4.2.1 对数的概念-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数的概念，通过细胞分裂情境导入，先回顾指数式中分裂次数与细胞个数的关系，再提出已知个数求次数的问题，搭建从指数到对数的学习支架，系统呈现概念、互化及基本性质。 其亮点在于融入数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，如情境导入培养数学眼光，典例研析按题型分类并总结通性通法，帮助学生形成思维框架。分层练习设计让学生巩固基础提升能力，教师可直接使用提升教学效率。

4.2　对数 4.2.1　对数的概念 第四章　指数与对数 1 课标 要求 1.理解对数、常用对数、自然对数的概念（数学抽象）. 2.会进行对数式与指数式的互化（数学抽象、逻辑推理）. 3.会求简单的对数值（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8 个，…. 【问题】　（1）依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是 多少？ （2）若已知细胞分裂后的个数N，怎样求分裂的次数呢？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点　对数的概念 1. 对数的概念 一般地，如果ab＝N（a＞0，a≠1），那么就称b是 ⁠ ，记作 ，其中，a叫作对数的 ，N叫作 ⁠ ⁠. 以a为底N的对 数　 logaN＝b　 底数　 真 数　 数学·必修第一册（SJ） 目录 ①指数运算和对数运算互为逆运算；②弄清对数式与指数式的互化是掌握 对数运算的关键. 提醒：指数式与对数式的互化（其中a＞0，且a≠1）： 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 常用对数与自然对数 3. 对数的基本性质 （1）负数和0没有对数； （2）loga1＝ （a＞0，且a≠1）； （3）logaa＝ （a＞0，且a≠1）； （4）logaab＝ （a＞0，且a≠1，b∈R）； （5） ＝ （a＞0，且a≠1，N＞0）. 0　 1　 b　 N　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 对数式logaN是不是loga与N的乘积？ 提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是 一个实数. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 若a2＝M（a＞0，且a≠1），则其对数式为（　　） A. loga2＝M B. logaM＝2 C. logM2＝a D. logMa＝2 √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 下列说法正确的有（　　） A. 对数式log32与log23的意义一样 B. lg 10＝0 C. 若ln N＝ ，则N＝（ ）e D. 若log2x＝3，则x＝8 √ 解析： 　对于A，log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对 数，故A错误；对于B，lg 10＝1，故B错误；对于C，ln N＝ ，则N＝ ，故C错误；对于D，x＝23＝8，故D正确. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3.2－3＝ 化为对数式为（　　） A. lo 2＝－3 B. lo （－3）＝2 C. log2 ＝－3 D. log2（－3）＝ √ 解析： 　根据对数的定义知选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 若log3 ＝0，则x＝ ；若 ＝36，则x＝ ⁠. 解析：由 ＝1得，x＝3；由 ＝36得，5x＋1＝36，解得x ＝7. 3 7 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 14 题型一　对数的概念 〔多选〕下列说法正确的有（　　） A. 只有正数有对数 B. 任何一个指数式都可以化成对数式 C. 以5为底25的对数等于2 D. 使log2（x－1）有意义的x的范围为（1，＋∞） √ √ √ 解析： 　由对数的概念及基本性质可得，A正确；B错误，如（－2）2 ＝4就不能化成对数式；由log525＝log552＝2，C正确；由x－1＞0，得x＞ 1，log2（x－1）有意义，D正确.故选A、C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 对数式有意义的判断问题 　　利用式子logab⇒ 求字母的范围. 数学·必修第一册（SJ） 目录 使式子log（2x－1）（2－x）有意义的x的取值范围为 ⁠ ⁠. （ ，1）∪（1， 2） 解析：由题意得 解得 ＜x＜2，且x≠1， 所以x的取值范围为（ ，1）∪（1，2）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　指数式与对数式的互化 （1）（链接教科书第87页例1）将下列指数式化为对数式： ①53＝125；②3－2＝ ；③4a＝20；④（ ）b＝0.45. 解： ①因为53＝125，所以log5125＝3. ②因为3－2＝ ，所以log3 ＝－2. ③因为4a＝20，所以log420＝a. ④因为（ ）b＝0.45，所以lo 0.45＝b. 数学·必修第一册（SJ） 目录 ①log264＝6；②lo 2＝－2； ③ln a＝－1.699；④lg 0.01＝－2. 解： ①因为log264＝6，所以26＝64. ②因为lo 2＝－2，所以（ ）－2＝2. ③因为ln a＝－1.699，所以e－1.699＝a. ④因为lg 0.01＝－2，所以10－2＝0.01. （2）（链接教科书第88页例2）将下列对数式化为指数式： 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 指数式与对数式互化的方法 （1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数 不变，写出对数式； （2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数 不变，写出指数式. 数学·必修第一册（SJ） 目录 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1） ＝4；（2）3－3＝ ； （3）lo a＝6；（4）log55＝1. 解：（1）因为 ＝4，所以log84＝ . （2）因为3－3＝ ，所以log3 ＝－3. （3）因为lo a＝6，所以（ ）6＝a. （4）因为log55＝1，所以51＝5. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　对数的计算 （链接教科书第88页例3）求下列各式的值： （1）log464；（2）log27 ；（3）lg 100；（4）ln e2. 解：（1）设x＝log464，可得4x＝64，即4x＝43，得x＝3，所以log464 ＝3. （2）设x＝log27 ，可得27x＝ ，即33x＝3－2，得x＝－ ，所以log27 ＝ － . （3）设x＝lg 100，可得10x＝100＝102，所以x＝2，所以lg 100＝2. （4）设x＝ln e2，可得ex＝e2，所以x＝2，所以ln e2＝2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 利用指数式与对数式的互化求值的策略 （1）已知底数与指数，用指数式求幂； （2）已知指数与幂，用指数式求底数； （3）已知底数与幂，利用对数式表示指数. 数学·必修第一册（SJ） 目录 求下列各式中x的值： （1）logx27＝ ；（2）log2x＝－ ；（3）x＝log8 . 解：（1）由logx27＝ ，可得 ＝27， ∴x＝2 ＝ ＝32＝9. （2）由log2x＝－ ，可得x＝ ，∴x＝ ＝ ＝ . （3）由x＝log8 ，可得8x＝ ，∴23x＝2－1，∴x＝－ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型四　利用对数基本性质求值 求下列各式中x的值： （1）log2（log5x）＝0； 解： ∵log2（log5x）＝0， ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. （2）log3（lg x）＝1； 解： ∵log3（lg x）＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. （3）log3（log4（log5x））＝0； 解： 由log3（log4（log5x））＝0可得log4（log5x）＝1，故log5x＝ 4，∴x＝54＝625. （4） ＝x. 解： x＝ ＝32× ＝9×5＝45. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 利用对数基本性质求值的两类常见类型 （1）求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga（logbc）的 值，先求logbc的值，再求loga（logbc）的值； （2）已知含未知数的对数式的值，求未知量的值，应逆用对数的基本性 质，逐步脱去“log”后再求解. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. ＋2log31－3log77＋3ln 1＝ ⁠. 解析：原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 2. 若lo （ ）x＝2，则x＝ ⁠. 解析：由logaab＝b，则lo （ ）x＝x，由已知可得x＝2. 0 2 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 方程 ＝ 的解是（　　） A. 9 B. C. D. √ 解析： 　∵ ＝ ＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝ .故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 若log（a－1）（5－a）有意义，则实数a的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：要使log（a－1）（5－a）有意义，则 即 解得1 ＜a＜2或2＜a＜5，即实数a的取值范围是（1，2）∪（2，5）. （1，2）∪ （2，5） 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 求下列各式中x的值： （1）log2x＝－ ；（2）logx25＝2；（3）log5x2＝2. 解：（1）由log2x＝－ ，得 ＝x， ∴x＝ . （2）由logx25＝2，得x2＝25. ∵x＞0，且x≠1，∴x＝5. （3）由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5. 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 31 1. 将 ＝9写成对数式正确的是（　　） A. log9 ＝－2 B. lo 9＝－2 C. lo （－2）＝9 D. log9（－2）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　根据对数的定义，得lo 9＝－2，故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 若logx ＝－3，则x＝（　　） A. 2 B. C. －2 D. － √ 解析： 　∵logx ＝－3，∴x－3＝ ，x3＝8，∴x＝2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 在M＝log（x－3）（x＋1）中，要使式子有意义，则x的取值范围为 （　　） A. （－∞，3] B. （3，4）∪（4，＋∞） C. （4，＋∞） D. （3，4） √ 解析： 　由对数的概念可得 解得3＜x＜4或x＞4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知log7[log3（log2x）]＝0，那么 ＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由条件，知log3（log2x）＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所 以 ＝ ＝ ＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕下列指数式与对数式的互化正确的有（　　） A. e0＝1与ln 1＝0 B. log39＝2与 ＝3 C. ＝ 与log8 ＝－ D. log77＝1与71＝7 √ √ √ 解析： 　log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，A、C、D正确.