4.1.1 根式-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦n次方根、n次根式的概念及性质。课堂导入通过毕达哥拉斯学派发现√2的历史情境，以“x²=3的解”问题引出n次方根，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架，衔接后续根式性质学习。 其亮点在于情境导入激发兴趣，知识点分点清晰，典例与训练覆盖概念理解、性质应用及分类讨论题型。通过历史情境培养数学抽象，通过分类化简训练数学运算与逻辑推理，如有限制条件的根式化简题。助力学生深化理解，教师可高效实施分层教学。

4.1　指数 4.1.1　根式 第四章　指数与对数 1 课标 要求 理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简 求值（数学抽象、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯 学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长 为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不 能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数 学史上第一个无理数 的诞生. 【问题】　若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎样表示？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点　n次方根 1. n次方根 定 义 一般地，如果xn＝a（n＞1，n∈N*），那么称x为a的 ⁠ ⁠ 性 质 n是奇数 a∈R x＝ ⁠ n是偶数 a＞0 x＝ ⁠ a＜0 x不存在 0的n次方根等于0 n次方 根　 　 ± 　 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 根式：式子 叫作 ，其中n叫作 ，a叫作 ⁠ ⁠. 3. 根式的性质 （1） 没有偶次方根； （2）0的任何次方根都是0，记作 ＝ ⁠； （3）（ ）n＝ （n∈N*，且n＞1）； （4）①当n为奇数时， ＝ ⁠； ②当n为偶数时， ＝｜a｜＝ 根式　 根指数　 被开方 数　 负数　 0　 a　 a　 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. m是实数，则下列式子中可能没有意义的是（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　选项C中，m＜0时， 没有意义.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 16的4次方根是2 B. 的运算结果是±2 C. 当n为大于1的奇数时， 对任意a∈R都有意义 D. 当n为大于1的偶数时， 只有当a≥0时才有意义 √ √ 解析： 　16的4次方根应是±2； ＝2；易知C、D正确.故选C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. ＝ ； ＝ ⁠. 解析：当n为偶数时， ＝｜a｜，∴ ＝2；当n为奇数时， ＝a，∴ ＝－2. 4. （2026·高邮期中）若1＜a＜2，化简： ＋ . 解：因为1－a＜0，a－2＜0，所以 ＋ ＝a－1＋a－2 ＝2a－3. 2 －2 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 11 题型一　n次方根的概念 （1）已知x7＝8，则x＝ ⁠； 解析： ∵7为奇数，∴8的7次方根只有一个 . （2）若 有意义，则实数x的取值范围是 ⁠. 解析： ∵ 有意义，∴x－2≥0，∴x≥2，即x的取值范围是 [2，＋∞）. ​ [2，＋∞）　 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 1. 方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根 只有一个. 2. 符号：根式 的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同 确定. （1）当n为偶数，且a≥0时， 为非负实数； （2）当n为奇数时， 的符号与a的符号一致. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 若 有意义，则x的取值范围为 ⁠. 2. 若16的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝ ⁠. 解析：16的平方根为－4或4，即a＝－4或4，－8的立方根为－2，即b＝ －2，∴a＋b＝－6或2. R －6或2　 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　利用根式的性质化简或求值 （链接教科书第82页例1）化简或求值： （1）（ ）2； （2）（ ）3； （3）（ ）2； （4） ； （5） ； （6） （a＞b）. 解：（1）（ ）2＝3.（2）（ ）3＝－5. （3）（ ）2＝a－1.（4） ＝－4. （5） ＝｜3－π｜＝π－3. （6）∵a＞b，∴ ＝｜a－b｜＝a－b. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 正确区分 与（ ）n （1）（ ）n已暗含了 有意义，根据n的奇偶性可知a的范围； （2） 中的a可以是全体实数， 的值取决于n的奇偶性. 数学·必修第一册（SJ） 目录 化简或求值： （1） ＋（ ）5；（2） ＋（ ）6； （3） . 解：（1）原式＝（－2）＋（－2）＝－4. （2）原式＝｜－2｜＋2＝2＋2＝4. （3）原式＝｜x＋2｜＝ 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　有限制条件的根式的化简 设－3＜x＜3，化简 － . 解：原式＝ － ＝｜x－1｜－｜x＋3｜. ∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－（x－1）－（x＋3）＝－2x －2； 当1≤x＜3时，原式＝（x－1）－（x＋3）＝－4. ∴原式＝ 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 （变条件）本例中，若将“－3＜x＜3”变为“x≤－3”，则结果又是 什么？ 解：原式＝ － ＝｜x－1｜－｜x＋3｜. ∵x≤－3，∴x－1＜0，x＋3≤0， ∴原式＝－（x－1）＋（x＋3）＝4. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 有限制条件的根式的化简 （1）有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以 通过配方、拆分等方式进行化简； （2）有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在 利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.当n为偶数 时， 先化为｜a｜，再根据a的正负去绝对值符号. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2026·盐城质检）若2＜x＜3，则 ＋ 的化简结 果是（　　） A. 1 B. －1 C. 5－2x D. 2x－5 √ 解析： 　因为2＜x＜3，则2－x＜0，x－3＜0，所以 ＋ ＝2－x＋｜x－3｜＝2－x＋3－x＝5－2x.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 〔多选〕若n∈N，a∈R，则下列式子有意义的是（　　） A. B. C. D. √ √ 解析： （－4）2n＞0，故A有意义；（－4）2n＋1＜0，故B无意义；C 显然有意义；当a＜0时，a5＜0，此时 无意义. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·宝应中学期中）下列各式正确的是（　　） A. ＝ B. ＝3－π C. ＝｜a｜（n＞1，n∈N*） D. ＝a（n＞1，n∈N*） √ 解析： 　对于A， ＝ ＞0， ＜0，故A错误；对于B， ＝｜3－π｜＝π－3，故B错误；对于C，当n为奇数时， ＝ a（n＞1，n∈N*），故C错误；对于D， ＝a（n＞1，n∈N*）， 故D正确.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 若x≠0，则｜x｜－ ＋ ＝ ⁠. 解析：∵x≠0，∴原式＝｜x｜－｜x｜＋ ＝1. 4. 当 有意义时，化简 － ＝ ⁠. 解析：因为 有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝ － ＝（2－x）－（3－x）＝－1. 1 －1 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 25 1. 若 ＋（a－4）0有意义，则a的取值范围是（　　） A. [2，＋∞） B. [2，4）∪（4，＋∞） C. （－∞，2）∪（2，＋∞） D. （－∞，4）∪（4，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a的取值范围是a≥2且 a≠4.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 下列各式正确的是（　　） A. ＝－3 B. ＝a C. ＝2 D. ＝7 √ 解析： 　由于 ＝3， ＝｜a｜， ＝－7，故 A、B、D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 已知m10＝2，则m＝（　　） A. B. － C. D. ± √ 解析： 因为m10＝2，所以m是2的10次方根.又10是偶数，所以2的10次 方根有两个，且互为相反数.所以m＝± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知a＜1，则 ＋ ＝（　　） A. －1 B. 1 C. 2a－1 D. 1－2a √ 解析： 　因为a＜1，所以 ＋ ＝｜a－1｜＋a＝1－a＋ a＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕下列运算正确的是（　　） A. ＝4－π B. （ ）2＝4a－1 C. ＝a－b D. ＝ · √ √ 解析： 　对于A， ＝｜4－π｜＝4－π，故A正确；对于 B，（ ）2＝4a－1成立，故B正确；对于C， ＝a－b 成立，故C正确；对于D，由 可取a＝－1且b＝－1，此时 和 无 意义，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕下列选项中正确的是（　　） A. ＝5 B. 64的6次方根是±2 C. ＝±3 D. ＝｜x＋y｜ √ √ 解析： 　n为奇数时，负数的n次方根是一个负数， ＝－5， 故A错误；64的6次方根有两个，为±2，故B正确； ＝3，故C错 误； 是非负数，故 ＝｜x＋y｜，故D正确.故 选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 若 ＝ ，则实数a的取值范围为 　​ 　. 解析： ＝｜2a－1｜， ＝1－2a.因为｜2a－ 1｜＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 已知y＝ －｜2－x｜，则当2＜x＜3时，y＝ ⁠； 当x＞3时，y＝ ⁠. 解析：y＝ －｜2－x｜＝ －｜2－x｜＝｜x－ 3｜－｜2－x｜，当2＜x＜3时，y＝3－x＋2－x＝5－2x；当x＞3时，y ＝x－3＋2－x＝－1. 5－2x －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 〔一题多解〕计算： ＋ ＝ 　2 　. 解析：法一　原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋1＋ －1＝2 . 2 法二　令x＝ ＋ ，两边平方得x2＝6＋2 ＝8.因 为x＞0，所以x＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 化简：（1） （a≤－ ）； 解： ∵a≤－ ， ∴2a＋1≤0，∴ ＝ ＝｜2a＋1｜＝－2a－1. （2） （x＜y，n＞1，n∈N*）. 解： ∵x＜y，∴x－y＜0， ∴当n为大于1的偶数时， ＝｜x－y｜＝y－x； 当n为大于1的奇数时， ＝x－y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. （2026·海安月考）设x∈R，若 ＋ 为定值，则实数 x的取值范围为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　因为x∈R，当x＞1时， ＋ ＝x－1＋x＝2x－1 不为定值；当x≤1时， ＋ ＝1－x＋x＝1为定值.所以满足 题意的实数x的取值范围为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 化简（ ）2＋ ＋ 的结果是（　　） A. 1－a B. 2（1－a） C. a－1 D. 2（a－1） √ 解析： 　∵ 有意义，∴a－1≥0，即a≥1.∴（ ）2＋ ＋ ＝（a－1）＋｜1－a｜＋（1－a）＝（a－ 1）＋（a－1）＋（1－a）＝a－1，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 已知 ＋ ＝－a－b，则 ＋ ＝ ⁠. 解析：因为 ＋ ＝－a－b.所以 ＝－a， ＝－b，所以 a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝｜a＋b｜＋a＋b＝－（a＋ b）＋a＋b＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 已知a＜b＜0，n＞1，n∈N*，化简 ＋ . 解：∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0. 当n是奇数时，原式＝（a－b）＋（a＋b）＝2a； 当n是偶数时，原式＝｜a－b｜＋｜a＋b｜＝（b－a）＋（－a－b） ＝－2a. ∴ ＋ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $