2.2 第1课时 充分、必要、充要条件的判断-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦充分、必要、充要条件的判断，通过“双刀开关控制灯”的情境导入，引导学生思考开关与灯亮的关系，衔接命题推出关系、判定定理与性质定理，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合数学抽象与逻辑推理，通过定义辨析“想一想”、典例研析通性通法及多选跟踪训练，强化条件关系理解。生活化情境与分层练习设计，助力学生提升逻辑思维，也为教师提供系统教学资源。

2.2　充分条件、必要条件、充要条件 第1课时　充分、必要、充要条件的判断 第二章　常用逻辑用语 1 课 标 要 求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定 理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定 理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定 义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各 有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就 是电器上常用的“双刀”开关. 【问题】　（1）A开关闭合时B灯一定亮吗？B灯亮时A开关一定闭合吗？ （2）从数学的角度如何描述A开关与B灯亮这种关系？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p q 条件关系 p是q的 条件； q是p的 ⁠条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件 提醒：“p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立，即p 对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立，即q 对p的成立是必要的. 充分　 必要　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2. 以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是 p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　充要条件 1. 定义：如果 ，且 ，那么称p是q的充分且必要条 件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2. 记法：如果p是q的充要条件，就记作 ，称为“p与q等 价”，或“p等价于q”. 3. 传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即 （1）如果p⇒q，q⇒s，那么 ⁠； （2）如果p⇔q，q⇔s，那么 ⁠. p⇒q　 q⇒p　 p⇔q　 p⇒s　 p⇔s　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法 对吗？ 提示：正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 2. “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q 是条件，p是结论. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点三　判定定理和性质定理与充分、必要条件的关系 1. 判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的 ⁠ ，所以判定定理具有“ ⁠”. 2. 性质定理是指某类对象具有的 ，所以性质定理具有“ ⁠ ⁠”. 3. 数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质，即数学中的定义具有 “充要性”. 所有特 征　 充分性　 具体特征　 必 要性　 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“｜a＋b｜＝0”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 √ 解析： 　若a＝b＝0，则｜a＋b｜＝0；反之，当a＝－1，b＝1时，符 合｜a＋b｜＝0，不能得出a＝b＝0，即“a＝b＝0”是“｜a＋b｜＝ 0”的充分不必要条件.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 设x∈R，则“x＜3”是“0＜x＜2”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析：B　因为x＜3 0＜x＜2，但0＜x＜2⇒x＜3，故x＜3是0＜x＜2的 必要不充分条件.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·宿迁月考）“ab＝0”是“a≠0”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　若ab＝0，则a＝0或b＝0，不能推出a≠0，所以充分性不成 立；若a≠0，不一定有ab＝0成立，所以必要性不成立.故“ab＝0”是 “a≠0”的既不充分也不必要条件.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的 .（用 “充分条件”“必要条件”“充要条件”填空） 充要条件 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　充分条件的判断 （链接教科书第31页例1）下列所给的各组p，q中，p是q的充分条 件的有哪些？ （1）p：x＝3，q：x2－2x－3＝0； 解： 因为p⇒q，所以p是q的充分条件. （2）p：四边形的对角线垂直，q：四边形是菱形； 解： 因为p q，所以p不是q的充分条件. （3）p：内错角相等，q：两条直线平行； 解：因为p⇒q，所以p是q的充分条件. （4）p：x＞2，q：x＞3. 解： 因为p q，所以p不是q的充分条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 定义法判断充分条件 （1）确定谁是条件，谁是结论； （2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则 就不是充分条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 　〔多选〕下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的是（　　） A. p：x－3＝0，q：（x－2）（x－3）＝0 B. p：两个三角形相似，q：两个三角形全等 C. p：a＞b，q：ac＞bc D. p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4，ab＞4 √ √ 解析： 　A中，x－3＝0⇒（x－2）（x－3）＝0，故p是q的充分条 件；B中，两个三角形相似 两个三角形全等，故p不是q的充分条件；C 中，a＞b ac＞bc，故p不是q的充分条件；D中，由a＞2且b＞2⇒a＋ b＞4，ab＞4，故p是q的充分条件.故选A、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　必要条件的判断 （链接教科书第31页例2）下列所给的各组p，q中，p是q的必要条 件的有哪些？ （1）p：｜x｜＝2，q：x＝－2； 解： 因为q⇒p，所以p是q的必要条件. （2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； 解： 因为q p，所以p不是q的必要条件. （3）p：内错角相等，q：两条直线平行； 解： 因为q⇒p，所以p是q的必要条件. （4）p：x∈Z，q：x∈R. 解： 因为q p，所以p不是q的必要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 定义法判断必要条件 （1）确定谁是条件，谁是结论； （2）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则 就不是必要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 　〔多选〕下列命题中，p是q的必要条件的是（　　） A. p：两个三角形相似，q：两个三角形全等 B. p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形 C. p：x＞2，q：｜x｜＞2 D. p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5 √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　A中，q：两个三角形全等⇒p：两个三角形相似，所以p是q 的必要条件；B中，q：四边形是矩形⇒p：四边形的对角线相等，所以p 是q的必要条件；C中，由｜x｜＞2，得x＞2或x＜－2，不一定有x＞2， 所以p不是q的必要条件；D中，x＋y＞5 x＞2且y＞3，p不是q的必要 条件.故选A、B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　充分、必要、充要条件的判断 （链接教科书第32页例3）指出下列各题中，p是q的什么条件？（用 “充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必 要条件”回答） （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； 解： 若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q. 反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p.所以p是q的充分不必要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）p：△ABC两个角相等，q：△ABC是等边三角形； 解： △ABC两个角相等 △ABC是等边三角形，但△ABC是等边三角 形⇒△ABC两个角相等，即p q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件. （3）p：a＞b，q：｜a｜＞｜b｜； 解： 取a＝1，b＝－2，此时a＞b，但｜a｜＜｜b｜，即p q.反 之，取a＝－2，b＝－1，此时｜a｜＞｜b｜，但a＜b，即q p.所以p 是q的既不充分又不必要条件. （4）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0或x＜0，y＜0. 解： 因为xy＞0时，x＞0，y＞0或x＜0，y＜0.故p⇒q，且q⇒p， 即p⇔q.所以p是q的充要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 定义法判断充分、必要、充要条件 （1）若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件； （2）若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； （3）若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； （4）若p q，q p，则p是q的既不充分又不必要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 〔多选〕已知实数集R，集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x≤2}，则 下列说法正确的是（　　） A. “x∈A”是“x∈B”的充分条件 B. “x∈A”是“x∈B”的必要条件 C. “x∈∁RA”是“x∈∁RB”的充分条件 D. “x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件 √ √ 解析： 　由题意得，A⫋B，且∁RB⫋∁RA，所以“x∈A”是 “x∈B”的充分条件，但不是必要条件，且“x∈∁RA”是“x∈∁RB” 的必要条件，但不是充分条件.故选A、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. “ ＞ ”是“a＜b”的充分不必要条件 B. A∩B＝⌀是A＝⌀的必要不充分条件 C. 若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” D. 若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“｜a｜＋｜b｜≠0”的充要条件 √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　A中，当a＝2，b＝－2时，有 ＞ ，此时a＞b，因此 ＞ a＜b，反之当a＝－2，b＝2时，a＜b，但 ＜ ，即a＜b ＞ ，所 以是既不充分又不必要条件，故A错误；B中，当A＝{1}，B＝{2}时， A∩B＝⌀，但A≠⌀，当A＝⌀时，A∩B＝⌀，故B正确；C中，当ab2＞ cb2时，b2＞0，从而a＞c，反之，a＞c时，若b＝0，则ab2＝cb2，所以 不是充要条件，故C错误；D中，a2＋b2≠0⇔a≠0或b≠0⇔｜a｜＋｜ b｜≠0，D正确.故选B、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型四　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件 指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语 言来表述： （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； 解： 是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个平行四边形是正 方形”的充分条件是“这个平行四边形的对角线互相垂直且相等”. （2）正方形的对角线互相垂直且相等. 解： 是性质定理，用必要条件的语言表述为“四边形的对角线互相 垂直且相等”是“这个四边形为正方形”的必要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 判定定理、性质定理与充分、必要条件关系的判断 （1）判定定理阐述了结论成立的依据，给出了结论成立的充分条件； （2）性质定理阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭 示这个研究对象的某个特征，给出了结论成立的必要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来 表述： （1）有一个角是直角的菱形是正方形； 解： 是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个菱形是正方形” 的充分条件是“这个菱形有一个角是直角”. （2）如果两条平行直线同时和第三条直线相交，那么它们的同位角相等. 解： 是性质定理，用必要条件的语言表述为“两条直线同时和第三 条直线相交，它们的同位角相等”是“这两条直线平行”的必要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. （2026·苏州月考）荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无 以成江海.”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标 的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故 “至千里”是“积跬步”的充分不必要条件.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·无锡月考）已知p：x＞1，且y＞2，q：x＋y＞3，则q是p 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　由x＞1，且y＞2，由不等式性质可得x＋y＞3，所以由p可以 推出q，所以q是p的必要条件，取x＝4，y＝0，此时x＋y＞3，但y＜ 2，所以由q不能推出p，所以q不是p的充分条件，所以q是p的必要不充 分条件.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 已知集合M与N，则M⊆N是M∩N＝M的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　若M⊆N，则有M∩N＝M，故充分性成立，若M∩N＝M， 则有M⊆N，故必要性成立，故M⊆N是M∩N＝M的充要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 √ 解析： 　若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若ab ＞0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是 “ab＞0”的既不充分又不必要条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 36 1. 下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A. p：ab≠0，q：a≠0 B. p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C. p：x3＞0，q：x＞1 D. p：a＞b，q： ＞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　对于A：p⇒q，故p是q的充分条件；对于B：p q，故p不是 q的充分条件；对于C：p q，故p不是q的充分条件；对于D：p q，故 p不是q的充分条件.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”， 根据这句话，说明“做容易题”是“做难题”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，但“做 难题”一定可以推出“做容易题”，故“做容易题”是“做难题”的必要 不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. “x是整数”是“2x＋1是整数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　若x是整数，则2x＋1为整数，所以充分性成立；当x＝ 时， 2x＋1为整数，但x不是整数，所以必要性不成立.故“x是整数”是“2x ＋1是整数”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. “x＜2”是“ ＜0”的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 √ 解析： 　由 ＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“ ＜0”的充 要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 若p：a∈（M∪N），q：a∈M，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 √ 解析： 　由a∈（M∪N） a∈M，但a∈M⇒a∈（M∪N），故p 是q的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. （2026·启东中学期中）“a＞b”是“a2＞b2”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 √ 解析： 当a＝0，b＝－1时，满足a＞b，此时a2＜b2，充分性不成 立；当a＝－1，b＝0时，满足a2＞b2，此时a＜b，必要性不成立，所以 “a＞b”是“a2＞b2”的既不充分又不必要条件.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 〔多选〕设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L 亮，则p是q的充要条件的电路图是（　　） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S 不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合， 灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路 图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p 是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则 一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. a，b都是偶数 a＋b是偶数（用符号“⇒”或“ ”或“⇔”填 空）. 解析：a，b都是偶数⇒a＋b是偶数，但a＋b是偶数 a，b是偶数，故 填⇒. ⇒ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈（A∪B）的 ⁠ 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又 不必要”） 解析：由x∈B，可得x∈（A∪B）；反之，因为A⊆B，A∪B＝B，所 以由x∈（A∪B），可得x∈B，故x∈B是x∈（A∪B）的充要条件. 充 要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 指出下列命题中，p是q的什么条件？（用“充分不必要”“必要不充 分”“充要”“既不充分又不必要”回答） （1）p：x2＝2x＋1，q：x＝ ； 解： ∵x2＝2x＋1⇒/x＝ ，x＝ ⇒x2＝2x＋1，∴p是 q的必要不充分条件. （2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； 解： ∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇒/a2＋b2＝0， ∴p是q的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）p：（x－1）2＋（y－2）2＝0，q：（x－1）（y－2）＝0. 解： ∵（x－1）2＋（y－2）2＝0⇒x＝1且y＝2⇒（x－1）（y－2）＝ 0，而（x－1）·（y－2）＝0 （x－1）2＋（y－2）2＝0，∴p是q的充 分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 给出定理“等腰梯形在同一底上的两个角相等”，下列说法正确的是 （　　） A. 该定理是判定定理，可用充分条件的语言来表述 B. 该定理是判定定理，可用必要条件的语言来表述 C. 该定理是性质定理，可用充分条件的语言来表述 D. 该定理是性质定理，可用必要条件的语言来表述 √ 解析： 此定理揭示了等腰梯形的某个特征，是性质定理，可用必要条 件的语言来表述，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕（2026·扬州期中）下列说法正确的有（　　） A. “A∩B≠⌀”是“A⊆B”的必要不充分条件 B. “方程x2－x＋m＝0在R上无解”的充要条件是“m＞ ” C. 若xy≠0，则“x＋y＝0”是“ ＋ ＝－2”的充要条件 D. “x＞y”是“｜x｜＞｜y｜”的充分不必要条件 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，当A＝⌀时，A⊆B推不出A∩B≠⌀，故A∩B≠⌀不 是A⊆B的必要条件，故A错误；对于B，方程x2－x＋m＝0在R无解⇔Δ＝ 1－4m＜0⇔m＞ ，故B正确；对于C，因为xy≠0，x＋y＝0，所以x＝ －y，所以 ＋ ＝ ＋ ＝－1－1＝－2，所以x＋y＝0是 ＋ ＝－2的 充分条件；因为xy≠0，且 ＋ ＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋ 2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0，所以x＋y＝0是 ＋ ＝－2的 必要条件，所以“x＋y＝0”是“ ＋ ＝－2”的充要条件，故C正确； 对于D，当x＝1，y＝－5时，｜x｜＜｜y｜，故“x＞y”不是“｜x｜ ＞｜y｜”的充分条件，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件， q是s的必要条件，则s是p的 条件（填“充分不必 要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）. 解析：p，q，r，s之间的关系如图所示， 由图可知p⇒s，但s p，故s是p的必要不充分条件. 必要不充分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）p：x＝1，q：x－1＝ ； 解： 当x＝1时，x－1＝ 成立； 当x－1＝ 时，x＝1或x＝2. 所以p是q的充分不必要条件. （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； 解： 因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， 所以p是q的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）p：x＋2≠y，q：（x＋2）2≠y2； 解： 由q：（x＋2）2≠y2，得x＋2≠y， 且x＋2≠－y， 又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件. （4）p：a是自然数，q：a是正数. 解： 0是自然数，但0不是正数，故p q； 是正数，但 不是自然 数，故q p.故p是q的既不充分又不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $