5.2 第1课时 函数的表示方法-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数的表示方法，通过京沪高铁路程计算、出生人口变化曲线、氰化物浓度关系表三个实际情境导入，衔接初中函数知识，引导学生从具体实例中抽象出解析法、列表法、图象法，搭建从实际到理论的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过情境实例、一题多解（如换元法与配凑法求解析式）、通性通法总结，帮助学生理解函数表示的本质。自我诊断与分层作业设计，既强化数学运算能力，又满足不同学生需求，教师可借助结构化内容提升教学效率，学生能在实践中发展数学思维与应用意识。

5.2　函数的表示方法 第1课时　函数的表示方法 第五章　函数概念与性质 1 课标 要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用（数学抽象、直观想象）. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用（数学抽象、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　（1）已建成的京沪高速铁路总长 约1 318千米，设计速度目标值380 千米/时，若京沪高速铁路时速按300 千米/时计算，火车行驶x小时后，路 程为y千米，则y是x的函数，可以用 y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数的解析式； （2）如图是我国近五年出生人口变化曲线： 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 【问题】　根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么方法表示 函数的？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点　函数的表示法 数学·必修第一册（SJ） 目录 提醒：函数三种表示法的优缺点比较 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为 （　　） A. y＝ B. y＝－x C. y＝ D. y＝ √ 解析： 　设y＝ ，由题意得1＝ ，解得k＝2，所以y＝ .故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知，下 列说法中错误的是（　　） A. 这天15时的温度最高 B. 这天3时的温度最低 C. 这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D. 这天21时的温度是30 ℃ √ 解析： 这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14（℃），故C 错误. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·淮安月考）已知函数f（x）＝3－2 ，则f（x2）＝ ⁠ ⁠. 解析：因为函数f（x）＝3－2 ，所以f（x）是常数函数，所以函数f （x2）＝3－2 . 4. 已知函数f（x）由下表给出，则f（f（3））＝ ⁠. x 1 2 3 4 f（x） 3 2 4 1 解析：f（3）＝4，f（f（3））＝f（4）＝1. 3－ 2 1 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 12 题型一　函数的三种表示方法 （链接教科书第113页例1）购买某种笔记本x本，需要y元.若每本2 元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}） 的函数，并指出该函数的值域. 解：①解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}. ②列表法： x/本 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 ③图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6）， （4，8）组成，如图所示. 函数的值域是{2，4，6，8}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 1. 函数的三种表示法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数 值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象 法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变 量的个数较少. 2. 用三种表示法表示函数时的注意点 （1）解析法必须注明函数的定义域； （2）列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； （3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 数学·必修第一册（SJ） 目录 已知函数f（x）＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法 表示函数y＝f（x）. 解：用图象法表示函数y＝f（x），如图所示. 用列表法表示函数y＝f（x），如表所示. x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　函数解析式的求法 角度1　用待定系数法求函数解析式 （1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，求f （x）的解析式； 解： 设f（x）＝kx＋b（k≠0）， 则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25， ∴ ∴ 或 ∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）已知f（x）为二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x，求f （x）的解析式. 解： 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 则f（x＋1）＋f（x－1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＋a（x－1）2 ＋b（x－1）＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 则 得 ∴f（x）＝x2－2x－1. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 用待定系数法求函数解析式的步骤 （1）设出所求函数含有待定系数的解析式； （2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，得到待定系数的值； （4）将所求待定系数的值带回所设的解析式. 数学·必修第一册（SJ） 目录 角度2　利用换元法（配凑法）求函数解析式 〔一题多解〕已知函数f（x）满足f（ ＋1）＝x＋2 ，求f （x）的解析式. 解：法一（换元法）　令t＝ ＋1，则x＝（t－1）2，t≥1， 所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）， 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 法二（配凑法）　f（ ＋1）＝x＋2 ＝x＋2 ＋1－1＝（ ＋1）2 －1. 因为 ＋1≥1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 换元法（配凑法）求函数解析式 　　已知f（g（x））＝h（x）求f（x），有两种方法： （1）换元法：即令t＝g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的 解析式，再用x替换t，便得到f（x）的解析式.利用换元法解题时，换元 后要确定新元t的取值范围，即函数f（x）的定义域； （2）配凑法：即从f（g（x））的解析式中配凑出g（x），用g（x） 来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可. 数学·必修第一册（SJ） 目录 角度3　方程组法求函数解析式 已知函数f（x）满足f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x，求f（x）的解 析式. 解：因为f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x， 将x换成－x，得f（－x）＋2f（x）＝x2－2x， 联立，得 将①、②两式消去f（－x）， 得3f（x）＝x2－6x， 所以f（x）＝ x2－2x. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 方程组法求函数解析式 　　方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如 互为相反数的f（－x），f（x）的函数方程，通过对称规律再构造一个 关于f（－x），f（x）的方程，联立解出f（x）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （1）已知函数f（x）是一次函数，若f（f（x））＝4x＋8，求f（x） 的解析式； 解： 设f（x）＝ax＋b（a≠0）， 则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b. 又f（f（x））＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即 解得 或 ∴f（x）＝2x＋ 或f（x）＝－2x－8. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）〔一题多解〕已知函数f（x）满足f（x－1）＝x2＋4x－5，求f （x）的解析式； 解： 法一（换元法）　令t＝x－1，则x＝t＋1，则f（t）＝（t＋ 1）2＋4（t＋1）－5＝t2＋6t， 所以f（x）的解析式是f（x）＝x2＋6x. 法二（配凑法）　因为f（x－1）＝x2＋4x－5＝（x－1）2＋6（x－ 1）， 所以f（x）的解析式是f（x）＝x2＋6x. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）已知函数f（x）满足f（x）＋2f（ ）＝x（x≠0），求f（x）的 解析式. 解： ∵f（x）＋2f（ ）＝x， ① 用 代替x得f（ ）＋2f（x）＝ ， ② 由2×②－①，消去f（ ）并整理得f（x）＝ － （x≠0）， ∴函数f（x）的解析式为f（x）＝ － （x≠0）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列各式为y关于x的函数解析式的是（　　） A. y＝ （x≥0） B. y2＝x（x≥0） C. x2＋y2＝1 D. ｜y｜＝x2＋1 √ 解析： 对于A，对任意的x≥0，按照对应关系y＝ 都有唯一确定的 y与之对应，符合函数的定义，而B、C、D都不符合函数的定义，故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·淮安期中）已知函数f（x）＝ax3＋x－8，且f（－2）＝10， 则f（2）＝（　　） A. －10 B. －26 C. 26 D. 18 √ 解析： 　函数f（x）＝ax3＋x－8，由f（－2）＝10，得－8a－10＝ 10，解得8a＝－20，所以f（2）＝8a－6＝－26.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 已知函数f（x），g（x）分别由下表给出. x 4 5 6 f（x） 1 3 1 x 1 2 3 g（x） 4 5 4 则g（f（5））＝ ；f（g（2））＝ ⁠. 解析：由题表可知f（5）＝3，g（3）＝4，∴g（f（5））＝g（3）＝4. 又g（2）＝5，f（5）＝3，∴f（g（2））＝f（5）＝3. 4 3 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. （1）用长为10 m的铁丝围成矩形，试将矩形面积S（单位：m2）表示 为矩形一边长x（单位：m）的函数，并画出函数的图象； 解： 由题意知，矩形一边长为x，矩形另一边长为 （10－2x）＝5－x， 由 得0＜x＜5，则S＝x·（5－x）＝－x2＋ 5x（0＜x＜5）， 函数图象如图所示. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）用细铁丝围一个面积为1 m2的矩形，试将所用铁丝的长度l（单位： m）表示为矩形的某条边长x（单位：m）的函数. 解： 由题意知，矩形一边长为x，矩形的另一边长为 ， 则l＝2（x＋ ）（x＞0）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 31 1. 〔一题多解〕已知函数f（x＋1）＝x2，则f（－1）＝（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　法一　由f（x＋1）＝x2，令x＋1＝－1，得x＝－2，所以f （－1）＝f（－2＋1）＝（－2）2＝4.故选D. 法二　令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f（t）＝（t－1）2，所以f（x）＝ （x－1）2，f（－1）＝（－1－1）2＝4.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·泰州中学期中）一次函数f（x）＝ax＋b（a＜0），且f（f （x））＝9x＋16，则（　　） A. f（x）＝3x－8 B. f（x）＝3x＋8 C. f（x）＝－3x＋8 D. f（x）＝－3x－8 √ 解析： 　f（f（x））＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋16，故 a2＝9且ab＋b＝16，结合a＜0，解得a＝－3，b＝－8，所以f（x）＝－ 3x－8.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 已知函数y＝f（x）的对应关系如表所示，函数y＝g（x）的图象是如图所示的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f（g（2））＝（　　） x 1 2 3 f（x） 2 3 0 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 √ 解析： 由函数图象可知g（2）＝1，由表格可知f（1）＝2，故f（g （2））＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 〔一题多解〕（2026·扬州质检）已知函数f（x＋1）＝x2－x＋3，则 f（x）＝（　　） A. x2－3x＋5 B. x2－x＋5 C. x2－3x＋3 D. x2＋x＋3 √ 解析： 　法一（配凑法）　由于f（x＋1）＝（x＋1）2－3（x＋1）＋ 5，所以f（x）＝x2－3x＋5.故选A. 法二（换元法）　设t＝x＋1，则x＝t－1，则f（t）＝（t－1）2－（t －1）＋3＝t2－3t＋5，即f（x）＝x2－3x＋5.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕已知函数f（x＋1）＝x2－3x，且f（a）＝－2，则a的值为 （　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 √ √ 解析： 　由x2－3x＝－2得x＝1或x＝2，所以a＝1＋1＝2或a＝1＋2 ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（　　） A. f（－3）＝4 B. f（x）＝ C. f（x）＝x2 D. f（3）＝9 √ √ 解析： f（2x＋1）＝x2，令t＝2x＋1，则x＝ ，所以f（t）＝ ＝ ，则f（x）＝ ，故B正确，C错误；f（－3）＝ ＝4，故A正确；f（3）＝ ＝1，故D错误.故选 A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 已知函数f（x）对任意实数x都有f（x）＋2f（－x）＝2x＋1，则f （x）＝ ⁠. 解析：由题意得， 解得，f（x）＝－ 2x＋ . －2x＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y （cm3）与长方体的宽x（cm）之间的表达式是 ⁠ ⁠. 解析：由题意知，长方体的长为（x＋10）cm，从而长方体的体积y＝80x （x＋10），x＞0. y＝80x（x＋10），x∈ （0，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（1－x）＋2f（x）＝x2＋1，则f （1）＝ ⁠. 解析：当x＝0时，f（1）＋2f（0）＝1①，当x＝1时，f（0）＋2f（1） ＝2②.由②×2－①得3f（1）＝3，解得f（1）＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做 成一个正方形.试分别用解析法、列表法、图象法将两个正方形的面积之 和S（单位：cm2）表示成其中一段铁丝长x（单位：cm，x∈N*）的函数 关系. 解：其中一段铁丝长x，另一段铁丝长为10－x，由 得0＜x＜ 10，又x∈N*， 所以函数的定义域为{x｜0＜x＜10，x∈N*}. （1）解析法：S＝（ ）2＋（ ）2，整理得S＝ x2－ x＋ ， x∈{x｜0＜x＜10，x∈N*}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）列表法： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （3）图象法：函数图象如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总 有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”.这个定义较清楚地说明 了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个 确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形 式.已知函数f（x）由下表给出，则f ＝（　　） x x≤1 1＜x＜2 x≥2 f（x） 1 2 3 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　∵ ∈（－∞，1]，∴f ＝1，则10f ＝10，∴f ＝f（10）.又∵10∈[2，＋∞），∴f（10）＝3，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕已知f（x）＝ ，则下列关系式中正确的是（　　） A. f（－x）＝－f（x） B. f（ ）＝－f（x） C. f（ ）＝f（x） D. f（－ ）＝－f（x） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　f（－x）＝ ＝ ＝f（x），故选项A错误.f （ ）＝ ＝ ＝－f（x），故选项B正确，选项C错误.f（－ ）＝ ＝ ＝－f（x），故选项D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（xy）＝f（x）＋f（y）， 且f（2）＝1，则f（1）＝ ，f（ ）＝ ⁠. 解析：∵f（2）＝f（2×1）＝f（2）＋f（1），∴f（1）＝0.又f（1） ＝f（2× ）＝f（2）＋f（ ）＝0，∴f（ ）＝－1. 0 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 已知函数f（x）＝ （m∈R）的图象经过点（2，－1）. （1）求函数f（x）的解析式； 解： 将点（2，－1）代入得－1＝ ， 解得m＝2， 则f（x）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）求f[f（－1）]的值； 解： f（－1）＝ ＝－ ， 则f[f（－1）]＝f ＝ ＝－ . （3）当f[f（x）]＝5时，求x的值. 解： 令f（x）＝t， 则f（t）＝5，即 ＝5，解得t＝8， 则f（x）＝8，即 ＝8，解得x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $