专题3.2 基本不等式 （4大知识点+10大题型+强化训练） -2026年高一数学暑假班预习提升讲义（苏教版必修第一册）

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题3.2 基本不等式 知识点一、基本不等式的证明与理解 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. 2.叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. 3、基本不等式的证明 方法一、作差法 ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二、性质法 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三、综合法 因为 ()2≥0 所以 a+b-2≥0 所以 2≤a+b 所以 （当且仅当时取等号“=”）． 方法四、利用几何意义证明 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识点二、基本不等式常见变形 1、 常见变形： （1） （2）（，）， （3） （4） （5）一个重要的不等式链：． 2.几个重要不等式 （1）若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）； （2）（同号）；（异号）；当且仅当时取等号． （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）权方和不等式 若 则 当且仅当 时取等. 知识点三、最值定理 1、如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) 2、如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点四、基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y. (2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题. (3)利用基本不等式求出y的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 知识点一、基本不等式的证明 题型一、基本不等式的理解及常见变形 【方法点拨】对基本不等式的理解 (1)基本不等式≤ (a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系． (2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a，b都是非负数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b． 【例1】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【例3】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3.下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 4．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 5. 如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 6．（多选）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ） A． B． C． D． 题型二、应用基本不等式比较大小 【方法点拨】在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向. 【例4】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 【例5】设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例6】（多选）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 3．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 题型三、根据基本不等式证明不等式 【方法点拨】(1)策略：①从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． ②要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系.当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【易错提醒】利用基本不等式证明不等式时，易出现的错误有两个，一是不注意基本不等式的使用条件；二是证明步骤上不完整 【例7】（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【例8】（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【跟踪训练】 1.已知，，证明：； 2.已知，都是正数，求证：. 3.若，，且，求证：，并说明等号成立的条件. 4. 已知，，，且．求证：． 5. 已知、、都是正实数，且，求证：. 6. 已知正数x、y满足，求证：. 知识点二、利用基本不等式求最值 题型四、直接法求最值 【例9】已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【例10】若，则的最大值是__________. 【例11】若实数、满足，则的最小值是__________. 【跟踪训练】 1. 已知都是正实数，若，则的最大值为___________． 2. 若正实数满足，则的最大值为__________． 3.已知，则的最大值为__________. 4．已知，则的最大值是___________． 5.若，，且，则的最小值为________． 题型五、常规凑配法求最值 【方法点拨】配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【例12】的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【例13】若，则函数的最小值为_____. 【跟踪训练】 1．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 2．已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 3．设实数满足，则函数的最大值是________________ 4.已知函数，则函数的最大值为 . 题型六、“1”的代换求最值 【方法点拨】1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 【例13】已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【例14】已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 2.已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 3.已知，，且，则的最小值为________． 4.已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 5.已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6.已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 题型七、分式型求最值 【例15】当时，函数的最小值为 ________________ ． 【例16】函数取得的最小值时，的值为___________． 【跟踪训练】 1.设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 2.当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 3.已知，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4.已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 题型八、消元法求最值 【例17】已知，，若，则的最小值为________． 【跟踪训练】 1. 已知，均为正数，若，则最小值为________. 2. 设均为正实数，满足，则的最小值为______. 3. 若正数满足，则的最小值是___________. 4. 若，，则的最小值为__________. 知识点三、基本不等式的应用 题型九、与基本不等式有关的恒成立问题 【方法点拨】在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化. 1.先用基本不等式求出函数值域（最大/最小值） 2.转化为最值与参数的不等关系求解参数范围 3.定义域限制均值取不到时改用单调性求最值 【例18】已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【例19】设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【跟踪训练】 1.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 2.若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 3.若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 题型十、基本不等式的实际应用 【方法点拨】1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 【例20】如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 【例21】某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【跟踪训练】 1.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 2.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 3.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 4.某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 一、选择题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 3．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4.设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 5.已知，则的最大值为 ． 6.已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 7.已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8.如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 二、多项选择题 9．如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10.设且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 11. 已知正实数，满足，则（   ） A． B．的最大值为16 C．的最小值为9 D．的最小值为3 12. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题 13．已知，则 的最小值为________ 14.若，则的最小值是 . 15．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为______. 16.如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 四、解答题 17.（1）已知，，且，求的最小值； （2）已知且，求的最小值. 18.（1）已知，且，求证：. （2）已知都是正数，证明：. 19. 已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 20. 已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 21. 某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题3.2 基本不等式 知识点一、基本不等式的证明与理解 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. 2.叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. 3、基本不等式的证明 方法一、作差法 ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二、性质法 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三、综合法 因为 ()2≥0 所以 a+b-2≥0 所以 2≤a+b 所以 （当且仅当时取等号“=”）． 方法四、利用几何意义证明 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识点二、基本不等式常见变形 1、 常见变形： （1） （2）（，）， （3） （4） （5）一个重要的不等式链：． 2.几个重要不等式 （1）若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）； （2）（同号）；（异号）；当且仅当时取等号． （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）权方和不等式 若 则 当且仅当 时取等. 知识点三、最值定理 1、如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) 2、如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点四、基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y. (2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题. (3)利用基本不等式求出y的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 知识点一、基本不等式的证明 题型一、基本不等式的理解及常见变形 【方法点拨】对基本不等式的理解 (1)基本不等式≤ (a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系． (2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a，b都是非负数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b． 【例1】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 【例2】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，当且仅当即等号成立； 对B，当且仅当即等号成立； 对C，当且仅当即时等号成立； 对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立． 故选：D． 【例3】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（多选）已知，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用和的变形判断. 【详解】因为， 由得，，故B，C正确； 由由得，，故A正确，D错误． 故选：ABC. 3.下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 4．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 5. 如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 6．（多选）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据圆中弦长关系，可得不等式，成立.. 【详解】，可得半径 在中，由射影定理可知：，   ， ， （），故B正确， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， ，即， ，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用几何关系得出不等式，需有一定的识图能力与分析能力. 题型二、应用基本不等式比较大小 【方法点拨】在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向. 【例4】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 【答案】/ 【解析】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是. 故答案为： 【例5】设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 【例6】（多选）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 【跟踪训练】 1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式以及基本不等式的性质，结合作差法判断各选项． 【详解】因为，可得， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以． 故选：D． 2．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 3．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 题型三、根据基本不等式证明不等式 【方法点拨】(1)策略：①从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． ②要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系.当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【易错提醒】利用基本不等式证明不等式时，易出现的错误有两个，一是不注意基本不等式的使用条件；二是证明步骤上不完整 【例7】（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 【例8】（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 【跟踪训练】 1.已知，，证明：； 【分析】因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. 【详解】（1）略 2.已知，都是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对分别应用基本不等式求解即可. 【详解】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 3.若，，且，求证：，并说明等号成立的条件. 解析：，，，将三式相加 ，即， ，，即， ， ，当且仅当时等号成立. 4. 已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【解答过程】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 5. 已知、、都是正实数，且，求证：. 【分析】根据题意利用乘“1”法，结合基本不等式分析证明. 【详解】因为、、都是正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 6. 已知正数x、y满足，求证：. 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【详解】因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 知识点二、利用基本不等式求最值 题型四、直接法求最值 【例9】已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 【例10】若，则的最大值是__________. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式和为定值求解最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是3. 故答案为：3. 【例11】若实数、满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】因为实数、满足， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是 故答案为： 【跟踪训练】 1. 已知都是正实数，若，则的最大值为___________． 【答案】/0.75 【分析】由基本不等式求得结果. 【详解】，所以，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 2. 若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【解析】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 3.已知，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 4．已知，则的最大值是___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是1. 故答案为：1 5.若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 题型五、常规凑配法求最值 【方法点拨】配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【例12】的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 【例13】若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值、对勾函数求最值 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 【跟踪训练】 1．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 2．已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 3．设实数满足，则函数的最大值是________________ 【答案】/ 【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值. 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 4.已知函数，则函数的最大值为 . 【答案】 【分析】将函数解析式变为，利用基本不等式可求得所求最值. 【详解】， ，，（当且仅当，即时取等号）， ，，即最大值为. 故答案为：. 题型六、“1”的代换求最值 【方法点拨】1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 【例13】已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 【例14】已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 【跟踪训练】 1.已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 2.已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 3.已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】对所求式子变形，将，代入原式得：，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， ， 则， 当，即，且等号成立， 解得，均满足， 因此的最小值为. 4.已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 5.已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 6.已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】B 【分析】根据已知有，应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题意，， 又，当且仅当时取等号， 所以，即目标式最小值为7. 故选：B. 题型七、分式型求最值 【例15】当时，函数的最小值为 ________________ ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解． 【详解】当时，函数， 当且仅当，即x时,等号成立，所以的最小值为. 【例16】函数取得的最小值时，的值为___________． 【答案】4 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案. 【详解】.当且仅当，即时， 等号成立.故的最小值为6. 故答案为：4 【跟踪训练】 1.设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 2.当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 3.已知，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】， ，， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5. 故选：B. 4.已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 题型八、消元法求最值 【例17】已知，，若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意，，则， 令，， 则， 等号成立时，即，， 故的最小值为. 【跟踪训练】 1. 已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【解析】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 2. 设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 3. 若正数满足，则的最小值是___________. 【答案】4 【解析】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是4. 故答案为：4. 4. 若，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】∵，∴， ∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当，即时取等号， 当时，∴， ∴当，时，的最小值为. 故答案为：. 知识点三、基本不等式的应用 题型九、与基本不等式有关的恒成立问题 【方法点拨】在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化. 1.先用基本不等式求出函数值域（最大/最小值） 2.转化为最值与参数的不等关系求解参数范围 3.定义域限制均值取不到时改用单调性求最值 【例18】已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 【例19】设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即． 【跟踪训练】 1.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2.若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】先利用常数代换，使用基本不等式求得,再根据不等式恒成立的意义得到答案. 【详解】由已知，, 当且仅当时取等号，结合已知解得,符合题意，所以, 因为恒成立，所以,解得, 故答案为： 3.若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】因为，所以根据基本不等式及不等式的性质可得实数a的取值范围. 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时，取得最大值. 因为恒成立，所以，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案是：. 题型十、基本不等式的实际应用 【方法点拨】1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 【例20】如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)240 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（1）方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. （2）由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 【例21】某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 【跟踪训练】 1.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 2.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【解析】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 3.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 4.某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 一、选择题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【答案】C 【分析】应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确． 故选：C. 3．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 4.设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：A. 5.已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】解法一：应用基本不等式计算和为定值即可得出最大值；解法二：应用二次函数单调性得出二次函数的最大值即可. 【详解】解法一：， 当且仅当，即时等号成立． 解法二： ， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值． 故答案为：. 6.已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 7.已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】将已知变形为，再利用基本不等式乘“1”的方法求最值. 【详解】． ． 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 8.如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可. 【详解】， ， 而， 则由，可得，当且仅当时等号成立. 故选：A. 二、多项选择题 9．如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】举反例可排除AB，根据二次函数的性质可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】不妨令，，，可排除A与B； 对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确； 对于D，，由基本不等式“”，得,D正确. 10.设且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过变形比较判断A、C；通过特值判断B、D. 【详解】对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立； 对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立. 故选：AC. 11. 已知正实数，满足，则（   ） A． B．的最大值为16 C．的最小值为9 D．的最小值为3 【答案】AC 【解析】因为是正实数， 所以由，所以，故A正确； 当，时，满足，而，故B错误； 由，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为9，故C正确； 因为为正数， 所以由，由，得，故D错误． 12. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【解析】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 三、填空题 13．已知，则 的最小值为_____ 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 14.若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 15．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为______. 【答案】6 【详解】要使不等式恒成立，只需要.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为6，即，故的最大值为6. 16.如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设，则，根据可求出的取值范围，求出，，利用基本不等式可求得矩形面积的最小值. 【详解】设，则，其中， 因为，则，可得， 由题意可得，， 所以，矩形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，矩形面积的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 17.（1）已知，，且，求的最小值； （2）已知且，求的最小值. 【答案】（1）17；（2） 【详解】（1）由，得，而，， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值17. ．（2）由题意知. 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 当时， ，当且仅当，即时，等号成立. 综上，的最小值为. 18.（1）已知，且，求证：. （2）已知都是正数，证明：. 【详解】（1），且，则，当且仅当时取等号， 所以. （2）.， 当且仅当时，等号成立. 19. 已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 20. 已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 21. 某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【解析】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $