专题01 不等式的基本性质四大常考题型（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式基本性质四大核心应用，以题型为载体系统整合比较大小（作差/商法）、性质应用、证明及取值范围问题，构建“方法-应用-迁移”的逻辑体系，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作差法、作商法比较大小|10题（含实际情境比较）|作差变形定号、作商与1比较|从基本比较方法切入，奠定性质应用基础| |利用不等式性质比较大小|10题（含多选及命题判断）|性质直接应用与命题真伪判断|强化性质理解，构建逻辑推理能力| |利用不等式性质证明不等式|10题（含综合法证明）|综合法结合性质递推|提升逻辑表达，深化性质应用能力| |利用不等式性质求取值范围|10题（含参数及范围综合）|不等式同向可加性与变量替换|实现性质从定性到定量的应用拓展|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题01不等式的基本性质四大氵 题型归纳 题型一作差法、作商法比较大小 题型二利用不等式性质比较大小 题型三利用不等式性质证明不等式 题型四利用不等式性质求代数式的取值范围 题型专练 题型一：作差法、作商法比较大小 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】> 0>a+1 8.【答案】b之b+1 9.【答案】A≥B 10.【答案】x2 题型二：利用不等式性质比较大小 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 1/7 上好每一堂课 常考问题 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【答案】ACD 6.【答案】BCD 7.【答案】② 8.【答案】③ 9.【答案】(1)解法1因为a>b>c且a+b+c=0,所以c<0,且a-c>b-c>0,两边取倒数得 1<1 c2-c a-cb-c,又c<0:则a-c>b-c,从而得证. 解法2因为a>b>c且a+b+c=0,所以c<0,且a-c>b-c>0,所以 c-9.00,÷ a-c b-c (2②因为a>be且g+6+e=0所以g>0:e<0:则后<0，名 b21:由a+b+c=0,可得1+5+￡=0 aa 2台-1，所以后-11，可后2.综上2后<0 a 10.【答案】(1)方法一：作差法. (x2+y）x-y)-(2-y2)(x+y)=(x-y(x2+y）-(x+y]=-2y(x-y） 因为x>y>0,所以y>0,x-y>0,所以-2xy(x-y)<0, 所以(x2+y)(x-y)<(x2-y2）x+y). 方法二：作商法。 因为x>y>0,所以(x2+y2)(x-y)>0,(x2-y2)(x+y)>0, (x2+y2）x-y)x2+y2x2+y2 两式作商可得-y)x+)）(x+可7+)+2w <1 所以(x2+y2)(x-y)<(x2-y2)(x+y). (2)方法一：作差法 xy bx-ay 1.1 x+ay+b(x+a0y+n·因为。>方且a,b∈(0，+o)所以b>a>0 又因为x>y>0,所以br>ay>0,则br-ay>0, x>y 反因为a0.v+b>0所以x+av+b>0，即x+ay+b 方法二：作商法 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com x>0,y>0, 因为a,b,x,y∈(0，+o)所以x+a20y+b x+a=x(y+b）_y+bx 两式作商可得yy(x+a)y+ay' y+b 11 因为。>方，由倒数法则可知a<b: 又x>y,所以由不等式的性质得y<br, 则由同向可加性得知y+y<y+bx, y+>1,即x+ay+b 则y+a四 x>y 题型三：利用不等式性质证明不等式 1,【答案】因为d>c>0,所以cd>0d之0 11 所以4之c>0即。>→> >0, cd a b 因为a>b>0,所以。>a 2. 【答案】证明：方法一：因为c>a>b>0,所以0<c-a<c-b, 所以0<(c-a'<(c-b),所以(c-a)(c-b)'>0, ue-可je-k-ogic-a-e- 6e可ed60 11 b 又因为a>b>0'所以(c-a了>(e-b了 aba(c-b)2-b(c-a)月 方法=：(c-a(c-b(c-a(c-b ac2-2abc+ab2-(be2-2abc+ba2) (c-a)(c-b)2 -ac2-be2+ab2-ba2 (a-b)(c2-ab) (c-a)'(c-b)2(c-a)(c-b)2 317 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为c>a>b>0,所以a-b>0,c2>ab,c-a>0,c-b>0. (a-bc-ab）,0. 所以(a-bc2-ab)>0所以c-a矿(c-b b b 所以e-a可e->0.因此e-e- 11 3.【答案】a之b,a>0,b>0 .b>a>0, 又c>d>0, ∴.bc>ad>0,故bc-ad>0, :cd bc-ad a+c b+d (a+c)(b+d)'bc-ad>0'(a+c)(b+d)>0. .cd 、d a+c b+d >0,即a+cb+d 4..【答案】证明：因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0, 所以4(a-b)(b-c)s[(a-b)+(b-c)]=(a-c2, a-c24,mb-ca-1420. 所以(a-b)b-c2a-c,即(a-b)b-c)a-c 1+1+420 所以a-b+b-cc-a1 5.【答案】(1)由a>b>1,则a-1>0,b-1>0,故(a-1)(b-1)>0, 由d<c<-2,则c+2<0,d+2<0,故(c+2)(d+2)>0, 所以(a-1)6-l)(c+2)(d+2)>0,得证. (2)由ac+bd-bc-ad=c(a-b)+d(b-a）=(c-d)(a-b),而a-b>0,c-d>0, 所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0,即ac+bd>bc+ad,得证 6.【答案】(1)M2=a+b+2√abN2=a+b,且a>0,b>0,所以M2>N2且M,N>0,即M>N: af》-b-a-+ 因为<60：所以-6<010.(a-+}0。 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a+8b+日0，即a+6+ b 7.【答案】由题意知x>0,y>0,z>0, 则有x+y+z>x+y,x+y+2>x+z,x+y+z>y+2,① y>-y 2 x+yx+y+z’y+zx+y+z’z+xx+y+z -+少+2 ->-Y t-y -=1 所以x+yy+2z+xx+y+zx+y+zx+y+ x<x+y<x+y2<y+2 又根据①的结论可知x+yx+y+z,y+zx+y+z’z+xx+y+z' x+y+3<+2+x+y+y+2=2 所以x+yy+2z+xx+y+zx+y+2x+y+z 综上所述，1<+上，+之<2 x+yy+zz+x 9<9+m(p>9>0,m>0) 8。【答案】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式pp+m 证明：因为a,b,c为三角形的三边长，则有a+b>c,a+c>b,b+c>a, cc+c a ata b b+b 由糖水不等式可得a+b<a+b+c'b+ca+b+c'a+ca+b+c, 将以上不等式左、右两边分别相加，得 c a b <c+c+a+a+b+h-2c+b+@=2, a+b b+c a+c a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c +a+b<2 即a+bb+cc+a 9.【答案】(1)因为c<d<0,所以-c>-d>0.又a>b>0,所以a-c>b-d>0,则 1 1 1 1<1 a-c0-之0，所以a-ea-60-d之6-d)a-e0-,即。6日又e<0所以 e a-c b-d' (2)要证Va-va-2<Va-1-va-3(a≥3)，只需证Va+Va-3<Va-i+va-2,即证 a+(a-3)+2Va(a-3)<(a-l)+(a-2)+2a-1(a-2),即证Va(a-3)<V(a-1(a-2),即证 a(a-3)<(a-l)(a-2),即证0<2，显然成立，所以va-va-2<a-1-va-3(a23). 10.【答案】(1)方法-：0<x<1,0<y<1,0<y<1,0<1-y<1, .0<x(1-y)<1-y, 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x(1-y)+y1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-y=1-y<1 方法二：0<x<1,0<y<1 .0<xy<1,0<1-x<1,0<1-y<1 ∴.0<x(1-y)<1-y,0<y1-x)<y ∴x(1-y)+y1-x)<(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1 方法三：x(1-y)+y(1-x)+y+(1-x)1-y)=1 .x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)1-y) 0<x<1,0<y<1, 0<y<1,0<1-x<1,0<1-y<1, ∴x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)1-y)<1. 即x(1-y)+y1-x)<1 (2)方法一：x0-y)+1-2)+21-)+2+0-x)1-y)1-z)=1, ∴.x(1-y)+y1-z)+z(1-x)=1-yz-(1-x1-y1-2）, 0<x<1,0<y<1,0<z<1. ∴.0<z<1,0<1-x<1,0<1-y<1,0<1-z<1,0<(1-x)1-y1-z)<1 ∴.1-xz-(1-x)1-y)1-z）<1, ∴x(1-y)+y1-z)+z(1-x)<1 方法二：0<x<1,0<y<1,0<z<1 .0<1-x<1,0<1-y<1,0<1-z<1. x(1-y)=x(1-y)1-z)+xz(1-y), y1-z)=y(1-z1-x)+yx(1-z）, z(1-x)=z(1-x)1-y)+2y(1-x). ∴.x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) =x(1-y)1-z）)+xz(1-y)+yx(1-z)+y1-z)1-x)+z(1-x)1-y)+zy(1-x) =x[1-y)1-z)+z1-y)+y(1-2z)]+(1-x)[y(1-z)+z(1-y)+zy] =x-y+1-z]+1-xy+z1-y)]<x-y+y]+0-x[y+0-y)]=x+1-x=1, .x(1-y)+y1-z)+z(1-x)<1 题型四：利用不等式性质求代数式的取值范围 1.【答案】C 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】AD 6.【答案】BD 7.【答案】(7,12) 8.【答案】5 9.【省案1m(24:a(号号 10.【答案】(1)证明：因为c<d<0,所以-c>-d>0.又a>b>0,所以a-c>b-d>0,所以 e (a-c}2>b-d}>0,所以(a-c<b-d2.又e<0,所以(a-c>(b-d. (2)解：因为l<a<4,2<b<8,所以2<2a<8,且6<3b<24,所以8<2a+3b<32.因为2<b<8, 所以-8<-b<-2.又因为1<a<4,所以-7<a-b<2.故2a+3b的取值范围是8<2a+3b<32,a-b的 取值范围是-7<a-b<2. 3解：自2<68：得后君}又1a4所以ga4,即日号2.故后的k恤 111 a1<<2」 是8b 7/7 专题01 不等式的基本性质四大常考问题 题型一 作差法、作商法比较大小 题型二 利用不等式性质比较大小 题型三 利用不等式性质证明不等式 题型四 利用不等式性质求代数式的取值范围 题型一：作差法、作商法比较大小 1．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 2．已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．设，，则（    ）． A． B． C． D． 5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 6．记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 7．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 8．已知，则与的大小是__________． 9．设，，，，则、的大小关系为______． 10．若，则、、、中最小的是__________. 题型二：利用不等式性质比较大小 1．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选）若，，，，下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是________（填写序号）． ①    ②   ③    ④ 8．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是_____． 9．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 10．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 题型三：利用不等式性质证明不等式 1．已知，证明：． 2．已知，求证:. 3．已知均为正实数，且，求证：． 4．已知，求证：． 5．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 6．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 7．设，，，证明：． 8．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 9．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 10．（1）设，求证：， （2）设，求证：， 题型四：利用不等式性质求代数式的取值范围 1．已知，则（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 4．若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 7．若实数，满足，，则的取值范围是________． 8．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________． 9．已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 10．（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 不等式的基本性质四大常考问题 题型一 作差法、作商法比较大小 题型二 利用不等式性质比较大小 题型三 利用不等式性质证明不等式 题型四 利用不等式性质求代数式的取值范围 题型一：作差法、作商法比较大小 1．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 2．已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用作差法比较大小，即可得解. 【详解】由题设， 又，则，故， 所以. 故选：B 4．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 6．记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 7．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 8．已知，则与的大小是__________． 【答案】 【分析】利用作差法求解即可 【详解】， ，， ， 故答案为： 9．设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 10．若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 题型二：利用不等式性质比较大小 1．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 2．已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断A，B；利用作差法判断C，D. 【详解】易知，，故A错误，B正确； 对于C，移项作差，得， 因为不能判断的正负， 所以不能确定的正负， 所以不能判断的大小关系，故C错误； 对于D，移项作差，， 所以，故D错误. 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 4．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C 5．（多选）若，，，，下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过作差比较法可判断A，D；通过举特例可排除B；利用不等式的基本性质可判断C. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若由得，故B不正确； 对于C，由得，∴， 所以，故C正确； 对于D，由，得， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对A举反例即可判断；对B利用作差法即可判断；对CD根据不等式性质即可判断. 【详解】对于A，当，时，，故A错误; 对于B，因为，所以，， 则，所以，故B正确; 对于C，因为，则，，所以，故C正确; 对于D，由，故，同除以ab得，故D正确. 故选：BCD 7．下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是________（填写序号）． ①    ②   ③    ④ 【答案】② 【分析】通过举出反例，可得①③都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知②正确；而④给出的是一个充要条件，也不符合题意 【详解】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 8．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是_____． 【答案】③ 【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：③ 9．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 10．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 题型三：利用不等式性质证明不等式 1．已知，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】应用不等式的性质得，利用同正相乘符号不变，即可证. 【详解】因为，所以， 所以，即， 因为，所以． 2．已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 3．已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 4．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 5．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 6．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 7．设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 8．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】糖水不等式，；证明见解析 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可得糖水不等式；根据糖水不等式，结合三角形三边关系可得，，，将以上不等式左、右两边分别相加即可证明. 【详解】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式，. 证明：因为为三角形的三边长，则有，，， 由糖水不等式可得，，， 将以上不等式左、右两边分别相加，得， 即. 9．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 10．（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明；方法四：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法五：构造一次函数， 证明对于，都有即可； （2）方法一：由，利用，即可证明； 方法二：由，利用，即可证明； 方法三：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法四：构造一次函数，，证明对，都有即可. 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 题型四：利用不等式性质求代数式的取值范围 1．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质，计算选项中各表达式的取值范围，进而判断选项正误． 【详解】选项A：，，即，故A错误； 选项B：，，又， ，即，故B错误； 选项C：，， ，异号，， ，故C正确； 选项D：，，，又，， ，异号，， ，故D错误． 故选：C． 2．已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的范围，再结合不等式性质可求的范围. 【详解】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即， 综上可知， 故选：B. 3．已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【详解】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 4．若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件先求解出的范围，然后代入计算可求的范围. 【详解】因为，，所以，解得， 所以，即， 故选：B. 5．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为，，所以， 即，故A正确； 因为，所以，即，故B不正确； 因为，则，又因为，所以，所以，故C不正确； 因为，则，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 6．（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：BD 7．若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 8．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过变量替换将三个差值设为，把用表示，分两种条件情况讨论，利用的不等式放缩，求出的下界，再比较得到最小值． 【详解】令，，，其中，，， 所以 若，则，故， 令， 因此故， 则． 若，则，即， ， 则故， 则，当且仅当且时，等号成立，即时等号成立． 综上可知，的最小值为． 故答案为：． 9．已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 10．（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：因为，所以．又，所以，所以，所以．又，所以． （2）解：因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是． （3）解：由，得．又，所以，即．故的取值范围是． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $