第三章 不等式 章末整合提升——体系构建·素养培优-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学不等式单元复习课件系统梳理了不等式的性质、基本不等式、解法及证明方法，通过体系构建模块将各知识点串联成知识网络，清晰呈现性质与公式、解法与证明的内在逻辑联系。 其亮点在于设置素养培优专题和真题体验环节，如通过作差法比较大小培养数学思维，结合光伏项目利润问题强化数学语言表达，分层例题设计满足不同学生需求。这既帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习指导。

章末整合提升——体系构建·素养培优 第三章　不等式 1 目 录 CONTENTS 体系构建 素养培优 真题体验 体系构建 >> 目录 3 数学·必修第一册（SJ） 目录 素养培优 >> 目录 5 培优一　不等式及其性质 　　理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高 中数学，只要是涉及范围的问题，都和不等式有关. （1）〔多选〕下列命题正确的有（　AD　） A. 若a＞1，则 ＜1 B. 若a＋c＞b，则 ＜ C. 对任意实数a，都有a2≥a D. 若ac2＞bc2，且ac＞bc，则c＞0 AD 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 因为a＞1，所以 ＜1，所以A正确；若a＋c＞b，可令a＝ 1，c＝1，b＝－1，则有 ＞ ，故B错误；对于C，可取a＝ ，则a2＜ a，故C错误；因为ac2＞bc2，所以c2＞0，即c≠0，且a＞b，假设c＜ 0，则有ac＜bc与已知ac＞bc矛盾，所以c＞0，故D正确. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是（　B　） A. A≤B B. A≥B C. A＜B或A＞B D. A＞B B 解析： ∵A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝a2＋b2－ab＝（a－ ） 2＋ b2≥0，∴A≥B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab， 的取值范围. 解：因为－2＜b＜－1，所以1＜－b＜2， 又因为2＜a＜3，所以2＜－ab＜6， 所以－6＜ab＜－2. 因为－2＜b＜－1，所以1＜b2＜4， 因为2＜a＜3，所以 ＜ ＜ ，所以 ＜ ＜2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 反思感悟 不等式及其性质的2个关注点 （1）作差法是比较两个实数大小的基本方法； （2）应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件； 当判断不等式是否成立时，常选择特殊值法. 数学·必修第一册（SJ） 目录 培优二　基本不等式 　　能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式，掌握基本不 等式的一些常见变形. （1）已知x＞1，且x－y＝1，则x＋ 的最小值是 ⁠； 解析： ∵x＞1，∴x－1＞0.又y＝x－1，∴x＋ ＝x＋ ＝x－1 ＋ ＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当x＝2时，等号成立，则 x＋ 的最小值是3. 3 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）已知－1＜x＜3，则y＝（1＋x）（3－x）的最大值是 ⁠. 解析： ∵－1＜x＜3，∴1＋x＞0，3－x＞0，∴ ≤ ＝2.∴（1＋x）（3－x）≤4，当且仅当1＋x＝3－ x，即x＝1时取等号. 4 数学·必修第一册（SJ） 目录 反思感悟 利用基本不等式求最值的注意点 （1）把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等； （2）注意寻求已知条件与目标函数之间的联系； （3）利用添项和拆项的配凑方法，使积（或和）产生定值.特别注意 “1”的代换. 数学·必修第一册（SJ） 目录 培优三　一元二次不等式的解法 　　通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌握一 元二次不等式及分式不等式的解法. （1）〔多选〕若关于x的不等式ax2－bx＋c＜0的解集为（－3， 4），则（　　） A. a＞0 B. a＋b＝0 C. 12a＋c＝0 D. b2－4ac＝49a2 √ √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　由不等式ax2－bx＋c＜0的解集为（－3，4），可得a ＞0，且x1＝－3，x2＝4是一元二次方程ax2－bx＋c＝0的两个根，由根与 系数的关系可得 即b＝a，c＝－12a，即12a＋c＝0，a ＋b＝2a＞0，b2－4ac＝a2＋48a2＝49a2.故选A、C、D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 ①－x2＋5x－4＞0； ② ≥－2； （2）解下列关于x的不等式： ③m2x2＋2mx－3＜0. 解：①原不等式等价于x2－5x＋4＜0， ∵方程x2－5x＋4＝0的两根分别为x1＝1，x2＝4， ∴原不等式的解集为{x｜1＜x＜4}. ②不等式 ≥－2可化为 ＋2≥0，即 ≥0， 数学·必修第一册（SJ） 目录 则原不等式等价于（x－11）（x－5）≥0且x－5≠0，解得x＜5或 x≥11， 故 ≥－2的解集为{x｜x＜5或x≥11}. ③当m＝0时，－3＜0恒成立，解集为R. 当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式可化为（mx＋3） （mx－1）＜0. 当m＞0时，解不等式得－ ＜x＜ ， 当m＜0时，解不等式得 ＜x＜－ . ∴当m＝0时不等式的解集为R； 当m＞0时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜ }； 当m＜0时，不等式的解集为{x｜ ＜x＜－ }. 数学·必修第一册（SJ） 目录 当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式可化为（mx＋3） （mx－1）＜0. 当m＞0时，解不等式得－ ＜x＜ ， 当m＜0时，解不等式得 ＜x＜－ . ∴当m＝0时不等式的解集为R； 当m＞0时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜ }； 当m＜0时，不等式的解集为{x｜ ＜x＜－ }. 