1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 该专项聚焦空间向量研究夹角问题，通过分层训练系统构建“坐标系建立-向量运算-夹角转化”方法体系，逻辑链清晰，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|9题（如长方体线面角）|坐标法求线面角、法向量夹角转化|方向向量/法向量概念→向量夹角计算→线面角/二面角转化| |综合运用|6题（如旋转体二面角）|复杂几何体坐标系构建、动态参数处理|基础方法→折叠/旋转体应用→探究性问题解决|

第二课时　用空间向量研究夹角问题 （时间：60分钟　满分：105分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉=，则l与α所成的角为（　　） A． B． C． D． 2.如图，已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉=－，则二面角α－l－β=（　　） A．30°　 B．60°　　 C．120°　 D．150° 3.已知平面α的一个法向量为a=（1，2，2），平面β的一个法向量为b=（－1，2，0），则两平面的夹角的余弦值为（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若沿EF将正方形折成一个直二面角，则AF与CE所成角的余弦值为（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 6.〔多选〕直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是（　　） A．若a⊥n，则直线l∥平面α B．若a∥n，则直线l⊥平面α C．若cos〈a，n〉=，则直线l与平面α所成角的大小为 D．若cos〈m，n〉=，则平面α，β夹角的大小为 7.〔多选〕如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，则（　　） A．异面直线AD与BC所成角的大小为90° B．异面直线AB与CD所成角的余弦值为 C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45° D．直线AD与平面BCD所成角的大小为60° 8.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为　　　　． 9.在空间中，已知平面α过A（3，0，0）和B（0，4，0）及z轴上一点P（0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a=　　　　． 10.（13分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． （1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 11.在正四棱锥P－ABCD中，PA=AB=4，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 12.如图，三棱锥A－BCD中，AB=BC=AC=DB=DC，且平面ABC与底面BCD垂直，E为BC中点，EF╩AD，则平面ADB与平面ABF夹角的余弦值为（　　） A．　 B．　　 C．　 D．1 13.三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足=λ，则直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为　　　　． 14.（15分）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在的直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点． （1）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； （2）当AB=3，AD=2时，求平面AGE与平面ACG夹角的大小． 15.（15分）（2026•广东部分学校联考）如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=3AA1=2A1B1=6，AA1⊥平面ABCD． （1）求直线DD1与平面BCC1B1所成角的正弦值； （2）若棱BC上有一点P，使得二面角P－AD1－D的余弦值为，求线段BP的长． 第二课时　用空间向量研究夹角问题 1.C　线面角的范围是．∵〈a，n〉=，∴l与法向量所在直线所成角为，∴l与α所成的角为． 2.C　设二面角α－l－β为θ，0°≤θ≤180°，由题图可知，cos θ=cos〈m，n〉=－，∴θ=120°． 3.D　设两平面的夹角为θ，又平面α的一个法向量为a=（1，2，2），平面β的一个法向量为b=（－1，2，0），所以cos θ=|cos〈a，b〉|====．故选D． 4.D　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（－2，0，1），=（－2，2，0），且易证为平面BB1D1D的一个法向量．设直线BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，则sin θ=|cos〈，〉|===．∴直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为． 5.D　由题意知，AE，DE，EF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=EF=CD=2，则E（0，0，0），A（1，0，0），F（0，2，0），C（0，2，1），所以=（－1，2，0），=（0，2，1），所以|cos〈，〉|===，所以AF与CE所成角的余弦值为． 6.BCD　对于A，若a⊥n，则直线l∥平面α或在平面α内，故选项A不正确；对于B，若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线l⊥平面α，故选项B正确；对于C，直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若cos〈a，n〉=，则直线l与平面α所成角的大小为，故选项C正确；对于D，若cos〈m，n〉=，则平面α，β夹角的大小为，故选项D正确． 7.ABC　以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz．设AB=2，则B（0，0，0），A（0，－1，），C（0，2，0），D（，－1，0），所以=（，0，－），=（0，2，0），=（0，1，－），=（，－3，0）．因为•=0，所以AD⊥BC，即异面直线AD与BC所成角的大小为90°，故A正确．因为|cos〈，〉|==，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故B正确．设直线AD与平面BCD所成的角为θ，θ∈［0°，90°］，因为n=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，所以sin θ=|cos〈，n〉|==，所以θ=45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，故C正确，D错误．故选A、B、C． 8.　解析：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB=a，则OP=a，=（－a，0，a），可求得平面PBC的法向量为n=（－1，1，），所以cos〈，n〉==，设直线OD与平面PBC所成的角为θ，则sin θ=． 9.　解析：平面Oxy的一个法向量为n=（0，0，1）．设平面α的法向量为u=（x，y，z），又=（－3，4，0），=（－3，0，a），则即即3x=4y=az，取z=1，则u=（，，1）．而|cos〈n，u〉|==，又∵a＞0，∴a=． 10.解：在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB．以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB=AA1=2，所以A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，－1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）． （1）因为P为A1B1的中点， 所以P（，－，2），从而=（－，－，2）， 又=（0，2，2）， 故cos〈，〉===． 因此异面直线BP与AC1所成角的余弦值为． （2）因为Q为BC的中点， 所以Q（，，0）， 因此=（，，0）， 又=（0，2，2），=（0，0，2）． 设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量， 则即 不妨取n=（，－1，1）． 设直线CC1与平面AQC1所成角为θ， 则sin θ=|cos〈，n〉|===，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为． 11.D　如图，∵M为PC的中点，∴=－=－，且=－，∠BPC=∠APB=60°，由于PA=PC=4，AC=AB=4，故PA2＋PC2=AC2，则∠APC=90°，||=||=||=4，∴•=（－）•（－）=2－•－•＋•=×16－0－4×4×＋4×4×=8，又||=2，||=4，∴cos〈，〉===．故异面直线AC，BM所成角的余弦值为．故选D． 12.B　连接AE，DE，因为AB=BC=AC=DB=DC，E为BC中点，所以AE⊥BC，DE⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⋂平面BCD=BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，故ED，EB，EA两两垂直．以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2，由EF╩AD，可得A（0，0，），D（，0，0），B（0，1，0），F（－，0，）．则=（0，1，－），=（，0，－），=（－，0，0）．设平面ADB的一个法向量为m=（x，y，z），则有 所以取z=1，得x=1，y=，则m=（1，，1）．设平面ABF的一个法向量为n=（a，b，c），则有所以取c=1，得a=0，b=，则n=（0，，1）．则cos〈m，n〉===，则平面ADB与平面ABF夹角的余弦值为．故选B． 13.　解析：如图所示，以AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则P（λ，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0）， N（，，0），=（－λ，，－1）．易知平面ABC的一个法向量为n=（0，0，1），设直线PN与平面ABC所成的角为θ，所以sin θ==，所以当λ=时，（sin θ）max=，此时角θ最大． 14.解：（1）因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB⋂AP=A，AB，AP⊂平面ABP， 所以BE⊥平面ABP． 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP． 又∠EBC=120°，所以∠CBP=30°． （2）以B为坐标原点，BE，BP，BA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（－1，，0），则=（2，0，－3），=（1，，0），=（2，0，3）， 设m=（x1，y1，z1）是平面AGE的法向量． 由得 取z1=2，可得m=（3，－，2）． 设n=（x2，y2，z2）是平面ACG的法向量． 由得 取z2=－2，可得n=（3，－，－2）， 所以|cos〈m，n〉|==． 因此平面AGE与平面ACG夹角的大小为60°． 15.解：（1）因为AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD， 又底面ABCD是正方形，AB⊥AD，故AB，AD，AA1两两互相垂直． 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略）， 则A（0，0，0），B（6，0，0），B1（3，0，2），C（6，6，0），D（0，6，0），D1（0，3，2）， 所以=（0，6，0），=（－3，0，2），=（0，－3，2）． 设平面BCC1B1的法向量为m=（x1，y1，z1）， 则令x1=2，则y1=0，z1=3，故平面BCC1B1的一个法向量为m=（2，0，3）． 设直线DD1与平面BCC1B1所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈，m〉|===， 故直线DD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为． （2）设点P（6，λ，0），λ∈［0，6］， 则=（6，λ，0），=（0，3，2）． 设平面AD1P的法向量为n=（x2，y2，z2）， 则令y2=－6，得z2=9，x2=λ， 故平面AD1P的一个法向量为n=（λ，－6，9）． 易知平面ADD1的一个法向量为v=（1，0，0）， 所以|cos〈n，v〉|===， 解得λ=2或－2（舍去）， 故BP=2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $