1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时　夹角问题）课后练习 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A级基础巩固与B级能力提升的分层设计，构建从空间向量夹角概念理解到综合应用的知识路径，强化数学运算与空间观念，适配新授课"基础+提升"教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|平面法向量、线面角等基础概念与单一运算|以选择填空为主，直接应用空间向量工具解决基本夹角问题，如第1题辨析二面角与法向量夹角关系| |B级|翻折、复杂几何体中的异面直线角、二面角综合问题|含解答题与多选题，如第13题结合面面垂直证明与线面角计算，强化建模与逻辑推理能力|

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时　夹角问题 A级 必备知识基础练 1.(2026辽宁高二期末)相交但不垂直的平面α和β的法向量分别为m,n,若平面α和β的夹角为θ,则(　　) A.cos θ=cos<m,n> B.cos θ= C.tan θ=tan<m,n> D.θ=<m,n> 2.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是棱A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 3.(2026广东高二期末)已知直线l1的一个方向向量为m=(x,-2,0),直线l2的一个方向向量为n=(0,1,1),若直线l1,l2所成的角等于60°,则x=(　　) A.0 B.±2 C.± D.2 4.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,棱AB,SC的中点分别为E,F.若直线EC与BF所成角的余弦值为,则SD=(　　) A.2 B. C.4 D.1 5.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面B'AC⊥平面DAC,则二面角B'-CD-A的余弦值为(　　) A.2 B. C. D. 6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,则异面直线AD1和DC1所成角的余弦值是　　　　　.  7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,则平面AA1B1B与平面AD1E所成角的正弦值为　　　　　.  8.(北师大版教材习题)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线A'B与平面A'B'CD所成角的大小为　　　　　.  B级 关键能力提升练 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为(　　) A.30° B.45° C.90° D.60° 10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积是底面积的6倍,E为四边形ABB1A1的中心,F为棱CC1的中点,则异面直线BF与CE所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 11.(多选题)在△ABC中,BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,将△ABC绕直线AB旋转至△ABP处,使平面ABP⊥平面ABC,则(　　) A.在旋转的过程中,点C的运动轨迹长度为π B.点B到平面PAC的距离为 C.直线AP与直线PC所成角为 D.直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 12.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°,若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为　 .  13.(2026陕西西安高三开学考试)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC=4,E,F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:A1E⊥BC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 14.(2025全国2)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°. (1)证明:A'B∥平面CD'F; (2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值. 参考答案 1.B　由题可知θ与<m,n>相等或互补,且θ为锐角,故A,C,D错误; cos θ=|cos<m,n>|=,故B正确.故选B. 2.D　取棱AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 令三棱柱的棱长为2,则OB=,A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(,0,2),所以=(0,1,2),=(0,-1,2),=(,-1,2). 设n=(x,y,z)为平面B1DC的法向量,由 令z=1,则x=0,y=2,得n=(0,2,1). 设直线AD与平面B1DC所成的角为α,则sin α=|cos<,n>|=, 所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.故选D. 3.B　由题意可得|cos<m,n>|==cos 60°=,解得x=±2.故选B. 4.C　以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 设SD=t(t>0),则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),E(2,1,0),所以F(0,1,),所以=(-2,1,0),=(-2,-1,). 因为直线EC与BF所成角的余弦值为,所以|cos<>|=,解得t=4,即SD=4.故选C. 5.D　设菱形ABCD的边长为1,取线段AC的中点O,连接B'O,DO,因为∠AB'C=∠ADC=60°,所以B'O⊥AC,DO⊥AC. 又平面B'AC⊥平面DAC,平面B'AC∩平面DAC=AC,所以B'O⊥平面ACD,如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(,0,0),B'(0,0,),D(0,,0),所以=(0,0,),=(,0,-),=(-,0). 设平面B'CD的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得x=,y=1,则n=(,1,1). 易知平面CDA的一个法向量为=(0,0,),所以|cos<,n>|=.故选D. 6.　以A1为原点,A1B1,A1D1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,3),D1(0,2,0),D(0,2,3),C1(2,2,0),=(0,2,-3),=(2,0,-3), 故异面直线AD1和DC1所成角的余弦值为|cos<>|=. 7.　以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,则A(0,0,0),D(2,0,0),D1(2,0,2),E(0,2,1),则=(2,0,0),=(2,0,2),=(0,2,1). 由题可得是平面AA1B1B的一个法向量. 设平面AD1E的法向量n=(x,y,z),则取x=2,则y=1,z=-2,得n=(2,1,-2). 设平面AA1B1B与平面AD1E所成角为θ,所以平面AA1B1B与平面AD1E所成角的余弦值为cos θ=. 所以平面AA1B1B与平面AD1E所成角的正弦值为. 8.　以A为原点,AD,AB,AA'所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=1,则A'(0,0,1),B(0,1,0),B'(0,1,1),D(1,0,0),=(0,1,-1),=(0,1,0),=(1,0,-1). 设n=(x,y,z)是平面A'B'CD的一个法向量,所以取x=1,则y=0,z=1,得n=(1,0,1). 设直线A'B与平面A'B'CD所成角为θ, 则sin θ=|cos<n,>|=||=. 因为θ∈[0,],所以θ=. 9.D 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2, ∵M,N分别为棱BC和棱CC1的中点, ∴M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),=(-1,0,1),=(-2,2,0),设异面直线AC和MN所成的角为θ,则cos θ=,又θ是锐角, ∴θ=60°. ∴异面直线AC和MN所成的角为60°. 故选D. 10.B　(方法1)如图,取A1B1的中点G,连接FG,EG.因为E为四边形ABB1A1的中心,所以EG∥CF,且EG=CF,所以四边形CFGE为平行四边形,所以FG∥CE,所以∠BFG或其补角就是异面直线BF与CE所成的角.设该三棱柱的底面边长为2,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积是底面积的6倍,则3×2AA1=2××22×6,所以AA1=6.连接BG,则BG=,BF=,FG==2.在△BFG中,由余弦定理得,cos∠BFG==-,所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为. (方法2)设AC=2,则由题得3×2CC1=2××22×6,所以CC1=6. 以A为原点,AC,AA1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(,1,0),C(0,2,0),E(,3),F(0,2,3),所以=(-,1,3),=(,-,3),故|cos<>|=, 所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为. 11.ABC　延长AB,过点C作CO⊥AB,交AB的延长线于点O,根据旋转的知识可知PO⊥AB,由于平面ABP⊥平面ABC,且交线为AB,PO⊂平面ABP,所以PO⊥平面ABC,由于CO⊂平面ABC,所以PO⊥CO,故AO,CO,PO两两相互垂直,由此建立如图所示空间直角坐标系,BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,所以tan∠CBO=2,∠CBO为锐角, 解得cos∠CBO=,sin∠CBO=, 所以BO==1,CO=PO==2. 所以在旋转的过程中,点C的运动轨迹长度为×π×22=π,A选项正确. A(2,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2), =(-2,2,0),=(0,2,-2),=(1,0,0), 设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1), 则取x1=1,则y1=1,z1=1,故m=(1,1,1),所以B到平面PAC的距离为,B选项正确.因为OA=OC=OP=2,则AP=PC=AC=2,所以△PAC是等边三角形,所以直线AP与PC所成角为,C选项正确. =(1,0,-2),=(0,2,-2),设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),则取x2=2,则y2=1,z2=1,故n=(2,1,1),设直线AB与平面PBC所成角为θ,则sin θ=||=,所以D选项错误.故选ABC. 12.　在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.因为∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD.又AP∩PD=P,AP⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,从而AB⊥平面PAD.又PF⊂平面PAD,故AB⊥PF.又PF⊥AD,AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,可得PF⊥平面ABCD. 以F为原点,取棱BC中点为E,以FA,FE,FP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 取PA=1,则AD=,PF=,所以A(,0,0),P(0,0,),B(,1,0),C(-,1,0).所以=(-,1,-),=(,0,0),=(,0,-),=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则取z=,则y=1,x=0,故n=(0,1,). 设m=(x1,y1,z1)是平面PAB的法向量,则取z1=1,则x1=1,y1=0,故m=(1,0,1).则cos<n,m>=, 故平面APB与平面PBC夹角的余弦值为. 13.(1)证明因为A1A=A1C,且E是AC的中点,则A1E⊥AC. 又因为平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,A1E⊂平面A1ACC1,可得A1E⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC,所以A1E⊥BC. (2)解过点E作EH⊥AC,易知EH,EC,EA1两两垂直,以E为坐标原点,EH,EC,EA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),A(0,-2,0),B(,1,0),A1(0,0,2),C(0,2,0), 可得=(0,-2,2),=(,-1,0),=(,3,0),=(0,0,2). 设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z),则 令x=1,则y=,z=1,可得平面A1BC的一个法向量为m=(1,,1). 由题可得,=(,2). 设直线EF与平面A1BC所成角为θ,得sin θ=|cos<,m>|=, 可得cos θ=,所以直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为. 14.(1)证明由题意知,EB∥FC,FC⊂平面CD'F,EB⊄平面CD'F,所以EB∥平面CD'F. 又A'E∥D'F,D'F⊂平面CD'F,A'E⊄平面CD'F, 所以A'E∥平面CD'F. 又A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB, 所以平面A'EB∥平面CD'F. 又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F. (2)解因为AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,CD=2AD,EF∥AD,所以四边形AEFD为正方形且FD'=FC,所以EF⊥FC,EF⊥FD',又平面EFD'A'∩平面EFCB=EF,FD'⊂平面EFD'A',FC⊂平面EFCB, 所以∠D'FC为平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角的平面角, 所以∠D'FC=60°, 所以△D'FC为等边三角形. (方法一)延长EF,BC交于点C1,连接C1D'.不妨设DF=1,则由题可得FC=1,BE=2,又BE∥FC,所以CF为△C1EB的中位线,所以C1F=1,所以S△D'FC·C1F=×12×1=. 又D'C1=,D'C=1,C1C=, 设△CC1D'中CD'边上的高为h1,则h1=,则CD'·h1=. 设点F到平面D'C1C的距离为h2,由,得h2=. 易知点F到D'C1的距离为D'C1=.设平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角为θ,则sin θ=. (方法二)取FC中点G,连接D'G,则D'G⊥FC. 过点G作GH∥EF,交BE于点H.由题可得EF⊥平面FCD',则GH⊥平面FCD',又D'G,FC⊂平面FCD',所以GH⊥D'G,GH⊥GC.以点G为坐标原点,分别以GH,GC,GD'所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=1,则C(0,,0),B(1,,0),F(0,-,0),E(1,-,0),D'(0,0,),所以=(-1,-1,0),=(0,-),=(-1,0,0),=(0,). 设平面BCD'的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 则 令z1=1,得y1=,x1=-,则平面BCD'的一个法向量为m=(-,1).设平面EFD'A'的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则 令z2=1,得x2=0,y2=-,则平面EFD'A'的一个法向量为n=(0,-,1).cos<m,n>==-. 设平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角为θ,则sin θ=. 13 学科网（北京）股份有限公司 $