数学·必修第一册（SJ） 目录 反思感悟 一元二次不等式的解集问题 （1）不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2－4ac的符号的影 响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系； （2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判别式 Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论. 数学·必修第一册（SJ） 目录 培优四　不等式在实际问题中的应用 　　不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化 问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条 件构建数学模型是解题关键. 数学·必修第一册（SJ） 目录 某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，n（n∈N*）年内的总 维修保养费用为（4n2＋20n）万元，该项目每年可给公司带来100万元的 收入.假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元.（纯利润＝累计收入 －总维修保养费用－投资成本） （1）写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利. 解： 由题意得，y＝100n－（4n2＋20n）－144＝－4n2＋80n－144 （n∈N*）， 令y＞0，得－4n2＋80n－144＞0，解得2＜n＜18， 所以从第3年起开始盈利. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两 种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目. 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由. 解：若选择方案①，设年平均利润为y1万元，则y1＝ ＝80－4 ≤80－4×2 ＝32， 数学·必修第一册（SJ） 目录 当且仅当n＝ ，即n＝6时等号成立，所以当n＝6时，y1取得最大值32， 此时该项目共获利32×6＋72＝264（万元）. 若选择方案②，纯利润y＝－4n2＋80n－144＝－4（n－10）2＋256， 所以当n＝10时，y取得最大值256，此时该项目共获利256＋8＝264（万 元）. 以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需10年，所 以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展. 数学·必修第一册（SJ） 目录 反思感悟 解决与不等式有关的实际应用问题的关注点 （1）审题要准，初步建模； （2）设出变量，列出函数关系式； （3）根据题设构造应用不等式的形式并解决问题. 数学·必修第一册（SJ） 目录 真题体验 >> 目录 25 　　 1. （2023·新高考Ⅰ卷1题）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝ {x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（　　） A. {－2，－1，0，1} B. {0，1，2} C. {－2} D. {2} 1 2 3 4 5 √ 解析： 　由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因 为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2025·全国Ⅱ卷4题）不等式 ≥2的解集是（　　） A. {x｜－2≤x≤1} B. {x｜x≤－2} C. {x｜－2≤x＜1} D. {x｜x＞1} √ 解析： 　由 ≥2，得 ≥0，得 ≤0，得 得－2≤x＜1，故选C. 1 2 3 4 5 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 （　　） A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2 C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1 √ √ 1 2 3 4 5 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤ ， 所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－ （x＋y）2＝ （x＋y）2，故（x ＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B 正确；由xy≤ 得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－ ，即x2＋y2≤2， 当且仅当x＝y时等号成立，故C正确，D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. （2025·上海高考8题）设a，b＞0，a＋ ＝1，则b＋ 的最小值 为 ⁠. 解析：因为a，b＞0，a＋ ＝1，所以b＋ ＝（b＋ ）（a＋ ）＝ab ＋ ＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当ab＝1，即a＝ ，b＝2时，等号 成立.故b＋ 的最小值为4. 4 1 2 3 4 5 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. （江苏高考）已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为 [0，＋∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m＋6），则实 数c的值为 ⁠. 解析：因为f（x）的值域为[0，＋∞），所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2 ＋ax＋ －c＜0的解集为（m，m＋6），易得m，m＋6是方程x2＋ax ＋ －c＝0的两根，由根与系数的关系得 解得c ＝9. 9 1 2 3 4 5 数学·必修第一册（SJ） 目录 $