1.1 第2课时 集合的表示-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦集合的表示方法，涵盖列举法、描述法、Venn图及集合分类，通过“中国别称”情境导入，衔接集合概念，为后续集合运算等内容搭建认知支架。 其亮点在于通过典例研析与母题探究，结合数学思维与数学语言，如分类讨论空集与非空集、规范点集数集表示，培养学生抽象能力与逻辑推理。采用讲练结合，学生能深化理解，教师可依托分层作业提升教学效果。

1.1　集合的概念与表示 第2课时　集合的表示 第一章　集合 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 3 　　中国是四大文明古国之一，有着五千年的历史.“中国”一词，最早 见于西周的青铜器“何尊”的铭文.新疆和田地区民丰县尼雅遗址出土的 汉代织锦护臂上的“五星出东方利中国”，是迄今为止新疆地区发现的最 早的“中国”二字.中华文明源远流长，历史上，在不同的时期有许多别 称，像中华、华夏、九州等等. 【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　列举法 　将集合的元素 ，并置于花括号“{　}”内，这种表示 集合的方法称为列举法. 提醒：用列举法表示集合的注意点：①元素间用“，”隔开；②集合的 “{}”已包含“所有”“全体”的意思，比如{整数}，即代表整数集Z， 而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 一一列举出来　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 小于100的正整数集合可以用列举法表示为{1，2，3，…，98，99}吗？ 提示：可以.当集合中的元素个数较多且具有明显的规律特征时也可以用 列举法表示. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　描述法 　将集合的 都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成 {x｜p（x）}的形式，这种表示集合的方法称为描述法.其中x为集合的代 表元素，p（x）指元素x具有的性质. 提醒：用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符号，如 {x｜x＞1}不能写成{x＞1}；②不能出现未被说明的字母，如{x｜x＝ 2m，x∈Z}中m未被说明；③所有描述的内容都要写在花括号内，如 “{x｜x＝2m，x∈Z}，m∈N*”不符合要求. 所有元素　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 集合A＝{x｜x－1＝0}与集合B＝{1}相等吗？ 提示：A＝{x｜x－1＝0}＝{1}与集合B相等. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点三　Venn图 　为了直观地表示集合，常画一条 的曲线，用它的内部来表示一 个集合，称为Venn图. 封闭　 【想一想】 用Venn图表示集合的优点和缺点是什么？ 提示：用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，能直观地表 示集合之间的关系；缺点是集合中元素的特征性质不明显. 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点四　集合的分类 　按照集合中元素的个数分类 （1）有限集：含有 个元素的集合称为有限集； （2）无限集：含有 个元素的集合称为无限集； 有限　 无限　 （3）空集：把 元素的集合称为空集，记作⌀. 不含任何　 数学·必修第一册（SJ） 目录 ⌀与0 ⌀与{0} ⌀与{⌀} 相同点 都表示无的 意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀是集合；0 是实数 ⌀不含任何元素；{0}含一个元素0 ⌀不含任何元素；{⌀}含一个元 素，该元素是⌀ 提醒：⌀与0，{0}，{⌀}之间的关系 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 方程x2－4x＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　） A. {1，3} B. {1} C. {x2－4x＋3＝0} D. {x＝1，x＝3} √ 解析： 　由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，∴用列举法表示实数根组成 的集合为{1，3}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列集合中，是空集的是（　　） A. {x｜x＞6，且x＜5} B. {x｜x2＋1＝0，x∈N} C. {x｜x2＋x＋1＝0，x∈R} D. {（x，y）｜x2＝－y2，y∈R} √ √ √ 解析： 　D中，{（x，y）｜x2＝－y2，y∈R}＝{（0，0）}，A、 B、C表示的是空集.故选A、B、C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 用列举法表示由大于－1小于5的自然数组成的集合为 ⁠ ⁠. 解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4，故用列举法表示集合为 {0，1，2，3，4}. 4. 用描述法表示不等式3x＋2＞5的解集为 ⁠. 解析：由不等式3x＋2＞5得x＞1，用描述法可表示为{x｜x＞1}. {0，1，2，3， 4} {x｜x＞1}　 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　用列举法表示集合 （链接教科书第7页例1）用列举法表示下列集合： （1）小于12的非负偶数组成的集合； 解： 因为非负表示大于或等于0，所以小于12的非负偶数组成的集合 是{0，2，4，6，8，10}. （2）不大于20的所有质数组成的集合； 解： 因为不大于20表示小于或等于20，所以不大于20的所有质数组 成的集合是{2，3，5，7，11，13，17，19}. （3）一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合. 解： 将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1），故交点组 成的集合是{（0，1）}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 用列举法表示集合的步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来. 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一 定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 方程组 的解集是（　　） A. （－5，4） B. （5，－4） C. {（－5，4）} D. {（5，－4）} √ 解析： 　解方程组 得 故解集为{（5，－4）}. 故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 用列举法表示下列给定的集合： （1）“Welcome”中的所有字母构成的集合； 解： 由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元 素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}. （2）方程x3＝x的所有实数根组成的集合； 解： 方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以用列举法表示为 {0，1，－1}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）直线y＝－3x＋12上所有满足x∈N*，y∈N*的点所组成的集合. 解： 当x＝1时，y＝9；当x＝2时，y＝6；当x＝3时，y＝3，所以 在直线y＝－3x＋12上满足x∈N*，y∈N*的所有点组成的集合为{（1， 9），（2，6），（3，3）}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　用描述法表示集合 （链接教科书第7页例2）用描述法表示下列集合： （1）大于－1的所有偶数组成的集合； 解： 偶数可表示为x＝2k，k∈Z，又因为大于－1，所以x＞－1， 故此集合表示为{x｜x＞－1，x＝2k，k∈Z}. （2）不等式－3＜2x－1≤3的解集； 解： 由－3＜2x－1≤3得－1＜x≤2，故此集合表示为{x｜－1＜ x≤2，x∈R}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）坐标平面内第一象限的点组成的集合. 解： 第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合表示为 {（x，y）｜x＞0，y＞0}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 描述法表示集合的步骤 提醒：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显 共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，则 不宜采用描述法. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 集合{（x，y）｜y＝2x－1}表示（　　） A. 方程y＝2x－1 B. 点（x，y） C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D. 一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合 √ 解析： 本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有 点组成的集合.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 用描述法表示下列集合： （1）所有奇数组成的集合； 解： 奇数可表示为x＝2k－1，k∈Z，因此，这个集合表示为{x｜x ＝2k－1，k∈Z}. （2）大于1且小于8的有理数组成的集合； 解： 大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x｜1＜x＜ 8，x∈Q}. （3）被3除余2的正整数组成的集合. 解： 根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x｜x＝3n ＋2，n∈N}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　集合表示法的应用 若集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值， 并用列举法表示集合A. 解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2， 此时集合A＝{2}. 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只 需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意. 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 1. （变条件）若集合A中有2个元素，求实数k的取值范围. 解：由题意得 解得k＜1，且k≠0. 故实数k的取值范围为{k｜k＜1，且k≠0}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （变条件）若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围. 解：（1）当集合A中含有1个元素时，由例题知，k＝0或k＝1； （2）当集合A中没有元素时，即A＝⌀，方程kx2－8x＋16＝0无解，即 解得k＞1. 综上，实数k的取值范围为{k｜k＝0或k≥1}. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 集合与方程综合问题的解题策略 （1）已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数求参数问题，常 把集合问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝ 0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实 数解；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数解； （2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值 进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果； （3）求出参数的值（范围）后务必要检验是否满足集合中元素的互异性. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 已知集合A＝{x｜x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＋b＝ ⁠. 解析：由A＝{2，3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的 关系得 因此a＝5，b＝6，a＋b＝11. 2. （2026·扬州质检）已知集合A＝{x｜x2＋2x＋a＝0，a∈R}＝⌀，则 a的取值范围是 ⁠. 解析：∵A＝{x｜x2＋2x＋a＝0，a∈R}＝⌀，∴方程x2＋2x＋a＝0无 解，即Δ＝4－4a＜0，解得a＞1. 11 a＞1 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为（　　） A. {x｜2＜x＜5，x∈N} B. {2，3，4，5} C. {2＜x＜5} D. {3，4} √ 解析： 大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集 合为{3，4}.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕已知集合A＝{x｜kx2－3x＋1＝0，k∈R}.若集合A中仅有一 个元素，则实数k的值为（　　） A. 0 B. 2 C. D. － √ √ 解析： 　当k＝0时，x＝ ，符合题意；当k≠0时，Δ＝（－3）2－4k ＝0，所以k＝ .综上，集合A中仅含有一个元素时，k＝0或k＝ .故选 A、C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·江苏靖江高中月考）集合A＝{x｜0＜x＜8，x∈Z}，则B＝ {y｜ ∈N*，y∈A}用列举法表示为 ⁠. 解析：由题意，A＝{1，2，3，4，5，6，7}，由 ∈N*且y∈A，则 y∈{2，3，4，5，7}，故B＝{2，3，4，5，7}. 4. 已知集合A＝{x｜y＝x2}，B＝{y｜y＝x2}，C＝{（x，y）｜y＝ x2}，这三个集合相等吗？试说明理由. 解：三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一 样.集合A表示y＝x2中x的取值范围，x∈R，∴A＝R；集合B表示y＝x2 中y的范围，B＝{y｜y≥0}；集合C表示y＝x2上的点组成的集合. {2，3，4，5，7} 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 34 1. 设A＝{x｜x≥2 }，a＝3，下列各式正确的是（　　） A. 0∈A B. a∉A C. a∈A D. －a∈A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 集合A＝{x｜x≥2 }，∵a＝3，3＞2 ，∴a∈A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　） A. {x｜－3＜x＜11，x∈Z} B. {x｜－3＜x＜11} C. {x｜－3＜x＜11，x＝2k} D. {x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z} √ 解析： 　由题意可知，满足题设条件的只有选项D. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 集合{x，x2－1，2}中的x不能取的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 解析： 　由集合的互异性可知，x≠x2－1，或x≠2，或x2－1≠2，得 x≠ ，或x≠2，或x≠± ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 将集合M＝{（x，y）｜y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}，用列举法表示 正确的是（　　） A. {0，1，2} B. {4，7，8} C. {（1，7），（2，4）} D. {（0，8），（1，7），（2，4）} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　集合M是点集不是数集，故A、B错误；∵x∈N，y∈N，∴当 x＝0时，y＝8∈N，即点（0，8）∈M；当x＝1时，y＝7∈N，即点 （1，7）∈M；当x＝2时，y＝4∈N，即点（2，4）∈M；当x≥3时，y ＝－x2＋8＜0，此时y∉N；综上可知M＝{（0，8），（1，7），（2， 4）}，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕（2026·宿迁质检）已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝ {（x，y）｜y＝x2＋2}，下列关系正确的是（　　） A. （1，3）∈B B. （0，0）∉B C. 0∈A D. A＝B √ √ 解析： 　∵集合B是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合，∴A、B正 确，C、D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕下列关于集合的说法正确的是（　　） A. {2，3}≠{3，2} B. {（x，y）｜x＋y＝1}＝{y｜x＋y＝1} C. {x｜x＞1}＝{y｜y＞1} D. {x｜x＋y＝1}＝{y｜x＋y＝1} √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　根据集合元素的无序性和集合的表示，可得{2，3}＝{3，2}， 所以A不正确；根据集合的表示方法，可得集合{（x，y）｜x＋y＝1}表 示点集，集合{y｜x＋y＝1}表示数集，所以{（x，y）｜x＋y＝ 1}≠{y｜x＋y＝1}，所以B不正确；根据集合的表示方法，可得集合 {x｜x＞1}＝{y｜y＞1}，所以C正确；根据集合的表示方法，可得集合 {x｜x＋y＝1}＝R，{y｜x＋y＝1}＝R，所以{x｜x＋y＝1}＝{y｜x＋ y＝1}，所以D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 如图所示的Venn图表示的集合，用描述法可表示为 ⁠ ⁠. 解析：由Venn图可知，其表示的集合用描述法可表示为{x｜0＜x＜6， x∈Z}. {x｜0＜x＜6， x∈Z}（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 方程组 的解集用列举法可表示为 ⁠ ⁠. 解析：由方程组 可得 或 所以方程组 的解集是{（1，－1），（－2，2）}. {（1，－1），（－2， 2）} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 定义P*Q＝{ab｜a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2， 3}，则P*Q中元素的个数是 ⁠. 解析：若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1，2，3；若a＝2，则ab＝ 2，4，6.故P*Q＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 用适当的方法表示下列集合： （1）由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； 解： 小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7， 11.可用列举法表示为{3，5，7，11}. （2）方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合； 解： 方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}， 也可用描述法表示为{x｜x2－4x＋4＝0，x∈R}. （3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 解： 二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合 中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y｜y＝x2＋2x－10}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 下列选项中是集合A＝{（x，y）｜x＝ ，y＝ ，k∈Z}中的元素的 是（　　） A. （ ，4） B. （ ， ） C. （3，4） D. （4，3） √ 解析： 　对于A，当x＝ ，y＝4时，由 可知无解，不满足题 意，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 对于B，当x＝ ，y＝ 时，由 可知无解，不满足题意，故B错误； 对于C，当x＝3，y＝4时，由 可知无解，不满足题意，故C错误； 对于D，当x＝4，y＝3时，由 得k＝12，满足题意，故D正确.故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕设集合M＝{x｜x＝2n＋1，n∈Z}.P＝{y｜y＝2k， k∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则（　　） A. a∈M B. a∈P C. b∈M D. b∈P √ √ 解析： 　设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝ 2（n＋k）＋1∈M，x0y0＝2k（2n＋1）＝2（2nk＋k）∈P，即 a∈M，b∈P. 故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 用描述法表示如图中的阴影部分可以是 ⁠ ⁠. 解析：由阴影部分知0≤x≤2，0≤y≤1，所以阴影部分由点集{（x， y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}来表示. {（x，y）｜0≤x≤2， 0≤y≤1}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 已知集合A＝{x｜x＝m＋ n，m，n∈Z}. （1）试分别判断x1＝－ ，x2＝ ，x3＝（1－2 ）2与集合A的 关系； 解： x1＝－ ＝0＋（－1）× ， 因为0，－1∈Z，所以x1∈A； x2＝ ＝ ＝1＋ × ，因为1∈Z， ∉Z，所以x2∉A； x3＝（1－2 ）2＝9－4 ＝9＋（－4）× ， 因为9，－4∈Z，所以x3∈A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）设p，q∈A，证明pq∈A. 解： 证明：因为p，q∈A，所以可设p＝m1＋ n1，q＝m2＋ n2，且m1，n1，m2，n2∈Z， 所以pq＝（m1＋ n1）（m2＋ n2） ＝m1m2＋ （m2n1＋m1n2）＋2n1n2 ＝（m1m2＋2n1n2）＋ （m2n1＋m1n2）. 因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以pq∈A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $