5.1 第3课时 函数的图象-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数图象的定义、描点法作图步骤及应用，从初中已学一次函数等图象入手，结合心电图等生活实例，通过问题“初中用什么方法画函数图象”衔接，搭建新旧知识支架，帮助学生自然过渡。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实情境，“数学思维”通过典例分层探究（如画不同定义域函数图象、利用图象比较大小）培养逻辑推理与几何直观，“数学语言”体现在通性通法总结（如描点法三要点、二次函数值域步骤）。实例丰富如母题探究改变定义域，学生提升作图与应用能力，教师可直接使用分层练习提升教学效率。

5.1　函数的概念和图象 第3课时　函数的图象 第五章　函数概念与性质 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 3 　　在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y＝2x－1，y＝ （x≠0）以及y＝x2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电 图、电磁波型图等. 【问题】　在初中我们是采用什么方法来画函数图象的？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点　函数的图象 1. 定义：将自变量的一个值x0作为 ，相应的函数值f（x0）作 为 ，就得到坐标平面上的一个点 .当自变 量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点 组成的集合（点集）为{（x，f（x））｜x∈A}，即{（x，y）｜y＝f （x），x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f（x）的图象. 横坐标　 纵坐标　 （x0，f（x0））　 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 描点法作函数图象的步骤 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列四个图形中，不是函数图象的是（　　） √ 解析： 　根据函数的定义知：若y是x的函数，则x确定一个值，y就随 之唯一确定一个值，体现在图象上即图象与平行于y轴的直线最多只能有 一个交点，对照选项，可知只有B选项不符合此条件.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 函数y＝x＋1，x∈Z，且｜x｜＜2的图象是（　　） √ 解析： 　由题意知，函数的定义域是{－1，0，1}，值域是{0，1，2}， 函数的图象是三个点，故C正确. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 直线x＝a和函数y＝f（x），x∈[m，n]的图象有1个交点 B. 函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线 C. 函数f（x）＝x＋1与g（x）＝x＋1（x∈N）的图象不相同 D. 函数y＝f（x），x∈A图象上所有的点组成的集合是{（x，y）｜y ＝f（x），x∈A} √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　A中，若a∈[m，n]，则x＝a与y＝f（x）有一个交点，若 a∉[m，n]，则x＝a与y＝f（x）无交点，故A错误；B中，f（x）＝ ，x∈{1，2，3，4，5}的图象就不是连续的曲线，故B错误；C中，两函 数的定义域不同，则图象不同，故C正确；由函数的定义知D选项正确.故 选C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（f（－2））＝ ⁠. 解析：由图可知f（－2）＝3，故f（f（－2））＝f（3）＝1. 1 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 12 题型一　函数图象的画法 （链接教科书第108页例4）试画出下列函数的图象： （1）y＝3x－1，x∈[0，2]； 解：当x∈[0，2]时，图象是直线y＝3x－1的一部分，图象如图① 所示. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）y＝x2＋x，x∈R； 解： y＝x2＋x＝（x＋ ）2－ ，故函数图象的对称轴为x＝－ ，顶点 为（－ ，－ ）. 又y＝x2＋x图象开口向上，且与x轴、y轴分别交于点（－1，0），（0， 0）.故图象如图②所示. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）y＝（x＋ ）2－ ，x∈[－1，1）. 解： y＝（x＋ ）2－ ，x∈[－1，1）的图象是y＝x2＋x，x∈R的图 象上x∈[－1，1）的一段， 其中点（－1，0）在图象 上，用实心点表示；点 （1，2）不在图象上，用空 心点表示.故图象如图③所 示. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 （变条件）若将本例（2）中“x∈R”改为“x∈{－1，0，1，2，3}”， 如何求解？ 解：列表： x －1 0 1 2 3 y 0 0 2 6 12 由表中数据，描点画出函数的图象是5个点，如图所示. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 描点法作函数图象的三个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图 象； （3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要 分清这些关键点是实心点还是空心点. 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的 点等. 数学·必修第一册（SJ） 目录 画出下列函数的图象： （1）y＝ ，x∈[－2，0）∪（0，1）； 解： 当x∈[－2，0）∪（0，1）时，图象是反比例函数y＝ 的一部 分，所画函数图象如图1所示. （2）y＝2x2－4x－3，x∈[0，3）. 解： ∵y＝2（x－1）2－5，∴当x＝0 时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y ＝－5.所画函数图象如图2所示. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　利用函数图象求值或比较大小 （链接教科书第109页例6）画出函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图象， 并根据图象回答下列问题： （1）比较f（0），f（1），f（3）的大小； 解：因为函数f（x）＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4的定义域为R， 列表： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … f（x） … －5 0 3 4 3 0 －5 … 描点，连线，得函数图象如图， （1）根据图象，容易发现f（3）＜f（0）＜f（1）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若x1＜x2＜1，试比较f（x1）与f（x2）的大小. 解：根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时，有f（x1）＜f（x2）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 （变条件）若将本例（2）中的条件“x1＜x2＜1”改为“x1＞x2＞1”，试 比较f（x1）与f（x2）的大小. 解：当x1＞x2＞1时，结合图象知f（x1）＜f（x2）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 借助函数图象比较函数值的大小的关键点 　　利用函数图象比较大小的关键是根据自变量的值找到图象上的对应 点，自上向下看各点函数值由大到小，当两点连线平行于x轴时，函数值 相等；对于二次函数也可以比较两个自变量离对称轴的距离，再结合图象 判断函数值的大小. 数学·必修第一册（SJ） 目录 根据如图所示的函数y＝f（x）的图象填空： （1）f（0）＝ ，f（－2）＝ ，f（f（2））＝ ⁠； 解析： 由函数y＝f（x）的图象可知，f（0）＝ 4，f（－2）＝3，f（f（2））＝2. 4 3 2 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若－1＜x1≤x2＜2，则f（x1）与f（x2）的大小关系为 ⁠ ⁠. 解析： 由y＝f（x）的图象可知，在x∈（－1， 2）上函数值随着x的增大逐渐变小.当－1＜x1≤x2＜2 时，f（x1）≥f（x2）. f（x1）≥f （x2） 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　利用函数图象求函数的值域 （链接教科书第111页练习2题）作出下列函数的图象并求出其值域： （1）y＝2x＋1，x∈[0，2]； 解： 列表： x 0 2 y 1 5 当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可 知，其值域为[1，5]. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 解： 列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画出图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分.由图象可得函数的值域是[－1，8]. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 1. 一般地利用图象法求函数的值域时，先作出函数的图象，再观察其最高 点或最低点，即可求出值域. 2. 求二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）在[m，n]上的值域的步 骤： （1）配方，找对称轴； （2）判断对称轴与区间的关系； （3）借助图象求值域. 数学·必修第一册（SJ） 目录 已知函数f（x）＝－x2＋4x－2，x∈[0，3]. （1）画出f（x）图象的简图； 解： 函数f（x）＝－x2＋4x－2＝－（x－2）2＋2， 其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为（2，2），且其图象开 口向下，f（3）＝1，f（0）＝－2，f（x）图象的简图如 图所示. （2）根据图象写出f（x）的值域. 解： 观察f（x）的图象可知，f（x）图象上所有点的纵坐标的取值 范围是[－2，2]，则f（x）的值域是[－2，2]. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列图形是函数y＝－｜x｜，x∈[－2，2]的图象的是（　　） √ 解析： 　当x＝2时，y＝－2，当x＝－2时，y＝－2.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知函数y＝ax2＋b的图象如图所示，则a和b的值分别为（　　） A. 0，－1 B. 1，0 C. 1，－1 D. －1，1 √ 解析： 　由图象可知，当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，即 解得 故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 函数f（x）＝ ，x∈[0，＋∞）的值域为 ⁠. 解析：函数图象如图所示，由图象得函数的值域为[0，＋∞）. [0，＋∞） 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 画出函数f（x）＝x2＋2x＋3的图象，根据图象回答下列问题： （1）比较f（－2），f（1），f（2）的大小； （1）由图象知，f（－2）＜f（1）＜f（2）. 解：函数f（x）＝x2＋2x＋3的图象如图所示. （2）若x1＜x2＜－1，比较f（x1）与f（x2）的大小. 解：由图象知当x1＜x2＜－1时，f（x1）＞f（x2）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 33 1. 已知函数f（x）＝x－ ，且此函数图象过点（5，4），则实数m的值 为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　由题意知f（5）＝5－ ＝4，∴m＝5.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的定义域是（　　） A. R B. （－∞，1）∪（1，＋∞） C. （－∞，0）∪（0，＋∞） D. （－1，0） √ 解析： 　由题图知x≠0，即x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 函数y＝x－1（x≥0）的图象是（　　） A. 一条射线 B. 一条线段 C. 两条射线 D. 一条直线 解析： 　函数y＝x－1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0时，所得 到的图象为一条射线.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 如果函数f（x）＝x2＋2x－3，x∈[0，2]，那么函数f（x）的值域为 （　　） A. [－4，＋∞） B. [－4，5] C. [－3，5] D. [0，5] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： f（x）＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，函数图象开口向上，对 称轴为x＝－1，所以函数f（x）在x∈[0，2]上随x增大y值逐渐增大， 所以f（x）min＝f（0）＝－3，f（x）max＝f（2）＝5，所以函数f（x） 的值域为[－3，5].故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕函数f（x）＝ 的图象可能是（　　） √ √ √ 解析： 　当a＝0时，f（x）＝ ＝ ，选项C符合；当a＞0时，函数 定义域为R，选项B符合；当a＜0时，则x≠± ，选项A符合，选项D 不符合.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，2]，则其定义域可能是 （　　） A. [0，1] B. [1，2] C. D. [－1，1] √ √ √ 解析： 　如图，画出函数y＝x2－2x＋2的图象，由图 象易知，当值域为[1，2]时，其定义域可为A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 已知函数f（x）的图象如图所示，则此函数的定义域是 ⁠ ，值域是 ⁠. 解析：由图象知x∈[－3，3]，y∈[－2，2]. [－3， 3]　 [－2，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别 为（0，0），（1，2），（3，1），则f（ ）＝ ⁠. 解析：由题意知，f（3）＝1，所以f（ ）＝f（1）＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 如图是李明晨练时离家的距离（y）与行走时间（x）之间函数关系的 图象，若用黑点表示李明家的位置，并且他在行走过程中没有停下休息， 则李明散步行走的路线可能是 . 解析：由图象知，李明开始离家越来越远，是匀速离开，最后匀速回家， 中间一段时间，离开家的距离不变，故图④适合. ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 作出下列函数的图象： （1）y＝1－x（x∈Z）； 解： 因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图 ①所示. （2）y＝x2－4x＋3，x∈[1，3]； 解： y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1， 当x＝1，3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）y＝ . 解： 当x＞0时，图象是反比 例函数y＝ 在第一象限的曲线； 当x＜0时，图象是反比例函数y＝ － 在第二象限的曲线，其图象如 图③所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 已知函数f（x）＝x2＋bx＋c且f（1＋x）＝f（－x），则下列不等 式中成立的是（　　） A. f（－2）＜f（0）＜f（2） B. f（0）＜f（－2）＜f（2） C. f（0）＜f（2）＜f（－2） D. f（2）＜f（0）＜f（－2） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　∵f（1＋x）＝f（－x），∴（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝x2 －bx＋c，∴x2＋（2＋b）x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c，∴2＋b＝－b， 即b＝－1.∴f（x）＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝ ，画出函数f （x）的图象（图略），易知f（0）＜f（2）＜f（－2）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x＝－1.则下列结论正确的是（　　） A. b2＞4ac B. 2a－b＝1 C. a－b＋c＝0 D. 5a＜b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A 正确；对称轴为x＝－1，即－ ＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象， 当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；函数图象开口向下，所以 a＜0，所以5a＜2a，又b＝2a，即5a＜b，D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 若函数y＝x2－4x的定义域为[－4，a]，值域为[－4，32]，则实数a 的取值范围为 ⁠. 解析：y＝x2－4x的图象过点（4，0），（0，0）且关 于直线x＝2对称，如图所示.当x＝－4或8时，y＝ 32，当x＝2时，y＝－4，要使值域为[－4，32]，只 需a∈[2，8]即可. [2，8] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （1）求a的值和图象的顶点坐标； 解： 把点P（－2，3）代入y＝x2＋ax＋3中， ∴a＝2， ∴y＝x2＋2x＋3， ∴顶点坐标为（－1，2）. 14. 如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P（－2，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解： ①当m＝2时，n＝11. ②∵点Q到y轴的距离小于2，∴｜m｜＜2， ∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11，故n的取值范围为[2，11）. （2）若点Q（m，n）在该二次函数图象上： ①当m＝2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象求出n的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $