4.1.2 指数幂的拓展(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

4.1 指数 1 4.1.2 指数幂的拓展 2 探究点一 根式与分数指数幂互化 探究点二 实数指数幂的运算 探究点三 整体代换法求值 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能够在具体的数学情境中，了解有理数指数幂 ,且 ；,为整数，且和实数指数幂，且 ； 的含义. 2.对给出的具体数学问题，能够运用指数运算的性质进行指数运算. 4 知识点一 有理数指数幂 1.正数的正分数指数幂的意义 一般地，我们规定______ . 2.正数的负分数指数幂和0的分数指数幂 （1）_ ___ ; （2）0的正分数指数幂为___; （3）0的负分数指数幂__________（0的0次幂无意义）. 0 没有意义 3._____,____,_____,其中,,, . 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） .( ) √ （2） .( ) × （3）用分数指数幂表示 为 .( ) × （4） .( ) √ （5） .( ) √ 课 前 预 习 6 2.（1）我们知道，那么 成立吗？ 解：成立. , ， 所以 成立. （2）任何有意义的根式都能化为分数指数幂的形式吗? 解：能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂 的形式,即，,，且 . 课 前 预 习 7 知识点二 无理数指数幂 1.无理数指数幂：且是一个无理数 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂和无理数指数幂统称为实数指数幂,其运算性质与整 数指数幂的运算性质完全一致,即, , ,其中,,, . 课 前 预 习 8 探究点一 根式与分数指数幂互化 例1（1）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，，所以A正确； 对于B， ，所以B错误； 对于C， ，所以C正确； 对于D，，所以D错误．故选 . √ √ 课 中 探 究 9 （2）已知，将化为有理数指数幂的形式，则 __. [解析] ，故 . 课 中 探 究 10 变式（1）[2026·江苏常州高一期中]设，则 的分数指数 幂形式为( ) A. B. C. D. [解析] 原式 .故选D. √ 课 中 探 究 11 （2）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有( ) A. B. C. D. [解析] 对于选项A， ，故A错误； 对于选项B， ，故B正确； 对于选项C， ，故C正确； 对于选项D，，故D错误.故选 . √ √ 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 解决根式与分数指数幂互化问题的关键是熟记根式与分数指数幂的 关系式<m></m>和<m></m>，其中<m></m>，<m></m>，<m></m>且 <m></m>． 课 中 探 究 13 探究点二 实数指数幂的运算 例2（1）已知，化简： . 解：因为，所以 . 课 中 探 究 14 例2（2）化简与计算下列各式（式中字母都为正数）: ① ； 解： 原式 . ② ； 解：原式 . 课 中 探 究 15 例2（2）化简与计算下列各式（式中字母都为正数）: ③ . 解： . 课 中 探 究 16 变式 化简与求值. （1） ; 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 课 中 探 究 17 变式 化简与求值. （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 指数幂运算的基本原则与常用方法 （1）基本原则:式子中既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一 化为分数指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质化简． （2）常用方法:①有括号先算括号内的，无括号先做指数运算；② 化负指数幂为正指数幂;③化根式为分数指数幂;④化小数为分数；⑤ 底数是带分数，先要化成假分数. 课 中 探 究 19 探究点三 整体代换法求值 例3（1）已知 ,则 ① ____; 14 [解析] 由两边平方,得 , 所以 . ② _____; 194 [解析] 由两边平方,得 ,所以 . 课 中 探 究 20 例3（1）已知 ,则 ③ ____. 15 [解析] 因为 ,所以 . 课 中 探 究 21 （2）若，则 _ ___. [解析] 因为，所以， ， 即，两边平方整理得，即 . 因为，所以 ， 则 . 课 中 探 究 22 （3）已知,,且,求 的值. 解： . 因为， ， 所以， 又 ，所以，所以 . 课 中 探 究 23 变式（1）[2026·天津河西区高一期中]已知， ，则 ( ) A.25 B.5 C. D. [解析] 由可得，所以 ，故选C. √ 课 中 探 究 24 （2）（多选题）已知，则 的值可能为( ) A.2 B. C. D. [解析] 因为 ， 所以，所以或.故选 . √ √ 课 中 探 究 25 （3）已知，计算 __. [解析] 将两边平方得，则 ， 所以 . 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 利用整体代换法求分数指数幂的关键点 （1）整体代换法是数学变形与计算中常用的技巧，观察分析条件与 结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键之一. （2）利用整体代换法解决分数指数幂计算问题的另一个关键是掌握 好完全平方公式及其变形公式：<m></m>， <m></m>，<m></m>， <m></m>， <m></m>. 课 中 探 究 27 拓展 设,则 ( ) A.7 B. C.5 D.45 [解析] 由,得 . √ 课 中 探 究 28 指数幂的发展历程 14世纪法国数学家奥雷姆 在《比例算法》 （约1360年）中，分别用和来表示和 ，用我们今天 的记号来表达，就是， ，由此可知，奥雷姆已 经知道 次方根与分数指数幂的关系. 数 学 文 化 29 16世纪德国数学家斯蒂菲尔 在《整数算术》 （1544年）中，将幂指数从非负整数推广到整数，建立了如表1所示 的指数与幂之间的对应关系——用我们今天的记号来表达，就是 .这是历史上负整数指数幂的最早使用.但斯蒂菲尔没有将幂 指数推广到分数的情形. 表1 指数 … 0 1 2 3 … 幂 … 1 2 4 8 … 数 学 文 化 30 16世纪荷兰数学家、工程师斯蒂文 在《十进算数》 （1585年）中，将分数写在圆圈内，表示一个未知数的分数指数幂. 如 表示 .这是最早使用分数指数记号的数学家. 17世纪法国-荷兰数学家吉拉尔 在《代数新发明》 （1629年）中，将分数写在一个数的前面，表示这个数的分数指数 幂.如表示.关于奥雷姆、斯蒂文和吉拉尔是如何发现 次方 根与分数指数幂之间的关系的，并无文献记载. 数 学 文 化 17世纪英国数学家沃利斯 在《无穷算数》（1655） 中给出负数指数幂和分数指数幂的运算，从而将正整数指数幂的运 算律推广到了任意有理数指数幂. 1637年，法国数学家笛卡尔年开始用符号 表示 正整数幂，在他的《几何学》一书中，用代表，用 代表 . 17世纪，英国数学家牛顿年 在其通信（1676年） 中，用，，， 表示，，， ，用， ， ， 表示,,， ，并在十八世纪初，开始使用 表示任意 实数指数幂.这样，指数概念就由正整数指数逐步推广到实数指数. 数 学 文 化 课后习题 33 1. ( ) A. B. C. D. [解析] .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 2. 等于( ) A. B. C. D. [解析] . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 3.若，则 的分数指数幂形式为 ( ) A. B. C. D. [解析] .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 4.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A， ，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D错误.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 5.计算 的结果为( ) A. B. C. D. [解析] 原式 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 6.化简 的结果为( ) A.1 B. C. D. [解析] .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 7.，化简: ___. 1 [解析] . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 8.若，则___； __. 7 [解析] 因为 ， 所以 . 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 9.（13分）计算下列各式的值： （1） ； 解： . （2），其中， . 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 10.[2026·吉林延边州高一期末]已知，，则 ( ) A.16 B.27 C.37 D.54 [解析] ，，， ， 则 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 11.（多选题）已知正数，满足 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，因为， ，当且仅当 时等号成立，所以，即 ，则A正确； 对于B，， 当且仅当 时等号成立，所以 ，则B正确； √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 对于C，， 当且仅当 时等号成立，所以， 所以 ，则C错误； 对于D，，当且仅当 时等号成立， 所以，则D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知，则 ___. 9 [解析] ，，即 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 13.若 （其中，，），则 __. [解析] 因为，所以,， 又 ，所以,，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 14.（15分） （1）[2026·河南洛阳高一期中] 已知，求 的值. 解：因为，所以 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 （2）已知,是方程的两个根,求 的值. 解：由根与系数的关系得, , 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 15.[2026·江苏镇江高一期中]若 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 因为 ， 所以. 因为 ，所以 ，即， 又因为 ，所以. 综上， .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）对于正整数，，和非零实数，， ， ， 有 ，，求，， 的值． 解： ，且， 为非零实数， . 同理，可得， . ，即 . 又，，， 为正整数， . ，，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 $