故选 A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕下列结论正确的是（　　） A. log24＝2 B. lg 10＝1 C. ＝2 D. －ln e＝1 √ √ √ 解析： 　根据对数的性质可知，log24＝2，lg 10＝1， ＝2，－ln e＝－1，故A、B、C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 若log3 ＝1，则x＝ ⁠. 解析：∵log3 ＝1，∴ ＝3，即2x－3＝9，解得x＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝ ⁠. 解析：∵log5x＝2，∴x＝52＝25.∵logy8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋ y＝27. 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 已知lo （3x2＋2x－1）＝1，则x＝ ⁠. 解析：∵lo （3x2＋2x－1）＝1， ∴ 解得x＝－2. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 计算下列各式的值. （1）lo （2－ ）； 解： lo （2－ ）＝lo （2＋ ）－1＝－1. （2）log927； 解： log927＝log933＝log9 ＝ . （3）设a＝log32，求 的值. 解： ∵a＝log32，∴3a＝2， ∴ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 对于a＞0且a≠1，下列说法正确的是（　　） A. 若M＝N，则logaM＝logaN B. 若logaM＝logaN，则M＝N C. 若logaM2＝logaN2，则M＝N D. 若M＝N，则logaM2＝logaN2 √ 解析： 　A中，因为零和负数没有对数，所以当M＝N≤0时，M、N没 有对数，故A错误；B中，由logaM＝logaN知M＝N＞0，故B正确；C 中，由logaM2＝logaN2知M2＝N2＞0，所以M＝±N≠0，故C错误；D 中，当M＝N＝0时，M、N没有对数，故D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农 （Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道 中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2（1＋ ）”，其中W是 信道带宽（单位：赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（单位： 瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（单位：瓦），其中 叫做信噪比.根 据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增 加了60％，则λ的值大约为（参考数据：100.2≈1.58）（　　） A. 1 559 B. 3 943 C. 1 579 D. 2 512 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 由题意得 ≈60％，则 ≈1.6，即1＋λ≈1001.6＝103.2＝103×100.2≈1 580，所以λ≈1 579. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. （1） ＝ ⁠； 解析： ＝（32 ＝ ＝2. （2）若lg（x2－1）＝lg（2x＋2），则x＝ ⁠. 解析：∵lg（x2－1）＝lg（2x＋2），∴ 解得x ＝3. 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. （1）已知关于x的方程x2＋2x＋loga ＝0的解集中只有一个元素，求 a的值； 解： 因为关于x的方程x2＋2x＋loga ＝0的解集中只有一个元素，则 一元二次方程x2＋2x＋loga ＝0有两个相等的实数根，即Δ＝4－4loga ＝ 0，解得loga ＝1，所以a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2，若log16（a＋b－c）＝ ，log5（2a＋b－c）＝1，求a，b，c的值； 解： 因为log16（a＋b－c）＝ ， 所以a＋b－c＝2. ① 因为log5（2a＋b－c）＝1， 所以2a＋b－c＝5. ② 由②－①得a＝3， 将a＝3代入①得c－b＝1，又因为a2＋b2＝c2，所以b＝4，c＝5. 综上，a＝3，b＝4，c＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）若x满足（log2x）2－2log2x－3＝0，求x的值. 解： 设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0， 解得t＝3或t＝－1，所以log2x＝3或log2x＝－1， 所以x＝23＝8或x＝2－1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $