4.1.2 指数幂的拓展-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展，涵盖分数指数幂、有理数指数幂、无理数指数幂的定义及运算性质。课堂以牛顿历史情境导入，通过问题链衔接整数指数幂与分数指数幂，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于融合数学抽象与数学运算素养，如用表格对比不同指数幂定义，典例研析中总结根式互化、化简求值的通性通法。条件求值问题的整体代换训练，助力学生提升运算能力与逻辑思维，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

4.1　指数 4.1.2　指数幂的拓展 第四章　指数与对数 1 课标 要求 通过对有理数指数幂 （a＞0，且a≠1；m，n∈Z，且 n≠0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识， 了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质（数学抽象、数 学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 牛顿（Newton 1643—1727）是英国物理学家、数学家， 经典物理学理论体系的建立者.他在1676年6月13日写给莱布 尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成 a2，a3，a4，…，所以可将 ， ， ，…写成 ， ， ，…，将 ， ， ，…写成a－1，a－2，a－3，…”. 【问题】　 ， （a＞0，m，n∈N*，且n＞1）写成根式的形式是 怎样的？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点　指数幂及其运算性质 1. 分数指数幂的意义 分数指数 幂 正分数指 数幂 规定： ＝ 　 　（a＞0，m，n∈N*， n＞1） 负分数指 数幂 规定： ＝ 　 　＝ （a＞0，m， n∈N*，n＞1） 0的分数指 数幂 0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数 幂 ⁠ 　 　 0　 没有意义　 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 有理数指数幂的运算性质 （1）asat＝ （a＞0，s，t∈Q）； （2）（as）t＝ （a＞0，s，t∈Q）； （3）（ab）t＝ （a＞0，b＞0，t∈Q）. 3. 无理数指数幂 一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数.有理数指 数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 提醒：实数指数幂中底数的取值范围 as＋t　 ast　 atbt　 数学·必修第一册（SJ） 目录 幂指数 定义 底数的取值范围 整数 指数 正整数 指数 an＝ （n∈N*） a∈R 零指数 a0＝1 a≠0且a∈R 负整数 指数 a－n＝ （n∈N*） a≠0且a∈R 数学·必修第一册（SJ） 目录 幂指数 定义 底数的取值范围 有理数 指数 正分数 指数 ＝ （m，n∈N*，且m，n互质） n为奇数 a∈R n为偶数 a≥0 负分数 指数 ＝ （m，n∈N*，且m，n互质） n为奇数 a≠0且 a∈R n为偶数 a＞0 无理数指数 当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 为什么分数指数幂的底数规定a＞0？ 提示：①当a＜0时，若n为偶数，m为奇数，则 ， 无意义；②当a ＝0时，a0无意义. 2. 同底数幂相除as÷at，同次的指数相除 分别等于什么？ 提示：①as÷at＝as－t；② ＝（ ）t. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列运算中计算结果正确的是（　　） A. a4a3＝a12 B. a6÷a3＝a2 C. （a3）2＝a5 D. a3b3＝（ab）3 √ 解析： 　A中，a4a3＝a7≠a12，故A错误；B中，a6÷a3＝a6－3＝ a3≠a2，故B错误；C中，（a3）2＝a6≠a5，故C错误；D中，a3b3＝ （ab）3，故D正确.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列结论中正确的有（　　） A. （－2 ＝（－2 B. [（－2）×（－3） ＝（－2 ×（－3 C. 当a＞0时，（ar）s＝（as）r D. ＝（ √ √ 解析： 　对于A选项，（－2 ＞0，而（－2 无意义，错误；对于 B选项，左侧＝ ，右侧无意义，错误.C、D均正确.故选C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 将 · 化成分数指数幂的形式是（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　 · ＝ · ＝ ＝ .故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知am＝4，an＝3，则 ＝ 　​ 　. 解析：由题意am－2n＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ . ​ 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　根式与分数指数幂的互化 （1）（链接教科书第85页练习1题）用根式的形式表示下列各式（a ＞0）： ① ；② ；③ ；④ . 解： ① ＝ . ② ＝ . ③ ＝ . ④ ＝ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）（链接教科书第84页例3）用分数指数幂的形式表示下列各式（a＞0）： ①a2· ；② ；③ ；④ . 解： ①a2· ＝a2· ＝ ＝ . ② ＝ ＝ . ③ ＝（a ＝（a ＝（ ＝ . ④ ＝ ＝ ＝a3. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 根式与分数指数幂互化的规律 （1）根指数 分数指数的分母，被开方数（式）的指数 分数指数 的分子； （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用 有理数指数幂的运算性质解题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 用根式或分数指数幂表示下列各式（a＞0）： （1） ；（2） ；（3） ；（4） . 解：（1） ＝ . （2） ＝ . （3） ＝ . （4） ＝ ＝ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　指数幂的化简与求值 化简与求值： （1）2 －（2 ＋ －π0； （2） ×12 ； （3） （a＞0，b＞0）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2） ×12 ＝ × ＝ ＝52＝25. （3）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝a－1＝ . 解：（1）原式＝（33 － ＋（3－2 －1＝3－ ＋33－1 ＝3－2＋27－1＝27. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 指数幂化简与求值的常用技巧 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分 数，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示； （5）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； （6）运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有 负指数幂，形式力求统一. 数学·必修第一册（SJ） 目录 　化简与求值： （1）（2 ）0＋2－2×（2 －（0.01）0.5； 解： 原式＝1＋ × － ＝ . 解：原式＝（ · ＝26·m3＝64m3. （2）（ ； 数学·必修第一册（SJ） 目录 解：原式＝－4a－2－1b－3＋1÷（12a－4b－2c）＝－ a－3－（－4）b－2－（－2）c －1＝－ ac－1＝－ . （3）（a－2b－3）×（－4a－1b）÷（12a－4b－2c）（a＞0，b＞0， c≠0）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　条件求值问题 （链接教科书第86页习题8题）已知 ＋ ＝3，求下列各式的值： （1）a＋a－1；（2）a2＋a－2. 解：（1）因为 ＋ ＝3，所以（ ＋ ）2＝32＝9， 则a＋a－1＋2＝9， 即a＋a－1＝7. （2）将a＋ ＝7两边平方，得a2＋ ＋2＝49，即a2＋ ＝47. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 　（变设问）在本例条件下，试求a2－a－2的值. 解：令y＝a2－a－2，两边平方得，y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝ 472－4＝2 205， ∴y＝±21 ， 即a2－a－2＝±21 . 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 利用整体代换法求分数指数幂 （1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结 论的结构特点，灵活运用恒等式是关键； （2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常运用完全平方公式 及其变形公式. 常见的变形公式：x2＋x－2＝（x±x－1）2∓2，x＋x－1＝（ ± ） 2∓2， ＋ ＝（ ± ）2∓2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2026·金坛期中）已知x＋x－1＝5，求 的值. 解：由x＋x－1＝5，则 ＝x2＋x－2＋2＝25，即x2＋x－2＝23， ＝x＋x－1＋2＝7，又x＋x－1＝5，则x＞0，故 ＋ ＝ ， 故 ＝ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. （2026·扬州月考） 用分数指数幂可表示为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　 ＝ ＝ ＝ ＝ .故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A. － ＝－ （x＞0） B. ＝ C. ＝ （x＞0，y＞0） D. ＝－ （x＞0） √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，－ ＝－ （x＞0），故A正确；对于B， ＝｜y ，故B错误；对于C， ＝ （x＞0，y＞0），故C正确； 对于D， ＝ （x＞0），故D错误. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 化简与求值： （1） － ＋0.2 ； 解： － ＋0.2 ＝－4－1＋ ＝－ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）4 ÷ （a，b＞0）； 解： 4 ÷ ＝－6 ＝－6ab. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）〔一题多解〕已知a2x＝3，求 的值. 解： 法一　因为a2x＝3，所以ax＝ . 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 法二　因为a2x＝3， 所以 ＝ ＝a2x＋a－2x－1＝3＋ －1＝ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 36 1. 下列各式计算正确的是（　　） A. （－1）0＝1 B. ·a2＝a C. ＝8 D. a6－a2＝a4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　A中，（－1）0＝1，A正确；B中， ·a2＝ ≠a，B错误； C中， ＝ ≠8，C错误；D中，a6÷a2＝a4，D错误.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·南通期中）设a＞0，则 的分数指数幂形式为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　当a＞0时， ＝ ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. －（1－0.5－2）÷ ＝（　　） A. － B. C. D. √ 解析： 　原式＝1－（1－22）÷ ＝1－（－3）× ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线折 叠）10次，这时，报纸的厚度为（　　） A. 2.56厘米 B. 5.12厘米 C. 10.24厘米 D. 20.48厘米 √ 解析： 　0.01×210＝10.24（厘米）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕（2026·南京九中月考）下列等式中正确的是（　　） A. － ＝ B. ＝x C. ＝ （x＞0） D. ＝ （x＞0） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，－ ＝－ ＝ ，故A正确；对于B，当x＝－ 1时， ＝1≠－1，故B错误；对于C，当x＞0时， ＝ ＝ ，故C正确；对于D，当x＞0时， ＝ ＝ ，故D正 确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕下列各式运算正确的是（　　） A. （－a2b）2·（－ab2）3＝－a7b8 B. （－a2b3）3÷（－ab2）3＝a3b3 C. （－a3）2·（－b2）3＝a6b6 D. [－（a3）2·（－b2）3]3＝a18b18 √ √ √ 解析： 　对于A，（－a2b）2·（－ab2）3＝a4b2·（－a3b6）＝－ a7b8，故A正确；对于B，（－a2b3）3÷（－ab2）3＝－a6b9÷（－a3b6） ＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，（－a3）2·（－b2）3＝a6·（－ b6）＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. （2026·金坛期中）0.06 － ＋ －2－4· ＝ ⁠. 解析：0.06 － ＋ －2－4· ＝ －1＋2－4－ ＝ －1＋ － ＝1. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 化简 （a＞0，b＞0）的结果是 　​ 　. 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 已知x－ ＝1，其中x＞0，则 － － ＝ ⁠. 解析：由x－ ＝1，x＞0可得x2＝x＋1，原式＝ － － ＝ － － ＝x－ ＝ ＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. （2026·南京九中月考）计算： （1） ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝｜3－π｜＋ ＋1 ＝π－3＋ ＋1＝π－3＋5＋1＝π＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2） ＋ × ＋ ÷ . 解： ＋ × ＋ ÷ ＝－5＋ × ＋ ÷ ＝－5＋ × ＋ ＝－5＋ × ＋5＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 若a是方程x2－3x＋1＝0的根，则a2＋a－2＝（　　） A. B. C. 7 D. 6 √ 解析： 　因为Δ＝（－3）2－4＝5＞0，所以方程有两个不相等的实数 根，设另一根为b，由根与系数的关系得 化简得b＝a－1，则 a＋a－1＝3，a·a－1＝1，所以a2＋a－2＝（a＋a－1）2－2a·a－1＝9－2 ＝7.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 方程 ＝ 的解是（　　） A. － B. － C. D. √ 解析： 　∵ ＝ ，∴ ＝3－2，∴ x－1＝－2，∴x＝－ ，∴方程 ＝ 的解是x＝－ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 已知a＞0，若 ＝ ，则a2x＝ 　 或2　. 解析：由 ＝ 得 ＝ ，所以a2x＋a －2x＝ .令t＝a2x＞0，所以t＋ ＝ ，即2t2－5t＋2＝0，解得t＝ 或t＝ 2，即a2x＝ 或a2x＝2. 或2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 已知方程x2－8x＋4＝0的两根为x1，x2（x1＜x2）. （1）求 － 的值； 解：由题意知x1＋x2＝8，x1x2＝4. （1）∵x1＜x2，∴ － ＝（ ）2－（ ）2＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解： － ＝ － ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. （2）求 － 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $