还是根据对称轴与区间端点的位置进行讨论） ①当，即 时， 解得或 . 此时 . ②当，即 时， 94 解得 . 此时 . ③当，即时， . 综上所述， 名师点评 区间的变化与对称轴的变化是相互制约的，故必须对它们的制约关系（含参量）进 行讨论.分类讨论的标准为对称轴与 轴交点的横坐标是否在所给区间内. 96 求二次函数最值的常见类型及解法 求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据 抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区 间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而单调性又由抛物线的开口 方向和对称轴的位置来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类 讨论.#2 97 求二次函数在区间 上的最值一般分为以下几种情 况: （1）若在区间内，则最小值为，最大值为, 中较大者 （或区间端点,中与 距离较远的一个对应的函数值为最大值）; （2）若，则在区间上单调递增，最大值为 ，最小值为 ； （3）若，则在区间上单调递减，最大值为 ,最小值为 .#2.1.3 98 【学会了吗丨变式题】 11.已知函数在区间上有最大值4，则实数 的值为 _________. 或 【解析】①当时，函数在区间 上的值不变，恒为常数1，不符合题意， 舍去. ②当时，函数在区间上单调递增，最大值为 ,解得 . ③当时，函数在区间上单调递减，最大值为 ,解得 . 综上，的值为或 . 99 12.(2026·上海市行知中学期中)若函数在区间上的最大值是 ， 最小值是,则 ( ) B A.与有关，且与有关 B.与有关，但与 无关 C.与无关，且与无关 D.与无关，但与 有关 100 【解析】 . ①当时， ， ，故 , ，与有关，与 无关； ②当时，在上单调递增，故，与 有 关，与 无关； ③当时，在上单调递减，故，与 有 关，与 无关. 综上所述，与有关，但与 无关. 101 新考法 思维创新 例27 新定义 可逆函数(2026·安徽省淮南第二中学期中)已知是定义在 上的 函数，对于上任意给定的两个自变量的值，，当 时，如果总有 ，就称函数 为“可逆函数”． （1）判断函数 是否为“可逆函数”，并说明理由. 【解析】函数 不是“可逆函数”. 理由：函数的定义域为 , ,但 ,（举出一个反例即可） 不是“可逆函数”． 102 （2）已知函数在区间上是增函数，证明： ， 是“可逆函数”. 【解析】任取 ，则 ， 在区间 上是增函数， ， 又，， ， 在区间上是增函数，则当 时， 恒成立， ， 是“可逆函数”． 103 （3）证明：函数是“可逆函数”的充要条件为“ ”． 【解析】先证明充分性：当时，，则 的定义域为 . 任取，且 ， 则，即 ， 为“可逆函数”，充分性成立. 104 再证明必要性：假设当是“可逆函数”时， ，（反证法是一种常 用证明方法，先假设成立，再推出矛盾即可） 构造关于的方程，化简可得 ， 显然与 均不是方程的根， 又 ， 解方程可得，，且 ， 则，即，与 是“可逆函数”矛盾， 假设不成立，即 ，必要性成立. 综上所述，函数是“可逆函数”的充要条件为“ ”． 105 高考特性 考试课 素养聚焦 考情揭秘 函数的单调性是函数的重要性质之一，高考一般不单独考查，常与其他知识结合， 选择题、填空题主要将二次函数与后续学习的指数函数、对数函数等结合考查，解 答题常与后续学习的导数综合考查，难度中等或困难. 核心素养：逻辑推理（单调性的判断），数学运算（函数最值的求解）. 106 考向 函数的最值问题 例28 (北京高考题)设函数的定义域为，则“函数在 上单调递增”是 “函数在上的最大值为 ”的( ) A A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 图5.3-11 【解析】设函数在上单调递增，函数在 上 的最大值为，由单调性的定义可知，成立，而 不成立，举反例如图5.3-11所示. 107 例29 (2022·北京)设函数若存在最小值，则 的一个取值 为_________________; 的最大值为___. 0（答案不唯一） 【解析】当时，函数 （0是最为明显的区分点，找到一个符合的即可） 存在最小值0，所以 的一个取值可以为0； 当时，若， ， 此时函数 不可能存在最小值； 当 时， 若，则 ， 108 此时 ， 若，则 ， 若函数 存在最小值， 则，得 ； 当 时， 若，则 ， 此时 ， 若，则 ， 若函数 存在最小值， 则 ，此时不等式无解. 综上,，所以 的最大值为1. 高考新题型专练 1.［多选题］(2026·山东省菏泽市牡丹区月考)已知 ，下列说 法正确的是( ) BD A.在区间上单调递增 B.在区间 上单调递减 C.有最小值1 D. 有最大值1 110 【解析】画出 的大致图象，如图D 5.3-2所示, 图D 5.3-2 由图象可知，在区间上不单调，在区间 上单调递减，故A错误， B正确，当或时， 取得最大值,为1，无最小值，故C错误，D正确， 故选 ． 111 2.［多选题］(2026·河南省信阳市第十高级中学期中)设函数 存在最小值时，实数 的值可能是( ) AB A.0 B. C.2 D.1 【解析】当时，，所以当 时， .若，则 所以此时 ，即存在最小值.若，则当时， ，无最小 值.若，则当时，为减函数，则要使 存在最小值，则 解得.综上或．故选 ． 112 练习训练 习题课 质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.(2026· 山东省泰安第一中学期中)下列有关函数单调性的叙述中，正确的是( ) C A. 在定义域上为增函数 B.在 上单调递增 C.的减区间为 D.在 上必为增函数 【解析】对于A，函数的定义域为，函数在和 上都 是增函数，但不能说在整个定义域上为增函数；对于B，函数在 上单调递减； 对于C，由，可求得减区间为 ；对于D， 函数的单调性与 的取值有关. 113 2.(2026·湖南省长沙市期中)设，已知函数是定义在 上的减函数， 且，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为函数是定义在上的减函数，且 ，所以 ，解得 . 114 3.已知函数若对任意的， ， 且，都有，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】因为对任意的，，且，都有 ， 所以函数在R上单调递增，所以 解得 ,故 ． 115 4.已知函数若是的最小值，则 的取值范围为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由于当时，在时取得最小值，最小值为 , 由题意得当时， , 若，则的最小值为 , 则,即，故 ; 若，则 ,与已知矛盾，舍去. 综上，的取值范围为 . 116 5.[多选题] 已知函数，下列关于函数 的单调性说法 正确的是( ) BD A.函数在 上不具有单调性 B.当时，在 上单调递减 C.若的单调递减区间是，则的值为 D.若在区间上是减函数，则的取值范围是 117 【解析】对于A，当时， 在R上单调递减，故A错误；对于B， 当时，，函数图象的对称轴方程为 ，单调递减区间 为，故B正确；对于C，若的单调递减区间是(，则 ， 且，无解，故C错误；对于D，当时，满足在区间 上是减函数， 当时，若在区间上是减函数，则且 ，解得 ，所以的取值范围是，故D正确．故选 ． （分析B，C，D选项时，要准确辨别单调区间是什么和在区间上单调这两个概念， 前者可理解为“全集”，后者可理解为“子集”） 118 6.[多选题] (2026·陕西省咸阳市实验中学月考)已知， , 则 ( ) AD A.无最小值 B.最小值为 C.无最大值 D.最大值为 119 【解析】 的图象如图D 5.3-1中实线所示： 图D 5.3-1 由图象可得 有最大值，无最小值， 当时，由,解得（舍去）或，此时 的最大值为．故选 ． 120 7.新考法 结构不良 在①，② 这两个条件中任选一个，补充到 下面问题的横线中，并求解该问题. 已知函数 . （1）当时，求在 上的值域; 【答案】当时， , 在上单调递减，在 上单调递增, , . 的值域为 . 121 （2）若____,，求实数 的取值范围. 【答案】选择条件①.易知函数图象的对称轴为直线 . 若,即,则在 上单调递增, ,即,又, . 若,即,则在上单调递减，在 上单调递增， ，即 . 若,即,则在 上单调递减, ,即 , 又, . 122 综上所述，实数的取值范围为 . 选择条件②., , ,即.（ 图象开口向上， 最大值一定在端点处 取得） 或,即或,解得或 , .故实数的取值范围为 . . . 123 8.已知，，， . （1）当时，求函数 的最小值； 【答案】当时，, , 若，则在)上单调递减，在上单调递增，故当 时， ； 若，则在上单调递增，故当时， . 综上，时，的最小值为1；时，的最小值为 . 124 （2）当时，求函数 的最大值. 【答案】当时，, , 函数的图象的对称轴方程为 ，且图象开口向上. 当时，在上单调递增，则 . 当时，在上单调递减，在 上单调递增，则 . 令得，所以若,,若 ， . 当时，在上单调递减，则 . 综上，时，的最大值为;时， 的最大值为1. 125 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 9.已知函数,.若对, , ，使得，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 ，令 , ， 再令, ， . . 126 在上单调递减，上单调递增，所以 ，所以 , 所以 . 易知在区间上单调递增，所以 ， 又，,,使得 ，所以 , 所以解得 . 所以的取值范围是 . 127 10.(2026·广东省东莞市东华高级中学月考)若定义在上的函数 满足 ,则 的单调递增区间为( ) B A.和 B.和 C.和 D.和 【解析】因为定义在上的函数满足 ,所以 ，(令,代入已知解析式，求得,进而求 ) 所以 ， 当 时，的单调递增区间为，当时， 的单调递增区间为 . 故的单调递增区间为和 . . . 128 11.[多选题] 已知函数的定义域为，当 时， 恒成立，则( ) ABC A.在上单调递减 B.在 上单调递减 C. D. 【解析】由已知得 （通过变形发现能转化为判断单调性的 等价形式），故函数在 上单调递减，故A正确； 令 ，则 ，所以 在 上单调递减，故B正确； 结合A选项可知，，故C正确，D错误．故选 ． . . 129 12.将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯 形，记，则 的最小值是_ ____． 【解析】设剪成的小正三角形的边长为 , 则 . 令,则, , (通过换元使得分母或分子上不含有常数项，进而利用基本不等式或函数的性质求最 值，这是常用的解题思路) 则 . 130 令 . 易知二次函数的图象开口向下，图象的对称轴为直线 ， 且当有最大值时，有最小值，即当,时，的最小值是 . （【避易错】此题包含层次较多，一是二次函数图象开口向下，二是反比例函数与 二次函数相结合，三是需要判断对称轴的位置，三者结合，极易出错） 131 13.为实数，函数在区间上的最大值记为.当 _________ 时， 的值最小. 【解析】分以下几种情况进行讨论. ①当时，函数在区间 上单调递增，所以 ； ②当时，， ，而 ，所以 ； 132 ③当时，,,而 ,所以 ； ④当时，在区间上单调递增，当 时， 取得最大值,即 . 综上可得,且在 上单调递减，在 上单调递增，所以当时， 的值最小. 133 14.(2026·山西省晋中市期中)函数对任意的， ，都有 ，并且时，恒有 ． （1）求证：在 上是增函数； 【答案】任取实数,,且，则 , 当时，, ． 又 , ,即 , 故在 上是增函数． 134 （2）若，解不等式 ; 【答案】,,不妨设 , ,即 , , ,即, , , 原不等式可化为 . 在上是增函数，, ． 故不等式的解集为 . 135 （3）若关于的不等式恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】令,则, , 可变形为 , ,则由在上是增函数知 恒成立， 即恒成立， , . 136 C 培优练丨能力提升 15.新考法 新定义题 (2026·广东省深圳市坪山高级中学期末)已知函数 ，若 对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数 满足 性质 . （1）判断函数：①；②是否满足性质 . （直接写出判断结果，不用证明） 【答案】①不满足性质 ; 137 ②满足性质 .理由如下： ①中，可取零，而中，不能取零，因此不满足性质 ;（要说明不 满足性质 时，只需举一个反例即可） ②由得 ，且对其定义 域内任意给定的实数都成立，因此满足性质 . 138 （2）若满足性质,在定义域上单调，且对 都成立，解关于的不等式 . 【答案】因为满足性质，且定义域为 , 所以当时，，得到 . 因为在上单调，且在时恒有 , 所以在 上单调递减. 由得到 , 即，因为在 上单调递减, 所以，即，即 , ①当时，不等式为，不等式解集为 ; 139 ②当时，不等式解集为 ; ③当，即时，不等式为，不等式解集为 ; ④当时，，不等式解集为 ; ⑤当时，，不等式解集为（ ,1）. 140 （3）在（2）的条件下，已知,,， ，证明： . 【答案】已知,,, , 因为，所以 , 因为在上是单调函数，所以，即 , 因为，所以 . 141 $