3.1 不等式的基本性质-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦不等式的基本性质，涵盖实数大小比较与不等式性质等核心知识点。以“糖水变甜”情境导入，通过实际问题引出不等关系，搭建从生活现象到数学抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与数学思维，如情境导入引导学生用数学眼光观察现实世界，作差法比较大小与一题多解培养逻辑推理能力，通性通法总结规范思维过程。实例丰富且分层设计，助力学生提升数学素养，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

3.1　不等式的基本性质 第三章　不等式 1 课标 要求 1.理解相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系（数学抽 象、逻辑推理）. 2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质（逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0）， 则糖的质量和糖水的质量比为 .若再添加m 克糖（m＞0）且完全溶解，则糖的质量和糖 水的质量比为 . 【问题】　（1）添加糖后，糖水会变甜吗？ （2）你能根据这个事实写出a，b，m所满足的不等关系吗？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　实数大小比较的基本事实 文字表示 符号表示 当a－b为正数时，称 ⁠ ⁠ a＞b⇔a－b ⁠0 当a－b为0时，称 ⁠ a＝b⇔a－b ⁠0 当a－b为负数时，称 ⁠ ⁠ a＜b⇔a－b ⁠0 a＞ b　 ＞　 a＝b　 ＝　 a＜ b　 ＜　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 　在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔b ⁠a 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 3 可加性 a＞b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac bc c的符号 ⇒ac bc ＜　 ＞　 ＞　 ＜　 数学·必修第一册（SJ） 目录 性质 别名 性质内容 注意 5 同向可加性 ⇒a＋c b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac bd 同向 同正 7 可乘方性 a＞b＞0⇒an bn（n∈N*） 同正 提醒：（1）若a＞b＞0，则0＜ ＜ ；若a＜b＜0，则0＞ ＞ ；（2） 不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算. ＞　 ＞　 ＞　 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是 （　　） A. ad＞bc B. ac＞bd C. a－c＞b－d D. a＋c＞b＋d √ 解析： 　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B、C. 由不等 式性质5知，D一定成立. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（　　） A. a＞b B. a＜b C. a≥b D. a≤b √ 解析： 　a－b＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x）＝x2－2x＋1＝（x－1） 2≥0，所以a≥b. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 〔多选〕（2026·如皋质检）下列结论中错误的是（　　） A. 若x＜y＜0，则 ＞ B. 若x2＝1，则x＝1 C. 若x＝y，则 ＝ D. 若x＜y，则x2＜y2 √ √ √ 解析： 　因为 － ＝ ，因为x＜y＜0，故y－x＞0，xy＞0，即 － ＞0，所以 ＞ ，故A正确；由x2＝1，得x＝±1，x不一定为1，故B 错误；若x＝y＜0， ， 无意义，故C错误；若x＜y＜0，x2＞y2，故 D错误.故选B、C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b从小到大依次排列的顺 序是 .（用“＜”连接） 解析：因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又b＜0，则－b＞0，所 以－a＜b＜－b＜a. －a＜b＜－b＜a 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 14 题型一　作差法比较大小 （链接教科书第53页例3）（1）比较两数（a2－1）2与a4－a2＋1的大 小； 解： 因为（a2－1）2－（a4－a2＋1）＝a4－2a2＋1－a4＋a2－1＝－ a2. 当a＝0时，－a2＝0，所以（a2－1）2＝a4－a2＋1； 当a≠0时，－a2＜0，所以（a2－1）2＜a4－a2＋1. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）已知：a＞0，b＞0，试比较 ＋ 与 的大小. 解： （ ＋ ）－ ＝ ，因为a＞0，b＞0，所以 ＞0，所以 ＋ ＞ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 作差法比较大小的步骤 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. （2026·徐州月考）已知M＝（a＋2）（a＋3），N＝a2＋5a＋4， 则（　　） A. M＞N B. M＜N C. M＝N D. M≥N √ 解析： 　M－N＝（a＋2）（a＋3）－（a2＋5a＋4）＝2＞0，故M＞ N. 故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知a≥1，试比较M＝ － 和N＝ － 的大小. 解：因为a≥1， 所以M＝ － ＞0，N＝ － ＞0. 又 ＝ ＝ ＋ ， ＝ ＝ ＋ ， － ＝ － ＞0，所以 ＞ ＞0，所以M＜N. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　不等式性质的应用 角度1　利用不等式性质判断命题的真假 〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A. 0＞a＞b⇒a2＞b2 B. a2＞b2⇒a＞b＞0 C. 若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D. 若a＞b， ＞ ，则a＞0，b＜0 √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，则由不等式性质7 可知，（－b）2＞（－a）2，即b2＞a2，故A为假命题；对于B，不等式 性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由 可得a2＞ab.因 为 所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2，故C为真命题；对于D，由 ＞ ，可知 － ＝ ＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因 为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 利用不等式的性质判断命题真假的2种方法 （1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证 明；对于假命题只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二 是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 数学·必修第一册（SJ） 目录 角度2　利用不等式性质证明不等式 〔一题多解〕（链接教科书第53页例2）已知c＞a＞b＞0，求证： ＞ . 证明：法一　 － ＝ ＝ ＝ ， 因为c＞a＞b＞0，所以c＞0，c－a＞0，c－b＞0，a－b＞0， 所以 ＞0，所以 ＞ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 法二　因为a＞b＞0⇒－a＜－b⇒c－a＜c－b. 因为c＞a＞b＞0，所以0＜c－a＜c－b. 上式两边同乘 ，得 ＞ ＞0. 又因为a＞b＞0，所以 ＞ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）不等式证明的实质是比较两个实数（代数式）的大小； （2）证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差（商）比较法 证明； （3）应用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条 件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 数学·必修第一册（SJ） 目录 角度3　利用不等式性质求代数式的范围 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围. 解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋（－8）＜a＋（－b）＜4＋（－2）， 即－7＜a－b＜2.故2a＋3b的取值范围是（8，32），a－b的取值范围 是（－7，2）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 （变设问）在本例条件下，求 的取值范围. 解：∵2＜b＜8，∴ ＜ ＜ ，而1＜a＜4， ∴1× ＜a· ＜4× ，即 ＜ ＜2. 故 的取值范围是（ ，2）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 　　利用不等式的性质求范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，利用不等式的性质 进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价 变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其范围. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 〔多选〕已知 ＜ ＜0，则下列结论正确的是（　　） A. a＜b B. ab＞a＋b C. ｜a｜＜｜b｜ D. ab＞b2 √ √ 解析： 　由 ＜ ＜0可得b＜a＜0，显然选项A不正确；因为b＜a＜ 0，所以ab＞0，a＋b＜0，所以ab＞a＋b，故选项B正确；因为b＜a＜ 0，所以｜b｜＞｜a｜，故选项C正确；因为b＜a＜0，所以b＜0，a－ b＞0，可得ab－b2＝b（a－b）＜0，即ab＜b2，故选项D不正确.故选 B、C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知a＞b＞0，求证： ＞ . 证明：∵a＞b＞0，∴ ＞ ＞0. ① 又∵a＞b＞0，两边同乘正数 ，得 ＞ ＞0. ② 由①②得 ＞ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. （2026·南京期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若a＞b，则b＜a. 性质2：若a＞b，b＞c，则a＞c. 性质3：若a＞b，则a＋c＞b＋c. 性质4：若a＞b，c＞0，则ac＞bc；若a＞b，c＜0，则ac＜bc. 性质5：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d. 性质6：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd. 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 数学·必修第一册（SJ） 目录 证明：因为a＞b＞0，c＞0，所以ac＞bc. 因为c＞d＞0，b＞0，所以bc＞bd. 所以ac＞bd. 在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A. 性质1和性质2 B. 性质2和性质4 C. 性质3和性质4 D. 性质4和性质5 √ 解析： 　因为a＞b＞0，c＞0，利用性质4得到ac＞bc.因为c＞d＞0， b＞0，利用性质4得到bc＞bd.再由ac＞bc，bc＞bd，利用性质2得到ac ＞bd.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2（a＋b ＋c），那么P与Q的大小关系是（　　） A. P＞Q B. P≥Q C. P＜Q D. P≤Q √ 解析： 　P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2a－2b－2c＝（a－1）2＋（b－ 1）2＋（c－1）2≥0.∵a，b，c不全相等，∴P－Q＞0，∴P＞Q. 故 选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 〔多选〕（2026·南京九中月考）下列命题中正确的是（　　） A. 若ac2＜bc2，则a＜b B. 若a2＜b2，则a＜b C. 若a＞b，c＜0，则ac＜bc D. 若a＜b，则｜a｜＜｜b｜ √ √ 解析： 　对于A，由于ac2＜bc2，则c≠0，且c2＞0，左右两边同乘以 即可得a＜b，故A正确；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a2＜b2，不 满足a＜b，故B错误；对于C，符合不等式的性质，故C正确；对于D，当 a＝－2，b＝1时，｜a｜＞｜b｜，故D错误.故选A、C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 求解不等式 － ＞ ，并用不等式的性质说明理由. 解：去分母，得2（x－1）－（x＋2）＞3（4＋3x）.（不等式性质4） 去括号，得2x－2－x－2＞12＋9x. 移项，得2x－x－9x＞2＋2＋12.（不等式性质3） 合并同类项，得－8x＞16，即8x＜－16. 系数化为1，得x＜－2.（不等式性质4） 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 36 1. 已知a，b∈R，设M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的值的大小关 系是（　　） A. M＜N B. M≤N C. M＞N D. M≥N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 因为M－N＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2≥0，所以M≥N. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·江阴月考）设a＞b，c＜d，则下列不等式中一定成立的是 （　　） A. a＋c＞b＋d B. ac＞bd C. a－c＞b－d D. a－d＞b－c √ 解析： 　令a＝1，b＝－1，c＝－1，d＝1，满足a＞b，c＜d，但a ＋c＝b＋d，ac＝bd，a－d＝b－c，故A、B、D中不等式不一定成 立；对于C，因为a＞b，c＜d，由不等式的可加性，得a＋d＞b＋c， 所以a－c＞b－d，故C中不等式一定成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 设a，b∈R，若a＋｜b｜＜0，则下列不等式中正确的是（　　） A. a－b＞0 B. a3＋b3＞0 C. a2－b2＜0 D. a＋b＜0 √ 解析： 　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b＜0，a3＋b3 ＜0，a2－b2＞0，a＋b＝－1＜0.故A、B、C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知不等式ax－b＞0的解集是{x｜x＞3}，则不等式bx＋a＞0的解集 是（　　） A. {x｜x＞－3} B. {x｜x＞－ } C. {x｜x＜－3} D. {x｜x＜－ } √ 解析： 　因为ax－b＞0的解集为{x｜x＞3}，所以a＞0，x＞ ，则 ＝3，所以b＝3a＞0，不等式bx＋a＞0化为3ax＋a＞0，则3ax＞－a， 所以x＞－ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕已知1＜a＜3，－5＜b＜－2，则下列结论正确的是（　　） A. a＋b的取值范围为（－4，1） B. a－b的取值范围为（3，8） C. ab的取值范围为（－15，－2） D. 的取值范围为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，因为1＜a＜3，－5＜b＜－2，所以1＋（－5）＜a ＋b＜3＋（－2），即－4＜a＋b＜1，所以a＋b的取值范围为（－4， 1），故A正确；对于B，因为－5＜b＜－2，所以2＜－b＜5，因为1＜a ＜3，所以2＋1＜a＋（－b）＜3＋5，即3＜a－b＜8，所以a－b的取值 范围为（3，8），故B正确；对于C，因为1＜a＜3，－5＜b＜－2，则2＜ －b＜5，所以2＜－ab＜15，则－15＜ab＜－2，所以ab的取值范围为 （－15，－2），故C正确；对于D，因为－5＜b＜－2，所以－ ＜ ＜－ ，则 ＜－ ＜ ，因为1＜a＜3，所以 ＜－ ＜ ，则－ ＜ ＜－ ， 所以 的取值范围为 ，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕（2026·江阴期中）已知a＜b＜0，c＞0，则下列不等式一 定成立的是（　　） A. ＞ B. ＞ C. ＜ D. ＜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　由a＜b＜0，c＞0，对于A，由 － ＝ ＞0⇒ ＞ ，故A 正确；对于B，由 － ＝ ＜0⇒ ＜ ，故B错误；对于C，由 － ＝ ＝ ，因为b＋c的符号不确定，则 与 的大小无 法确定，故C错误；对于D，因为 － ＝ ，又a＜b＜0，所以b－ a＞0，故 － ＝ ＜0，即 ＜ ，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为 ⁠ ⁠. 解析：因为－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，所以y＜－y，又x＞1，所以y ＜－y＜x. y＜－ y＜x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 不等式a＞b和 ＞ 同时成立的条件是 ⁠. 解析：若a，b同号，则a＞b⇒ ＜ ，故需a，b异号且a＞b. a＞0＞b　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 若a，b都是实数，则“ － ＞0”是“a2－b2＞0”的 ⁠ 条件. 解析：∵ － ＞0，∴ ＞ ，∴（ ）2＞（ ）2，∴a＞b＞ 0，∴a2－b2＞0，∴“ － ＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件，又 ∵a2－b2＞0，不妨取a＝－2，b＝1，无法推出 － ＞0. 充分不必 要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. （1）已知a＜b＜0，求证： ＜ ； 证明： 由于 － ＝ ＝ ， ∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴ ＜0，故 ＜ . （2）已知a＞b， ＜ ，求证：ab＞0. 证明： ∵ ＜ ，∴ － ＜0，即 ＜0， 而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. （2026·启东中学期中）已知高一（1）班人数比高一（2）班人数 多，两个班的女生总人数比男生总人数多，则下列判断一定正确的是 （　　） A. 高一（1）班女生人数比男生人数多 B. 高一（2）班女生人数比男生人数多 C. 高一（1）班男生人数比高一（2）班女生人数多 D. 高一（1）班女生人数比高一（2）班男生人数多 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 设高一（1）班男生、女生人数分别为x1，y1，高一（2）班男 生、女生人数分别为x2，y2，由题意可得 由不等式的 基本性质可得x1＋2y1＋y2＞x1＋2x2＋y2，化简可得y1＞x2，即高一（1） 女生人数比高一（2）班男生人数多.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕设a＜b＜0，则下列不等式中正确的是（　　） A. ＞ B. ac＜bc C. ｜a｜＞－b D. ＞ √ √ √ 解析： 　对于A，a＜b＜0， ＞ ，则 ＞ ，选项A正确；对于B， 当c＞0时选项B成立，当c≤0，选项B不成立，所以选项B错误；对于 C，｜a｜＝－a＞－b，则选项C正确；对于D，由－a＞－b＞0，可得 ＞ ，则选项D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 〔一题多解〕（2026·南京中华中学月考）已知实数x，y满足－4≤x －y≤－1，－1≤4x－y≤5，则z＝9x－y的取值范围是 ⁠. 解析：法一　设9x－y＝λ1（x－y）＋λ2（4x－y）＝（λ1＋4λ2）x＋ （－λ1－λ2）y，则 解得 由已知得 ≤－ （x－y）≤ ，－ ≤ （4x－y）≤ .上面两式相加，得－1≤9x－ y≤20.故z＝9x－y的取值范围是[－1，20]. [－1，20] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 法二　令m＝x－y，n＝4x－y，联立方程组 解得 则9x－y＝ － ＝－ m＋ n，因为－4≤m≤ －1，－1≤n≤5，可得 ≤－ m≤ ，－ ≤ n≤ ，所以－1≤ n－ m≤20，所以－1≤9x－y≤20，即－1≤z≤20.故z＝9x－y的取值范围 是[－1，20]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 已知三个不等式：①ab＞0；② ＞ ；③bc＞ad.若以其中两个作为 条件，余下的一个作为结论，请写出所有符合要求的真命题，并写出推理 过程. 解：命题一：若ab＞0，且 ＞ ，则bc＞ad. 证明：因为 ＞ ，且ab＞0，所以 ·ab＞ ·ab，即bc＞ad. 命题二：若ab＞0，且bc＞ad，则 ＞ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 证明：因为ab＞0，所以 ＞0，又bc＞ad， 所以bc· ＞ad· ，即 ＞ . 命题三：若bc＞ad，且 ＞ ，则ab＞0. 证明： － ＞0⇒ ＞0，又bc＞ad，所以ab＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $