第三章 培优课 不等式恒成立、能成立问题-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件系统梳理了不等式恒成立与能成立问题，通过题型分类（R上、给定区间、能成立）结合通性通法（分类讨论、分离参数等）构建知识网络，例题与训练题层层递进，展现知识点内在逻辑。 其亮点在于分题型突破，如恒成立问题通过二次函数性质与端点值分析培养数学思维，能成立问题转化为函数最值训练数学语言表达，跟踪训练分层设计适配不同学生，助力教师精准复习提升效率。

培优课　不等式恒成立、能成立问题 第三章　不等式 1 　 题型一　在R上的恒成立问题 （1）已知不等式kx2－kx＋2＞0恒成立，求实数k的取值范围； （2）关于x的不等式ax2＋2ax－（a＋2）＜0的解集为R，求实数a的取 值范围. 破题思维 题目信息 信息读取 不等式ax2＋2ax－（a＋ 2）＜0 不等式中二次项的系数为字母，联想到分类讨 论，分两种分类讨论：a＝0或a≠0 不等式ax2＋2ax－（a＋ 2）＜0的解集为R 联想到：x∈R时，不等式ax2＋2ax－（a＋ 2）＜0恒成立 数学·必修第一册（SJ） 解：（1）当k＝0时，不等式为2＞0恒成立，符合题意； 当k≠0时，令y＝kx2－kx＋2，由y＞0恒成立， ∴其图象都在x轴的上方，则函数图象开口向上，且与x轴无交点. ∴ 解得0＜k＜8. 综上，实数k的取值范围是{k｜0≤k＜8}. （2）当a＝0时，不等式为－2＜0恒成立，符合题意； 当a≠0时，不等式ax2＋2ax－（a＋2）＜0的解集为R， 即x∈R时，不等式ax2＋2ax－（a＋2）＜0恒成立， ∴ 解得－1＜a＜0. 综上，实数a的取值范围是{a｜－1＜a≤0}. 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　一元二次不等式在R上的恒成立问题转化为一元二次不等式解集为R的 情况，即 ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要 讨论二次项系数是否为0. 数学·必修第一册（SJ） （2026·赣榆期中）若命题“∀x∈R，2x2＋（a－1）x＋ ＞0”是真命 题，则实数a的取值范围是（　　） A. （0，1） B. （－3，＋∞） C. （－1，3） D. （－3，1） √ 解析： 　由题意，对任意的x∈R，2x2＋（a－1）x＋ ＞0恒成立，且 二次项系数2＞0，所以Δ＝（a－1）2－4×2× ＜0，化简得（a－1）2－ 4＜0，即a2－2a－3＜0，即（a－3）（a＋1）＜0，解得－1＜a＜3.故 选C. 数学·必修第一册（SJ） 题型二　在给定区间上的恒成立问题 （1）当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值 范围为 ⁠； 解析： 令y＝x2＋mx＋4.∵y＜0在1≤x≤2上恒成 立，∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得 ∴m的取值范围是{m｜m＜－5}. {m｜m＜－5} 数学·必修第一册（SJ） （2）若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈（0，2]恒成立，则a的最小值 是 ⁠. 解析： 由于x∈（0，2]，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a≥－ ，x∈（0，2]时恒成立.令m＝x＋ ，x∈（0，2]，则 m≥2 ＝2（当且仅当x＝1时等号成立）.∴－ 的最大值是－ 2.因此a≥－2，则a的最小值为－2. －2 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2 ＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；当a＜0时，ax2＋bx＋c ＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函 数值同时大于0； （2）通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 数学·必修第一册（SJ） 1. 若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈{x｜0≤x≤3}恒成立，则实数 m的取值范围是（　　） A. {m｜m≥－3} B. {m｜－3≤m≤0} C. {m｜m≤－4} D. {m｜m≤－3或m≥0} √ 解析： 　因为不等式x2－4x≥m对任意x∈{x｜0≤x≤3}恒成立，令y ＝x2－4x，0≤x≤3，则m≤ymin，因为y＝x2－4x在x∈{x｜0≤x≤3}上 的最小值为－4，故m≤－4.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 2. 若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3＜0恒成立，则实数a的取值范 围是 ⁠. 解析：ax2－x－3＜0在－3≤x≤－1上恒成立，等价于a＜ ＝ ＋ 在 －1≤ ≤－ 上恒成立，令m＝ ，即a＜3m2＋m在－1≤m≤－ 上恒成 立，二次函数y＝3m2＋m的对称轴为m＝－ ，所以当m＝－ 时，y有 最小值0，故a＜0. {a｜a＜0} 数学·必修第一册（SJ） 题型三　简单的能成立问题 若存在x∈R，使得 ≥2成立，求实数m的取值范围. 解：∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2＞0，∴4x＋m≥2（x2－2x＋3）能成 立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 又y＝2x2－8x＋6＝2（x－2）2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴m的取值范围为{m｜m≥－2}. 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 能成立问题的解题思路 （1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； （2）对一些简单的问题，可转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，通过求y 的最小值或最大值，求得参数的取值范围. 数学·必修第一册（SJ） 1. 关于x的不等式x2－6－a≥0在{x｜1≤x≤4}内有解，则实数a的取值 范围是（　　） A. {a｜a≤6} B. {a｜a≥－10} C. {a｜a≥－6} D. {a｜a≤10} √ 解析： 　不等式x2－6－a≥0在{x｜1≤x≤4}内有解等价于在{x｜ 1≤x≤4}内，a≤（x2－6）max.当1≤x≤4时，－5≤x2－6≤10，所以 a≤10.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 2. 命题“∀x∈[－1，4]，x2－2x－a＞0”为假命题，则实数a的取值范 围是（　　） A. [－1，＋∞） B. （－∞，3] C. （－∞，8] D. [8，＋∞） √ 解析： 　因为命题“∀x∈[－1，4]，x2－2x－a＞0”为假命题，所以 “∃x∈[－1，4]，x2－2x－a≤0”为真命题，即∃x∈[－1，4]，a≥ （x2－2x）min，因为y＝x2－2x＝（x－1）2－1，x∈[－1，4]，所以当x ＝1时，y＝x2－2x取得最小值－1，所以a≥－1.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 1. （2026·无锡月考）若命题“∀x∈R，x2－1＞m”是真命题，则实数 m的取值范围是（　　） A. （－∞，－1] B. （－∞，－1） C. [－1，＋∞） D. （－1，＋∞） √ 解析： 由题意，∀x∈R，x2－m－1＞0是真命题，则Δ＝－4（－m－ 1）＜0，即m＜－1.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 2. 若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是 （　　） A. {m｜m≤－2或m≥2} B. {m｜－2≤m≤2} C. {m｜m＜－2或m＞2} D. {m｜－2＜m＜2} √ 解析： 　∵关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函数y＝－x2＋mx －1的图象开口向下，∴函数图象与x轴有交点，∴Δ＝m2－4≥0，解得 m≥2或m≤－2.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2. （1）当a＝3时，解此不等式； 解： 当a＝3时，不等式为5x2＋4x＋2＞0. 因为5x2＋4x＋2＝0中Δ＝16－40＜0， 可知不等式的解集为R， 所以当a＝3时，不等式的解集为R. 数学·必修第一册（SJ） （2）若此不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解： 已知不等式可整理成（a＋2）x2＋4x＋a－1＞0， 当a＋2＜0，即a＜－2时，不符合题意. 当a＋2＝0，即a＝－2时，也不符合题意. 当a＋2＞0，即a＞－2时，要使（a＋2）x2＋4x＋a－1＞0恒成立， 则有42－4（a＋2）（a－1）＜0，解得a＞2. 综上所述，使不等式对一切实数x恒成立的实数a的取值范围是{a｜a＞2}. 数学·必修第一册（SJ） 课时作业 >> 19 　　 1. 已知1≤x≤2，x2－ax＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A. {a｜a≥1} B. {a｜a＞1} C. {a｜a≤1} D. {a｜a＜1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 解析： 　因为1≤x≤2，故x＞0，故x2－ax＞0在1≤x≤2上恒成立等价 于x－a＞0在1≤x≤2上恒成立，即a＜1.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 2. 若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值 范围是（　　） A. {a｜a≤－1或a≥4} B. {a｜－1＜a＜4} C. {a｜－1≤a≤4} D. {a｜a＜－1或a＞4} √ 解析： 　原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，∵该不等式对任意实 数x恒成立，∴Δ≤0，即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0，解得 a≤－1或a≥4，∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（　　） A. {a｜a≤－4或a≥4} B. {a｜－4＜a＜4} C. {a｜－4≤a≤4} D. {a｜a＜－4或a＞4} √ 解析： 　由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 4. （2026·南京中华中学月考）若不等式x2－2x－m＜0在x∈［ ，2］ 上有解，则实数m的取值范围是（　　） A. [－1，＋∞） B. （－1，＋∞） C. （－ ，＋∞） D. （0，＋∞） √ 解析： 　由题意知，不等式m＞x2－2x在x∈［ ，2］上有解，令t＝x2 －2x＝（x－1）2－1，则m＞tmin，又tmin＝－1，所以m＞－1，所以实数 m的取值范围是（－1，＋∞）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 5. 若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意的－2≤a≤4恒成立，则x的取值 范围为（　　） A. {x｜x≤－8或x≥3} B. {x｜x＜0或x≥1} C. {x｜－8≤x≤6} D. {x｜0＜x≤3} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 解析： 由题得不等式（x－4）a－x2－3x＋16≤0对任意－2≤a≤4恒 成立，将a视为主元，构造关于a的一次函数y＝（x－4）a－x2－3x＋ 16.当a＝－2时，y＝－x2－5x＋24；当a＝4时，y＝－x2＋x.因为（x－ 4）a－x2－3x＋16≤0对任意－2≤a≤4恒成立，所以 解得x≥3或x≤－8.所以x的取值范围为{x｜x≤－ 8或x≥3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 6. 〔多选〕若不等式 ≥m对任意实数x恒成立，则正整数m的值 可能为（　　） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 解析： 因为x2＋x＋1＞0对于任意实数x恒成立，所以不等式 ≥m可化为3x2＋2x＋2≥m（x2＋x＋1），即（3－m）x2＋（2 －m）x＋2－m≥0.当m＝3时，不等式化为x＋1≤0，不符合题意.当 m≠3时，依题意，得 整理 得 解得 所以m≤2.又 m∈N*，所以m＝1或2，故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 7. 〔一题多解〕若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0（a为常 数），则a的取值范围为 ⁠. 解析：法一　令y＝x2－2x＋a，则由题意，得 解得a≤－3. （－∞，－3] 法二　当－1≤x≤2时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x 恒成立，则由题意，得a≤（－x2＋2x）min（－1≤x≤2）.而－x2＋2x＝ －（x－1）2＋1，则当x＝－1时，（－x2＋2x）min＝－3，所以a≤－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 8. （2026·徐州期中）已知关于x的不等式x2－（a＋2）x＋a＋5≤0在 x∈（1，4]上有解，则实数a的取值范围是 ⁠. [4，＋∞） 解析：要使不等式x2－（a＋2）x＋a＋5≤0在x∈（1，4]上有解，则 a≥ 在x∈（1，4]上有解，令t＝ ，x∈（1，4]，则t＝ ＝ ＝（x－1）＋ ≥2 ＝4，当且仅 当x－1＝ ，即x＝3时，等号成立，故x＝3时，tmin＝4，因此要使不等 式x2－（a＋2）x＋a＋5≤0在x∈（1，4]上有解，则a≥4，故实数a的 取值范围是[4，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 9. 已知对∀x∈{x｜2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取 值范围. 解：由不等式mx2－mx－1＜0，得m（x2－x）＜1， 因为x∈{x｜2≤x≤3}，所以x2－x＞0， 所以m（x2－x）＜1可化为m＜ ， 因为x∈{x｜2≤x≤3}时，x2－x＝（x－ ）2－ ≤6，所以 ≥ ， 所以m＜ . 即m的取值范围是{m｜m＜ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 10. 关于x的不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1≤0的解集为R，求实数a 的取值范围. 解：当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1， 若a＝1，不等式为－1≤0恒成立，符合题意， 若a＝－1，不等式为2x－1≤0， 解得x≤ ，不符合题意； 当a2－1≠0时，若要不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1≤0的解集为R， 则a2－1＜0，且Δ＝（a－1）2＋4（a2－1）≤0，解得－ ≤a＜1， 综上可得－ ≤a≤1，即实数a的取值范围是{a｜－ ≤a≤1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） $