午练半小时 第7练 基本不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦基本不等式“一正二定三相等”核心条件，通过配凑、转化、“1”的代换等方法系统训练函数最值、实际应用等问题，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1,3,6|配凑法（拆添项）、负数变形|从概念条件到简单函数最值推导| |条件转化|选择4,5,8|“1”的代换、变量表达|等式条件与不等式应用的转化| |实际应用|选择2,解答10|模型构建、利润分析|实际问题抽象为数学模型的应用| |恒成立问题|填空9|最值法求参数|不等式与函数最值的逻辑关联|

第7练　基本不等式 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.函数y=x++5(x>1)的最小值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.5 答案　C 解析　∵x>1，x-1>0， ∴函数y=x++5=(x-1)++6 ≥2 +6=8，当且仅当x=2时，取得等号，因此函数y=x++5的最小值为8. 2.某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，则当利润最大时，每件商品的定价为(　　) A.105元 B.110元 C.115元 D.120元 答案　C 解析　由题意可知利润y=(x-30)(200-x)≤=7 225， 当且仅当x-30=200-x，即x=115时等号成立. 3.设y=x∈(-1，+∞)，则y的最小值是(　　) A.2 B.2-1 C.2+1 D.2-2 答案　B 解析　∵x>-1，∴x+1>0， ∴y==+x=+1+x-1≥2-1，当且仅当=1+x，即x=-1时，等号成立，所以y的最小值是2-1. 4.若正数x，y满足x2+3xy-1=0，则x+y的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由x2+3xy-1=0，可得y=. 又x>0，所以x+y=+≥2= 当且仅当x=时，等号成立. 5.(多选)设正实数a，b满足a+b=1，则下列说法错误的是(　　) A.+有最大值4 B.有最小值 C.+有最大值 D.a2+b2有最小值 答案　ABD 解析　对于A+=(a+b)=2+≥2+2=4，当且仅当=且a+b=1，即a=b=时，等号成立， ∴+有最小值4，故A不正确； 对于B，由基本不等式得≤=当且仅当a=b=时，等号成立，∴有最大值故B不正确； 对于C+≤2=2=当且仅当a=b=时，等号成立， ∴+有最大值故C正确； 对于D，a2+b2≥2=当且仅当a=b=时，等号成立，∴a2+b2有最小值故D不正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知x<0，则y=1+2x+的最大值为　　　　，当且仅当x=　　　　时，取得最大值.  答案　-3　-1 解析　y=1+2x+=1-2≤1-2×2=-3， 当且仅当(-x)2=1，即x=-1时等号成立， 故y=1+2x+的最大值为-3，此时x=-1. 7.已知正实数x，y满足x+y=4，则x(y+2)的最大值为　　　　.  答案　9 解析　因为x+y=4，所以x+(y+2)=6， 因为x(y+2)≤=9， 当且仅当即时，取得等号. 所以x(y+2)的最大值为9. 8.已知a>0，b>0，且+=1，则a+b的最小值为　　　　.  答案　2+1 解析　由a>0，b>0+=1， 得a+b=(a+1)+(b+1)-2 =[(a+1)+(b+1)]-2 =++1≥2+1 =2+1， 当且仅当= 即a=b=+1时，a+b取得最小值2+1. 9.不等式(x+y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为　　　　.  答案　16 解析　(x+y)=1+a++ ≥1+a+2 =1+a+2=(+1)2， 当且仅当=时，取得等号， 即(x+y)的最小值为(+1)2.若不等式(x+y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则(+1)2≥25，即+1≥5，则≥4，则a≥16，即正实数a的最小值为16. 三、解答题(共14分) 10.(14分)近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为y=2x2+(15-4k)x+120k+8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量x=1时，总成本y=142. (1)求k的值；(6分) (2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？(8分) 解　(1)由题意，除尘后总成本 y=2x2+(15-4k)x+120k+8+kx =2x2+(15-3k)x+120k+8(x>0)， ∵当日产量x=1时， 总成本y=142，代入计算得k=1. (2)由(1)y=2x2+12x+128，总利润 L=48x-(2x2+12x+128)=36x-2x2-128， x>0，每吨产品的利润为 =36-2≤36-4=4， 当且仅当x=即x=8时，取得等号， ∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元. 学科网（北京）股份有限公司 $