3.2.2 基本不等式的应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过养殖场栅栏围矩形牧场的情境导入，衔接“和定积最大、积定和最小”的新知，结合自我诊断题形成从情境到理论再到初步应用的学习支架。 其特色在于以数学建模为导向，通过矩形菜园面积最值一题多解（基本不等式与二次函数）培养逻辑推理，总结“1的代换”等通性通法强化数学运算。学生能提升问题解决能力，教师可依托分层例题与检测高效教学。

3.2　基本不等式 ≤ （a，b≥0） 3.2.2　基本不等式的应用 第三章　不等式 1 课标 要求 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用（数学运算）. 2.会用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题（逻辑推理、数学运算）. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（数学建模、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a，b的矩形牧场，现在已 有材料能做成l km的栅栏. 【问题】　如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　用基本不等式求最值 　已知x，y都是正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当 时，和x＋y有最小 值 ⁠； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值 ⁠ ⁠. x＝y　 2 　 x＝y　 S2　 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　利用基本不等式解决实际问题的步骤 1. 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为 函数. 2. 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值 问题. 3. 在定义域内求出函数的最大值或最小值. 4. 正确写出答案. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则 ＋ 的最小值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 √ 解析： 　若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则 ＋ ＝（a＋b）（ ＋ ）＝2 ＋ ＋ ≥4，当且仅当a＝b＝ 时等号成立，所以 ＋ 的最小值为4.故 选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知直角三角形面积为50，则两直角边和的最小值是 ⁠. 解析：设直角边分别为a，b，则 ab＝50，即ab＝100.∴a＋b≥2 ＝20，当且仅当a＝b＝10时取等号.∴两直角边和的最小值是20. 20 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一 年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 每次应都购买 吨. 解析：设总运费与总存储费用之和为y，则y＝4x＋ ×4＝4x＋ ≥2 ＝160，当且仅当4x＝ ，即x＝20时取等号.故要使一 年的总运费与总存储费用之和最小，每次应都购买20吨. 20 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 11 题型一　求“和为定值”模型的最值 〔一题多解〕（链接教科书第59页例3）用一段长为40 m的篱笆围成 一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，矩形菜园的长、宽分别设计为多 长，才能使得矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解：法一　设矩形菜园的长为x m，宽为 m，且x＞0， ＞0，即0 ＜x＜40， 矩形菜园的面积为S＝x（ ）＝ x·（40－x）≤ （ ）2＝ 200，当且仅当x＝40－x，即x＝20时，取得等号.由此可知，当x＝20， ＝10时，S＝x（ ）取得最大值200. 所以当矩形菜园的长为20 m，宽为10 m时，矩形菜园的面积最大，最大面 积是200 m2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 法二　设矩形菜园的长为x m，宽为 m，且x＞0， ＞0，即0＜x＜ 40， 矩形菜园的面积为S＝x· ＝－ x2＋20x＝－ （x－20）2＋200， 所以当x＝20时，S＝x（ ）取得最大值200. 所以当矩形菜园的长为20 m，宽为10 m时，矩形菜园的面积最大，最大面 积是200 m2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 两个正数和为定值，求它们积的最大值 （1）应满足基本不等式成立的条件； （2）若所给代数式具备和为定值的形式，可利用重要不等式ab≤ （ ）2，求出积的最大值； （3）若所给代数式不具备和为定值的形式，应配凑出和为定值的形式后 再求解. 数学·必修第一册（SJ） 目录 　如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块 矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形 ABCD面积的最大值为 （单位：cm2）. 16 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析：如图，连接OC，设OB＝x（0＜x＜4），则BC＝ ＝ ，AB＝2OB＝2x，所以由基本不 等式可得，矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x· ＝2 ≤（16－x2）＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2，即x＝2 时等号成立，所以矩形ABCD面积的最大值为16. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　求“积为定值”模型的最值 （链接教科书第60页例6）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它 的印刷面积为72 dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2 dm，左右空白各 宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是 dm2. 56　 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积为y dm2.由题意，得y＝（x＋4）· －72＝8＋2 ≥8＋ 2×2 ＝56.当且仅当x＝ ，即x＝12时等号成立. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 两个正数积为定值，求它们和的最小值 （1）应满足基本不等式成立的条件； （2）若所给代数式具备积为定值的形式，可利用基本不等式的变形a＋ b≥2 ，求出和的最小值； （3）若所给代数式不具备积为定值的形式，应化简（或配凑）出积为定 值的形式后再求解. 数学·必修第一册（SJ） 目录 做一个体积为8 m3，高为2 m的长方体包装箱，则所用材料表面积的最小值 为（　　） A. 4 m2 B. 8 m2 C. 16 m2 D. 24 m2 √ 解析： 　设底面的长和宽分别为a m，b m（a＞0，b＞0），因为体积为 8 m3，高为2 m，所以底面积为4 m2，即ab＝4，所用材料的表面积S＝ 2ab＋2b×2＋2a×2＝8＋4（a＋b）≥8＋4×2 ＝8＋16＝24，当且 仅当a＝b＝2时取等号，所以当底面的长和宽均为2 m时，所用的材料表 面积最小，其最小值为24 m2.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　利用基本不等式求有附加条件的代数式的最值 （链接教科书第60页例5）（1）设a＞0，b＞0，且 ＋ ＝1，求ab 的最小值； 解： 因为a＞0，b＞0， 由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝4 . 因为 ＋ ＝1，所以1≥4 ，故ab≥16， 当且仅当 ＝ ，即a＝2，b＝8时，等号成立， 所以ab的最小值是16. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）〔一题多解〕设x＞0，y＞0，且 ＋ ＝1，求x＋y的最小值. 解： 法一（“1”的代换）　因为x＞0，y＞0， ＋ ＝1， 所以x＋y＝ （x＋y）＝1＋ ＋ ＋9＝ ＋ ＋10≥6＋10＝ 16， 当且仅当 ＝ ，且 ＋ ＝1，即x＝4，y＝12时，等号成立. 故x＋y的最小值为16. 数学·必修第一册（SJ） 目录 法二（消元法）　因为 ＋ ＝1，所以y＝ ＝9＋ ，因为x＞0，y＞ 0，所以x＞1，所以x＋y＝x＋9＋ ＝（x－1）＋ ＋ 10≥2 ＋10＝16，当且仅当x－1＝ ，即x＝4，y＝12 时，等号成立，此时x＋y的最小值为16. 数学·必修第一册（SJ） 目录 母题探究 （变条件、变设问）设x＞0，y＞0，且2x＋y＝xy，求x＋2y的最小值. 解：由2x＋y＝xy得， ＋ ＝1，因为x＞0，y＞0，所以x＋2y＝（x＋ 2y）（ ＋ ）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9， 当且仅当x＝y＝3时，等号成立.故x＋2y的最小值为9. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 “1的代换”问题的解题步骤 （1）将附加条件构造成值为“1”的表达式； （2）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商； （3）变形产生和式或积式为定值的式子，利用基本不等式求解最值. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 已知正数a，b满足3a＋b＝2ab，则a＋3b的最小值是（　　） A. 8 B. 6 C. 2 D. 16 √ 解析： 　因为3a＋b＝2ab，所以 ＋ ＝1，则a＋3b＝（a＋3b） （ ＋ ）＝ ＋ ＋5≥2 ＋5＝8，当且仅当 ＝ ，即a＝ b＝2时，等号成立.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 设x＞0，y＞0，且xy＝1，则 ＋ 的最小值是 ⁠. 解析：因为x＞0，y＞0，且xy＝1，所以 ＞0， ＞0，所以 ＋ ≥2 ＝2 ＝2，当且仅当 ＝ ，即x＝y＝1时取等号.所以 ＋ 的最小值是2. 2　 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 〔一题多解〕在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内 接矩形花园（阴影部分），则其边长x应为（　　） A. 10 m B. 15 m C. 20 m D. 25 m √ 解析： 　如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于N. 由 △ADE∽△ABC得， ＝ ，设DE＝x，MN＝y，则 ＝ ， 数学·必修第一册（SJ） 目录 法一　化简得x＋y＝40，由基本不等式知，x＋y＝40≥2 ，则矩形花 园的面积S＝xy≤400，当且仅当x＝y＝20时取等号，所以当x＝20 m时 面积最大，最大面积为400 m2.故选C. 法二　化简得y＝40－x，矩形花园的面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x＝ －（x－20）2＋400，其中x∈（0，40），故当x＝20 m时，面积最大.故 选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知正数a，b满足 ＋b＝1，则a＋ 的最小值为 ⁠. 解析：由正数a，b满足 ＋b＝1，则a＋ ＝（a＋ ）（ ＋b）＝5＋ ab＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当ab＝ 时，即a＝6，b＝ 时，等 号成立，所以a＋ 的最小值为9. 9 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 若直角三角形两条直角边的和为10，则其斜边的最小值为 ⁠. 解析：设两条直角边为a，b，则a＋b＝10，因为a2＋b2≥2ab，当且仅 当a＝b时取等号，所以2（a2＋b2）≥2ab＋a2＋b2＝（a＋b）2，当且 仅当a＝b时取等号，所以a2＋b2≥ ，当且仅当a＝b时取等 号，斜边 ≥ （a＋b）＝5 ，当且仅当a＝b＝5时取等号， 所以斜边的最小值为5 . 5 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水 池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁 的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应设计为多少米？ 解：设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，每平方米池侧壁造价为a， 蓄水池总造价为W，则由题意可得 所以W＝2a（xh＋yh） ＋2axy＝2ah（x＋y）＋2axy＝40ah＋ ，所以 W≥2 ＝400a，当且仅当h＝5时，W取最小值. 所以为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应设计为5米. 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 34 1. （2026·江阴月考）设x＞0，y＞0且x＋y＝2，则 ＋ 的最小值为 （　　） A. 9 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ C. 4 D. 解析： 　因为x＞0，y＞0且x＋y＝2，所以 ＋ ＝ （ ＋ ）（x＋ y）＝ （5＋ ＋ ）≥ ，当且仅当x＝ ，y＝ 时等号成立，故 ＋ 的最小值为 .故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，则ab的最大值为（　　） A. 25 B. C. D. √ 解析： 　因为a＞0，b＞0，a＋2b＝5，所以ab＝ a·2b≤ × （ ）2＝ ，当且仅当a＝ ，b＝ 时取等号，故ab的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信 息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位： km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比；若在距离车 站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建 在距离车站多少km处，才能使两项费用之和最小（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　设y1＝ ，则2＝ ，k1＝20，y1＝ ；设y2＝k2x，则8＝ 10k2，k2＝ ，y2＝ x，所以总费用y1＋y2＝ ＋ ≥2 ＝8，当 且仅当 ＝ 时，即x＝5时等号成立.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. （2026·江阴月考）当0＜x＜1时， ＋ 的最小值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 √ 解析： 　由0＜x＜1，得1－x＞0，所以 ＋ ＝（ ＋ ）[x＋（1－ x）]＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，即x＝ 时等号成立，所以 ＋ 的最小值为9.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 已知当x＝3时，代数式4x＋ （x＞0，a＞0）取得最小值，则a＝ （　　） A. 1 B. 6 C. 30 D. 36 √ 解析： 　因为x＞0，a＞0，所以4x＞0， ＞0，所以4x＋ ≥2 ＝4 （x＞0，a＞0），当且仅当4x＝ ，即x＝ 时，等号成立，所 以 ＝3，a＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕（2026·扬州期中）已知a＞0，b＞0，4a＋b＝1，则 （　　） A. ab的最大值为 B. ＋ 的最小值为6 C. 的最小值为 D. ＋ 的最大值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　因为a＞0，b＞0，对于A，因为1＝4a＋b≥2 ＝ 4 ，当且仅当4a＝b＝ 时，等号成立，即4 ≤1，可得ab≤ ， 所以ab的最大值为 ，故A正确； 对于B，因为4a＋b＝1，则a＝ （1－b），则 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ，又因为 ＋ ＝（4a＋b）（ ＋ ）＝ ＋ ＋ ≥ ＋ 2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，即a＝b＝ 时，等号成立，故 ＋ ＝ ＋ － ≥6，所以 ＋ 的最小值为6，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 对于C，因为 ＝ ＋ ＝（4a＋b）（ ＋ ）＝4＋1＋ ＋ ≥2 ＋5＝9，当且仅当 ＝ 时，即b＝2a＝ 时等号成立，所以 有最小值为9，则 的最大值为 ，故C错误；对于D，因为4a＋b ＝a＋（3a＋b）≥ ，即 ≤1，可得 ＋ ≤ 但等号成立的条件为 ＝ ，可得b＝－2a＜0， 不合题意，所以 ＋ 的最大值不为 ，故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ⁠. 解析：设两个正方形边长分别为a，b（a＞0，b＞0），则由∠B＝∠C ＝45°，可得a＋b＝ BC＝1，所以S＝a2＋b2≥2×（ ）2＝ ，当 且仅当a＝b＝ 时取等号. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. （2026·常州期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量y（万件） 与每件售价x（元）的函数关系近似为：y＝ －1，若使每月的净利润最 高，则每件售价应定为 元.（注：净利润＝销售总额－总成本） 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析：净利润L（万元）的表达式为L＝（x－8）y＝（x－8）（ － 1），其中x＞8，且 －1＞0即x＜18，故x∈（8，18）.L＝（x－8） （ －1）＝26－x－ ＝26－（x＋ ）.由基本不等式，得x＋ ≥2 ＝24，当且仅当x＝ ，即x＝12时等号成立，且12∈（8， 18）.此时L取得最大值，故每件售价应定为12元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. ∃x＞0，使得 ＋x－a≤0，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：∃x＞0，使得 ＋x－a≤0，等价于x＞0时a≥ ，∵x ＋ ≥2 ＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥2. [2，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了 400平方米的矩形展位，展位由展示区（图中阴影 部分）和过道（图中空白部分）两部分组成，其 中展示区左右两侧过道宽度都为2米，前方过道宽度为4米.后期将对展位 进行装修，其中展示区的装修费为100元/平方米，过道的装修费为200元/ 平方米.记展位靠墙的一条边长为x米，整个展位的装修总费用为y元. （1）请写出装修总费用y关于边长x的表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解： 设展位靠墙的一边边长为x米，则展示区靠墙的一边的边长为（x－4）米， 展示区另一边边长为 米，由 可得4＜x＜100， 所以，y＝100（x－4） ＋200· ＝80 000－100（x－4）· ＝400 ＋38 400， 即y＝400 ＋38 400，其中4＜x＜100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）如何设计展位的边长使得装修总费用最低？并求出最低费用. 解： 由基本不等式可得y＝400 ＋38 400≥800 ＋38 400＝54 400， 当且仅当x＝20时，等号成立，因此，当展位区域是边 长为20米的正方形区域时，装修费用最小为54 400元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产 x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平 均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （　　） A. 30件 B. 60件 C. 80件 D. 100件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝ ＝ ＋ ≥2 ＝30，当且仅当 ＝ ，即x＝60时等号 成立，故每批应生产产品60件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕（2026·扬州月考）已知正数m，n满足m＋n2＝2，则下列 说法正确的是（　　） A. m＋3n的最大值为 B. mn2的最大值为2 C. ＋ 的最小值为2 D. m2＋n4的最小值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　∵m＝2－n2＞0，∴0＜n＜ ，∴m＋3n＝2－n2＋3n＝－ （n－ ）2＋ ，则m＋3n＜ ，故A错误；依题意，mn2≤ ＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B错误；∵ ＋ ＝ （m＋ n2）（ ＋ ）＝ （2＋ ＋ ）≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成 立，故C正确；∵ ≥（ ）2＝1，∴m2＋n4≥2，当且仅当m＝ n＝1时等号成立.故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 设a＞0，b＞0，a＋b＝5，则 ＋ 的最大值为 　3 　. 解析：令t＝ ＋ ，则t2＝a＋1＋b＋3＋2 ＝9＋2 ≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当 且仅当a＋1＝b＋3时，等号成立，此时a＝ ，b＝ .故tmax＝ ＝ 3 . 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. （2026·江阴期中）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造 型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个 小矩形加一个正方形的面积共为200平方米.计划在正方形MNPQ上建一座 花坛，造价为每平方米42百元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺 设花岗岩地坪，造价为每平方米2.1百元，再在四个角上铺设草坪，造价 为每平方米0.8百元. （1）设AD长为x米，AM长为y米，用x表示y并求出x的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解： 由题意得，AD＝x，AM＝DQ＝y， 因为四个小矩形和一个正方形的面积共为200 平方米， 所以x2＋4xy＝200，即y＝ ，因为y＞0，所以0＜x ＜10 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）设总造价为S百元，问：AD为何值时S最小，并求出S的最小值. 解： 由（1）知总造价S＝42x2＋2.1×4xy＋ 0.8×4× y2＝380＋40x2＋ ≥380＋2 ＝ 380＋800＝1 180， 当且仅当40x2＝ 时，即x＝ 时，等号成立， 所以S的最小值为1 180百元，此时AD的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $