2.3.1 全称量词命题与存在量词命题-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦全称量词命题与存在量词命题，通过学校团体操表演情境导入，用“所有”“至少有”等短语引出量词概念，结合表格对比全称与存在量词，通过自我诊断和题型分析构建从具体到抽象的学习支架，衔接逻辑用语基础。 其亮点在于以生活情境激发数学抽象，题型三结合集合关系求参数范围培养逻辑推理，通性通法总结命题真假判断与参数范围策略。学生能形成有条理的思维，教师可直接使用分层练习提升教学效率。

2.3　全称量词命题与存在量词命题 2.3.1　全称量词命题与存在量词命题 第二章　常用逻辑用语 1 课标 要求 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义（数学 抽象）. 2.能正确地利用全称量词和存在量词叙述数学命题（数学抽象）. 3.掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假性的方法（数学抽 象、逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式 团体操表演.这1 000名学生符合下列条件： （1）所有学生都来自高一年级； （2）至少有30名学生来自高一（1）班； （3）每一个学生都有固定表演路线. 【问题】　上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一 个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称为什么命题？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词 符号 ∀ 全称量词命题 含有 ⁠的命题 形式 ∀x∈M，p（x） 全称量词　 数学·必修第一册（SJ） 目录 提醒：（1）常见的全称量词还有“一切”“任取（选）”“凡是”等； （2）有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补 充出来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平 行四边形的对角线都互相平分”. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词 符号 ∃ 存在量词命题 含有 ⁠的命题 形式 ∃x∈M，p（x） 提醒：（1）常见的存在量词还有“有些”“对某个”“至少有一个” 等；（2）有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有 一个”等特征的命题都是存在量词命题. 存在量词　 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列命题是全称量词命题的是（　　） A. 每个四边形的内角和都是360° B. 有的实数没有算术平方根 C. ∃x∈Z，2x＋1是整数 D. 存在一个x∈R，使2x＋1＝3 √ 解析： 　“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词称为全称量 词，“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词称为存在量 词.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 下列命题中的假命题是（　　） A. ∀x∈R，｜x｜＋1＞0 B. ∀x∈N*，（x－1）2＞0 C. ∃x∈R，｜x｜＜1 D. ∀x∈R，x2＋1≠0 √ 解析： 　A中命题是全称量词命题，易知｜x｜＋1＞0恒成立，故是真命 题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，（x－1）2＝0，故是假命题； C中命题是存在量词命题，当x＝0时，｜x｜＝0，故是真命题；D中命题 是全称量词命题，∀x∈R，x2≥0，x2＋1≥1≠0，故是真命题.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 若命题“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范 围是（　　） A. （1，＋∞） B. [1，＋∞） C. （－∞，1） D. （－∞，1] √ 解析： 由题意可知方程x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解 得m≤1.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为 ⁠ ⁠. 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成 立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R， 都有x2＋y2≥2xy成立. 对任意x，y∈R，都 有x2＋y2≥2xy成立　 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 13 题型一　全称量词命题与存在量词命题的识别 （链接教科书第37页练习1题）判断下列语句是全称量词命题还是存 在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： （1）自然数的平方大于或等于零； 解： 是全称量词命题， 表示为∀x∈N，x2≥0. （2）任意实数x，满足x2＋2≥2； 解： 是全称量词命题， 表示为∀x∈R，x2＋2≥2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）有些实数a，b，使｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜； 解：是存在量词命题，表示为∃a，b∈R，｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜. （4）存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大. 解： 是存在量词命题，表示为∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的 增大而增大. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不 能省略. 数学·必修第一册（SJ） 目录 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃” 表示下列命题： （1）不等式x2＋x＋1＞0恒成立； 解： 是全称量词命题，∀x∈R，x2＋x＋1＞0恒成立. （2）存在一个有理数x，使 x2＋ x＋1是有理数； 解： 是存在量词命题，∃x∈Q，使 x2＋ x＋1是有理数. （3）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； 解： 是全称量词命题，∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解. （4）有些整数既能被2整除，又能被3整除. 解： 是存在量词命题，∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 （链接教科书第37页例1）判断下列命题的真假： （1）∃x∈Z，x3＜1； 解： 因为当x＝－1时，－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，即x3＜1成 立，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题. （2）∀x∈R，x2＜x； 解： 因为当x＝0时，x2＜x不成立，所以“∀x∈R，x2＜x”是假 命题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）∃x∈Q，x2－2＝0； 解： 因为使x2－2＝0成立的x的值只有x＝ 与x＝－ ，但它们 都不是有理数，所以“∃x∈Q，x2－2＝0”是假命题. （4）∀x∈N，x2＋2＞0. 解： 因为对任意自然数x，都有x2≥0，x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0成 立，所以“∀x∈N，x2＋2＞0”是真命题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元 素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合 M中的一个x，使得p（x）不成立即可； （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到 一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 〔多选〕下列命题判断为真的是（　　） A. 在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P B. 每一条线段的长度都能用正有理数来表示 C. 至少有一个直角三角形不是等腰三角形 D. 存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立 √ √ 解析： 　A是真命题.B是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为 ，就不能用正有理数表示.C是真命题，如有一个内角为30°的直角三 角形就不是等腰三角形.D是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31＜ 0，故方程无实数根.故选A、C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且 B≠⌀，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 解：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A， 因为B≠⌀，所以 解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 1. （变条件）把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围. 解：p为真命题，则A∩B≠⌀，因为B≠⌀，所以m≥2. 所以 或 解得2≤m≤4. 即m的取值范围为{m｜2≤m≤4}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （变设问）把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数 m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说 明理由. 解：由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题， 所以A⊆B，因为B≠⌀， 所以 无解， 所以不存在实数m，使命题p是真命题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 根据全称（存在）量词命题的真假求参数范围的策略 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关 系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取 值范围. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是 ⁠. 解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 2. 若命题“∃x∈R，2x2－4x＋a＝0”为真命题，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：∵命题“∃x∈R，2x2－4x＋a＝0”为真命题，∴方程2x2－4x＋a ＝0存在实数根，则Δ＝（－4）2－8a≥0，解得a≤2.即实数a的取值范围 是{a｜a≤2}. {a｜a≤3} {a｜a≤2} 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列结论正确的个数是（　　） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称量词命题； ③命题“存在一个x∈R，使得x2＋4x＋4≤0”是存在量词命题. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错 误；②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称量词命题，故②正确；③命题 “存在一个x∈R，使得x2＋4x＋4≤0”是存在量词命题，故③正确.故 选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A. ∃x∈Z，x3＝3 B. ∃x∈R，3x＋1是整数 C. ∀x∈R，｜x｜＞3 D. ∀x∈Q，x2∈Z √ 解析： 　A、B为存在量词命题，C、D为全称量词命题.A中，由x3＝3得 x＝ ，所以选项A为假命题；B中，当x＝1时，3x＋1＝4是整数，所以 选项B为真命题；故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 若命题“∃x＞1，使ax－3＜0”是真命题，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：当a≤0时，显然存在x＞1，使ax－3＜0；当a＞0时，结合一次函 数图象知，需满足x＝1时，ax－3＜0，得a＜3，故0＜a＜3.综上所述， 实数a的取值范围是{a｜a＜3}. {a｜a＜3} 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 31 1. 下列命题中是存在量词命题的是（　　） A. ∀x∈R，x2＞0 B. ∃x∈R，x2≤0 C. 平行四边形的对边平行 D. 矩形的任一组对边相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在 量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有的，为全称量词命题；D省略 了全称量词所有的，为全称量词命题，故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 下列命题中的假命题是（　　） A. ∃x∈R，｜x｜＝0 B. ∃x∈R，2x－10＝1 C. ∀x∈R，x3＞0 D. ∀x∈R，x2＋1＞0 解析： 　当x＝0时，x3＝0，选项C为假命题.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（　　） A. 所有能被2整除的正数都是偶数 B. 存在三角形的一个内角，其余弦值为 C. ∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解 D. ∀x∈N，x3＞x2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 对于A，所有能被2整除的正数都是偶数，含有全称量词“所 有”，是全称量词命题，为真命题，故A不符合题意；对于B，含有量词 “存在”，不是全称量词命题，故B不符合题意；对于C，∃m∈R，x2＋ mx＋1＝0无解，为存在量词命题，故C不符合题意；对于D，∀x∈N，x3 ＞x2，是全称量词命题，当x＝1或0时，x3＝x2，故为假命题，满足题意， 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数x，使x2≤0 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数x，使 ＞2 √ 解析： 　A是全称量词命题.B为存在量词命题，当x＝0时，x2≤0成立， 所以B正确.因为 ＋（－ ）＝0，所以C为假命题.对于任意一个负数 x，都有 ＜0，所以D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕下列存在量词命题是真命题的有（　　） A. 有的集合中不含有任何元素 B. 存在对角线不互相垂直的菱形 C. ∃x∈R，满足3x2＋2＞0 D. 有些整数只有两个正因数 √ √ √ 解析： 　由空集中不含任何元素，故A正确；由菱形的对角线互相垂 直，故B错误；因为3x2＋2≥2＞0，故C正确；素数只有两个正因数，故D 正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕下列命题中为假命题的是（　　） A. ∀x∈Z，x4≥1 B. ∃x0∈Q， ＝3 C. ∀x∈R，｜x＋1｜＞0 D. ∃x0∈N，｜ ｜≤0 √ √ √ 解析： 　对于A，取x＝0，可知04＜1，所以命题∀x∈Z，x4≥1为假 命题；对于B，由 ＝3，可得x0＝± ，显然± 不是有理数，所以命 题∃x0∈Q， ＝3为假命题；对于C，当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故命 题∀x∈R，｜x＋1｜＞0为假命题；对于D，当x0＝0时，｜ ｜≤0成 立，所以命题∃x0∈N，｜ ｜≤0为真命题.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀” 可表述为 ⁠. 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述. ∃x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题” 的一组有序数对（a，b）为 ⁠. 解析：由题意可知（ ， ），（ ， ），（ ， ）等等都符合题意. （ ， ）（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则 实数a的取值范围为 ⁠. 解析：由题意，“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命 题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝（－3）2－4×9a＜0，解得a ＞ ，即实数a的取值范围为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的 真假： （1）对任意实数a，｜a｜＞0； 解： 是全称量词命题.因为｜0｜＝0，所以｜a｜＞0不都成立，因 此，该命题是假命题. （2）有一个实数x，使得x2－x－2＝0. 解： 是存在量词命题.因为当x＝2时，x2－x－2＝0成立，所以该命 题是真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命 题的集合M是（　　） A. {a｜a≥－3} B. {a｜a＞－3} C. {a｜a≤－3} D. {a｜a＜－3} √ 解析： 　因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对∀a∈M，都有 a∉A，所以a＜－3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕下列命题正确的是（　　） A. 存在x＜0，使｜x｜＞x B. 对于一切x＜0，都有｜x｜＞x C. 不存在实数x，使x2＋2x＋2＝0 D. 已知A＝{a｜a＝2n}，B＝{b｜b＝3n}，对于任意n∈N*，都有 A∩B＝⌀ √ √ √ 解析： 　A、B显然为真命题，故A、B正确；由Δ＝22－4×1×2＝－4 ＜0得，x2＋2x＋2＝0无实数解，故C为真命题；已知A＝{a｜a＝2n}， B＝{b｜b＝3n}，如n＝2，3时，6∈（A∩B），故D为假命题.故选 A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 已知“∀x∈{x｜0≤x≤2}，m＞x”和“∃x∈{x｜0≤x≤2}，n＞ x”均为真命题，则m＋n的取值范围为 ⁠. 解析：由“∀x∈{x｜0≤x≤2}，m＞x”是真命题，可得m＞2；由 “∃x∈{x｜0≤x≤2}，n＞x”是真命题，可得n＞0，故m＋n的取值范 围为（2，＋∞）. （2，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}. （1）“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； 解： “∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－1}. （2）“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围. 解： “∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $