专题05 分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的解法五类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题05 分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的解法五类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式不等式的解法 题型二、高次不等式的解法 题型三、绝对值不等式的解法 题型四、根式不等式的解法 题型五、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分式、高次、绝对值、根式不等式的转化求解问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕分式不等式的解法、高次不等式的解法、绝对值不等式的解法、根式不等式的解法、与其他章节融合五大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是分式不等式转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0求解，绝对值不等式去掉绝对值求解，根式不等式去掉根号（防止增解）；二是高次不等式运用穿根法，所有结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式不等式的解法 典例1 不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：不等式结构呈现分式形式． 2.方法：转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。 1. 2. 3. 4. 变式1-1已知集合，则（  ） A． B． C． D． 变式1-2不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 变式1-3不等式的解集为__________． 类型二、高次不等式的解法 典例2 解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 题型模版 1.特征：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2. 2.方法：一般采用“穿针引线法”，求解步骤： a. 化正：将不等式化为（或 < 0）的形式，确保最高次项系数为正； b. 标根：将所有根标在数轴上； c. 穿线：从数轴右上方开始，按照 “奇穿偶回” 的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）； d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。 变式2-1不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式2-2满足不等式的整数解的个数为（  ） A．100 B．5000 C．5100 D．无穷多个 变式2-3关于实数x的不等式的解集是________． 题型三、绝对值不等式的解法 典例3 不等式的解集是（  ） A． B． C． D．或 题型模版 1.特征：含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。 2.方法：1.绝对值不等式的解集 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 可简记为：大于找两边，小于找中间. 2.绝对值不等式的性质 (1); (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 变式3-1不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 变式3-2存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 变式3-3不等式的解集为 ； 题型四、根式不等式的解法 典例4 已知集合，集合，则（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：含有根式的不等式称为根式不等式. 2.方法：解根式不等式往往通过乘方运算转化为不带根号的不等式求解，下面以二次根式不等式为例，总结其规律： （1） （2） 变式4-1已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 变式4-2已知全集为实数集，若集合，，则（  ） A． B． C． D． 变式4-3若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 题型五、与其他章节融合 典例5 若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______． 题型模版 1.特征：常与集合的运算、常用逻辑用语融合。 2.方法：利用不等式的常见解法解决。 变式5-1已知命题：，，命题：，，则（  ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 变式5-2已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 变式5-3“”是“”的（  ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是（  ） A．或 B．或 C． D． 6．不等式 的解集为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，则（  ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 9．分式不等式的解集为______ 10．不等式的解集是___________ 11．若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . 12．已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为__________. 13.已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是______ 14．已知集合，，其中． (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的解法五类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式不等式的解法 题型二、高次不等式的解法 题型三、绝对值不等式的解法 题型四、根式不等式的解法 题型五、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分式、高次、绝对值、根式不等式的转化求解问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕分式不等式的解法、高次不等式的解法、绝对值不等式的解法、根式不等式的解法、与其他章节融合五大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是分式不等式转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0求解，绝对值不等式去掉绝对值求解，根式不等式去掉根号（防止增解）；二是高次不等式运用穿根法，所有结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式不等式的解法 典例1 不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式等价于且， 解得. 即不等式的解集为. 故选：A 题型模版 1.特征：不等式结构呈现分式形式． 2.方法：转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。 1. 2. 3. 4. 变式1-1已知集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解集合中分式不等式，再结合集合求交集. 【解析】分式不等式，等价于：, 解得，即, 已知，筛选出中满足的元素，为， 所以. 故选：A 变式1-2不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 故选：D 变式1-3不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】转化成分式不等式组，分别求解再取交集. 【解析】由题意得：， 由，化简得，解得：； 由，化简，解得； 取交集得： 故答案为： 类型二、高次不等式的解法 典例2 解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 【答案】 【解析】根据不等式标根 所以原不等式的解为. 故答案为：. 题型模版 1.特征：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2. 2.方法：一般采用“穿针引线法”，求解步骤： a. 化正：将不等式化为（或 < 0）的形式，确保最高次项系数为正； b. 标根：将所有根标在数轴上； c. 