章末检测（三）不等式-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了不等式的概念、性质、解法及应用，通过集合运算、充分必要条件、二次不等式等基础题型到实际应用的综合题，串联核心知识点，帮助学生构建完整的不等式知识体系。 其亮点在于融入汽车生产利润等实际情境题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过错题解析和变式训练提升数学思维中的运算能力与推理意识。这种分层设计让不同水平学生巩固知识，教师也能精准把握学情提高复习效率。

章末检测（三）　不等式 （时间：120分钟　满分：150分） 第三章　不等式 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A＝{x｜x2－4＜0}，B＝{x｜x2－4x＋3＞0}，则A∪B＝ （　　） A. {x｜－2＜x＜1} B. {x｜x＜1或x＞3} C. {x｜x＜2或x＞3} D. {x｜x＜－2或x＞3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 解析： 因为A＝{x｜x2－4＜0}＝{x｜－2＜x＜2}，B＝{x｜x2－4x ＋3＞0}＝{x｜x＜1或x＞3}，所以A∪B＝{x｜x＜2或x＞3}.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 2. 设x∈R，则“－2＜x＜0”是“ ＜0”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　 ＜0等价于（x＋3）（x－1）＜0，解得－3＜x＜1，因为 （－2，0）⫋（－3，1），所以“－2＜x＜0”是“ ＜0”的充分不必 要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 3. 若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（　　） A. ac2＜bc2 B. ＜ C. ＞ D. a2＞ab＞b2 √ 解析： 　对于A，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，A错误；对于B，当a＝－ 2，b＝－1时， ＝－ ， ＝－1，此时 ＞ ，B错误；对于C，因为 － ＝ ＜0，所以 ＜ ，C错误；对于D，因为a＜b＜0，所以a－b＜ 0，所以a2－ab＝a（a－b）＞0，ab－b2＝b（a－b）＞0，所以a2＞ ab＞b2，D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 4. 已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是（　　） A. {x｜x＜5a，或x＞－a} B. {x｜x＞5a，或x＜－a} C. {x｜－a＜x＜5a} D. {x｜5a＜x＜－a} √ 解析： 　方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1＜0，所以 a＜－ ，所以－a＞5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不 等式的解集为{x｜x＜5a，或x＞－a}，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 5. 设k为实数，若关于x的不等式kx2－2x＋k≥0恒成立，则k的取值范围 为（　　） A. （－∞，－1]∪[1，＋∞） B. [1，＋∞） C. [－1，0）∪（0，1] D. （－1，1） √ 解析： 　当k＝0时，不等式为－2x≥0，解得x≤0，所以不等式kx2－2x ＋k≥0不恒成立，当k≠0时，由不等式kx2－2x＋k≥0恒成立，所以 解得k≥1，所以k的取值范围为[1，＋ ∞）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 6. 若实数a，b满足ab＞0，则a2＋b2＋ ＋1的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 解析： 　因为ab＞0，则a2＋b2＋ ＋1≥2ab＋ ＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当2ab＝ 且a＝b，即a＝b＝ 时，等号成立，此时 取得最小值3.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 7. 设m＝ －1，n＝ － ，p＝ － ，则m，n，p的大小关系 为（　　） A. m＞p＞n B. p＞n＞m C. n＞m＞p D. m＞n＞p √ 解析： 　由m＝ －1＝ ＝ ，n＝ － ＝ ＝ ，p＝ － ＝ ＝ ，而 ＋1＜ ＋ ＜ ＋ ，则 ＞ ＞ ，则 m＞n＞p.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 8. 若正实数x，y满足x＋2y＝4，若不等式m2－ m＞ ＋ 有解，则m 的取值范围是（　　） A. （－ ，1） B. （－∞，－ ）∪（1，＋∞） C. （－1， ） D. （－∞，－1）∪（ ，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　由x＋2y＝4，则x＋2（y＋1）＝6，所以 ＋ ＝（ ＋ ）×[x＋2（y＋1）]× ＝ ［2＋2＋ ＋ ］≥ ［4＋ 2 ］＝ ，当且仅当 ＝ ，即x＝3，y＝ 时等 号成立，则m2－ m＞ ，即（m－ ）（m＋1）＞0，解得m∈（－∞， －1）∪（ ，＋∞）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（　　） A. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd B. 若ab＞0， － ＞0，则bc－ad＞0 C. 若 ＜ ＜0，则 ＜ D. 若ab＜0，bc＞ad，则 － ＞0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　对于A，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b，c＞ d，而ac＝－2＝bd，故A错误；对于B，由ab＞0， － ＝ ＞0， 得bc－ad＞0，故B正确；对于C，由 ＜ ＜0，得a＜0，b＜0，则 ＜0＜ ，故C正确；对于D，由ab＜0，bc＞ad，得 － ＝ ＜0， 故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 10. 已知关于x的不等式a（x－1）（x＋3）＋2＞0的解集是{x｜x1＜x ＜x2}，其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　） A. x1＋x2＋2＝0 B. －3＜x1＜x2＜1 C. ｜x1－x2｜＞4 D. x1x2＋3＜0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　根据不等式解集的形式可知a＜0，且x1，x2是一元二次方程 a（x－1）（x＋3）＋2＝0，即ax2＋2ax＋2－3a＝0的解，所以x1＋x2＝ －2，x1x2＝ ＝ －3＜－3，所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＜0，选项A、 D正确.因为｜x1－x2｜＝ ＝ ＝ 2 ＞4，所以选项C正确.由方程a（x－1）·（x＋3）＝0的解是－ 3和1，不等式a（x－1）·（x＋3）＋2＞0的解集为{x｜x1＜x＜x2}，数 形结合可知x1＜－3＜1＜x2，选项B错误.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 11. 已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20，则下列结论正确的有（　　） A. xy的最大值为10 B. ＋ 的最大值为40 C. ＋ 的最小值为 D. 4x2＋25y2的最小值为200 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　对于A，因为x＞0，y＞0且2x＋5y＝20，所以20＝2x＋ 5y≥2 ，所以xy≤10，当且仅当2x＝5y，即y＝2，x＝5时取等 号，所以xy的最大值为10，故A正确；对于B，（ ＋ ）2＝2x＋ 5y＋2 ＝20＋2 ≤40，所以 ＋ ≤2 ，当且仅当 2x＝5y，即y＝2，x＝5时取等号，即 ＋ 的最大值为2 ，故B 错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 对于C， ＋ ＝ （ ＋ ）（2x＋5y）＝ （4＋25＋ ＋ ）≥ （29＋2 ）＝ ，当且仅当 ＝ ，即x＝y＝ 时取等号， 即 ＋ 的最小值为 ，故C正确；对于D，因为（2x）2＋（5y） 2≥2×2x×5y，所以2[（2x）2＋（5y）2]≥（2x）2＋（5y）2＋ 2×2x×5y，所以4x2＋25y2＝（2x）2＋（5y）2≥ ＝200，当 且仅当2x＝5y，即y＝2，x＝5时取等号，所以4x2＋25y2的最小值为200， 故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，2），则关于x的不 等式 ＋c＞bx的解集为 ⁠. （－∞，0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 解析：由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，2），即 －1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，∴ 解得 则关于x的不等式 ＋c＞bx，可化为 －2a＞－ax，即 x＋ ＜2，即 ＜0，解得x＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 13. 设a＞0，b＞0，记A＝ ，G＝ ，H＝ 分别为a，b的算 术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪 在其名著《数学汇编》中研究过a≠b时A，G，H的大小关系，则A， G，H中最大的为 ，最小的为 ⁠. A H　 解析：因为a＞0，b＞0，a≠b，所以A－G＝ － ＝ ＝ ＞0，G－H＝ － ＝ ＝ ＞0，所以A＞G，G＞H，所以A＞ G＞H，所以A，G，H中最大的为A，最小的为H. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 14. 已知正实数a，b满足 ＋ ＝1，若a＋2b＞m2－3m＋11恒成 立，则实数m的取值范围为 ⁠. 解析：因为a＋2b＋1＝（a＋b）＋（b＋1）＝[（a＋b）＋（b＋ 1）]·（ ＋ ）＝9＋ ＋ ＋1≥10＋2 ＝16，当且仅当 ＝ ，即a＝9，b＝3时取等号，所以a＋ 2b≥15，即a＋2b的最小值为15，因为a＋2b＞m2－3m＋11恒成立，所 以m2－3m＋11＜15，即（m－4）（m＋1）＜0，解得－1＜m＜4，故实 数m的取值范围为（－1，4）. （－1，4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）解答下列各题. （1）若x＞3，求x＋ 的最小值. 解： 由题知x＋ ＝x－3＋ ＋3≥2 ＋3＝7. 当且仅当x－3＝ ，即x＝5时取等号，则x＋ 的最小值为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） （2）若正数x，y满足9x＋y＝xy， ①求xy的最小值；②求2x＋3y的最小值； 解： ①由9x＋y＝xy结合基本不等式得： xy＝9x＋y≥2 ＝6 ⇒ （ －6）≥0，又x，y为正数， 则 ≥6，即xy≥36，当且仅当9x＝y，即x＝2，y＝18时取等号， 故xy的最小值为36. ②由9x＋y＝xy可得 ＋ ＝1，则2x＋3y＝ （2x＋3y）＝29＋ ＋ ≥29＋2 ＝29＋6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 当且仅当 即x＝ ＋1，y＝9＋ 时取等号.故2x＋3y的最小值为29＋6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 16. （本小题满分15分）已知不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x｜x＞4或 x＜1}. （1）求实数a，b的值； 解： 由题意可得 解得 ∴实数a，b的值分别为1，4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） （2）若正实数x，y满足x＋y＝2，求t＝ ＋ 的最小值. 解： 由（1）知t＝ ＋ ，∵x＞0，y＞0， ∴t＝ ＋ ＝ （ ＋ ）（x＋y） ＝ （5＋ ＋ ）≥ （5＋2 ）＝ ， 当且仅当 ＝ ，且x＋y＝2，即x＝ ，y＝ 时，等号成立. ∴t的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 17. （本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个 不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒 成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； 解： 若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相 等的实数根， 则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0， 解得m＜1或m＞4. ∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） （2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围. 解： 若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋ 13≥m2恒成立. 设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可. ∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3， ∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}. ∵命题p，q一真一假， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） ∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有 解得m ＜－3或m＞4； 若命题p为假命题，命题q为真命题，则有 解得1≤m≤3. 综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3 或1≤m≤3或m＞4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 18. （本小题满分17分）已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1（t∈R）. （1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－ 1≥0； 解： ∵二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点， ∴方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x1，x2，∴x1 ＋x2＝0. 由根与系数的关系可得，x1＋x2＝2t＝0，解得t＝0. ∵x2－2tx＋t2－1≥0， ∴x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1. ∴该不等式的解集为{x｜x≥1或x≤－1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） （2）若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4， 求实数t的取值范围. 解： ∵Δ＝（－2t）2－4（t2－1）＝4t2－4t2＋4＝4＞0， ∴∀t∈R，该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于－2且小于4， ∴ 解得－1＜t＜3. ∴实数t的取值范围是{t｜－1＜t＜3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 19. （本小题满分17分）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一 步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补 贴实施细则》规定的报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买 新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7 000元，分别提高至2万元和 1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组 件.已知生产该产品的年固定成本为2 000万元，每生产x（x∈N*）百件， 需另投入成本W（x）万元，且0≤x＜45时，W（x）＝3x2＋260x；当 x≥45时，W（x）＝501x＋ －4 950，由市场调研知，该产品每百件 的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） （1）分别写出0≤x＜45与x≥45时，年利润y（万元）与年产量x（百 件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； 解： 由题意可得当0≤x＜45时，y＝500x－3x2－260x－2 000＝－ 3x2＋240x－2 000， 当x≥45时，y＝500x－（501x＋ －4 950）－2 000＝2 950－（x＋ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利 润是多少？ 解： 由（1）得0≤x＜45时，y＝－3x2＋240x－2 000＝－3（x－ 40）2＋2 800， x＝40（百件）时，ymax＝2 800（万元）， 当x≥45时，y＝2 950－（x＋ ）＝2 970－（x＋20＋ ）， 因为x＋20＞0， ＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） 所以2 970－（x＋20＋ ）≤2 970－2 ＝2 970－ 2×70＝2 830， 当且仅当x＋20＝ ，即x＝50时等号成立，ymax＝2 830（万元）， 而2 800＜2 830，故x＝50（百件）时，利润最大. 综上所述，当该产品的年产量为50百件时，公司所获年利润最大，最大年 利润是2 830万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（SJ） $