穿线：从数轴右上方开始，按照 “奇穿偶回” 的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）； d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。 变式2-1不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】不等式，化为：， 由穿根法可知：不等式的解集为：或. 故选：A. 变式2-2满足不等式的整数解的个数为（  ） A．100 B．5000 C．5100 D．无穷多个 【答案】C 【分析】利用穿针引线法解不等式，求出不等式各个解区间内整数解个数，再利用等差数列求和即得到答案. 【解析】利用穿针引线法解不等式，如图示： 满足不等式整数解有： 在有个； 在有个； 在有个. 因此不等式在区间内的解有个， 所以不等式的整数解的个数为. 故选：C 变式2-3关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为 故答案为： 题型三、绝对值不等式的解法 典例3 不等式的解集是（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用分类讨论去绝对值符号，再应用一元二次不等式的解法求解集. 【解析】当时，，可得， 当时，，可得且， 所以不等式的解集为或. 故选：D 题型模版 1.特征：含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。 2.方法：1.绝对值不等式的解集 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 可简记为：大于找两边，小于找中间. 2.绝对值不等式的性质 (1); (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 变式3-1不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过，，讨论去绝对值求解即可. 【解析】当时，不等式为，解得：且，即为空集， 当时，不等式为，解得：， 当时，不等式为，解得， 综上不等式的解集为， 故选：C 变式3-2存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： 变式3-3不等式的解集为 ； 【答案】 【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可. 【解析】左右两侧同时平方得， 所以，故， 化简得，解得. 故答案为： 题型四、根式不等式的解法 典例4 已知集合，集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【解析】因为， 由可得，解得，即， 故. 故选：C. 题型模版 1.特征：含有根式的不等式称为根式不等式. 2.方法：解根式不等式往往通过乘方运算转化为不带根号的不等式求解，下面以二次根式不等式为例，总结其规律： （1）（2） 变式4-1已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式化简集合，根据交集的概念求解即可. 【解析】由，， 则. 故选：B. 变式4-2已知全集为实数集，若集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【解析】由，即，解得， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以. 故选：A 变式4-3若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式，再解不等式可得答案. 【解析】因为不等式的解集为， 所以是的两个根，且， 可得，所以， 所以得， 即，由得， 所以,所以或， 则不等式的解集为. 故答案为： 题型五、与其他章节融合 典例5 若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论解不等式即可得解. 【解析】因为，不等式的解集不是空集， 所以， （i）当，即时，显然有成立， （ii）当，即时， 所以，解得， 结合，可知； 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 题型模版 1.特征：常与集合的运算、常用逻辑用语融合。 2.方法：利用不等式的常见解法解决。 变式5-1已知命题：，，命题：，，则（  ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】由，得，即，解得. 方法二：由，得或. 解得. 所以是假命题，是真命题. 当时，显然成立，所以是真命题，是假命题. 故选：B 变式5-2已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ，∴ ， 解得， 又， ∴ . ∵，即，解得， 又，∴ . ∴. 故选：C 变式5-3“”是“”的（  ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求出的解集，根据充要条件的定义即可得到结论. 【解析】令，所以的解集为：， 所以“”能推出“， 而“不能推出“”即“”，是“”的充分不必要条件； 故选：A 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， ，则 故选：A. 2．不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【解析】当，解得，此时不等式恒成立； 当时，即时，不等式，平方得， 即，即，解得，所以， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 3．“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【解析】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 故选：A. 4．不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方后可求不等式的解. 【解析】因为，故，故，故， 故选：D. 5．不等式的解集是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】先因式分解，然后分和求解即可. 【解析】， 当时，不等式显然不成立； 当时，，所以原不等式， 解得. 综上，原不等式的解集为. 故选：C 6．不等式 的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 7．（多选）已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，得或，解得或，所以， 所以，A错；，B对；，C错；，D对. 故选：BD 8．（多选）已知，则（  ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 【答案】AC 【分析】根据分式不等式的解法、均值不等式求最值、作差法比较大小等方法逐一验证选项判断正误. 【解析】对于A：等价于，解得或，故A正确， 对于B：等价于，即， 整理得，解得，且，故B错误； 对于C：当时，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：，，即，故D错误. 故选：AC. 9．分式不等式的解集为______ 【答案】或或 【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体原则，得到不等式解集. 【解析】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 10．不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】不等式可化为， ∴，或； 解之得：或， 即不等式的解集是. 故答案为： 11．若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解析】， 当且仅当时等号成立， 所以，解得 故答案为： 12．已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为__________. 【答案】 【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案. 【解析】当时，由，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 所以或或. 故答案为：. 13.已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】将两侧同时平方，移项整理得，令，，讨论，同负、，两种情况，结合对应二次函数性质求参数范围. 【解析】由对任意都成立， ， 令，， 即且，或者同负， 若、同负，零点相同（不符合）； 若，. 故答案为： 14．已知集合，，其中． (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)集合中的所有整数为； (2) 【解析】（1）由，解得，则， 所以集合中的所有整数为． （2）， 当时，，此时，满足题意； 当时，，所以，即， 又，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $